专题02 一元二次方程根与系数的关系（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

专题02 一元二次方程根与系数的关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根的判别式（重点） 1 题型二、韦达定理（重点） 3 题型三、解关于根的代数式的值（难点） 4 题型四、韦达定理求方程中的字母参数（难点） 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根的判别式 1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）不解方程，判断关于y的一元二次方程的根的情况（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值来判断方程根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程中，，，． ∴． ∵ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一元二次方程的根的判别式．先根据一次函数的性质确定m的取值范围，再分和两种情况，结合一次方程、一元二次方程根的判别式判断方程实数根的个数． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴， ①当时，方程化为，是一元一次方程， ∴方程有1个实数根； ②当时，方程是一元二次方程， 此时， ∵， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， 综上，方程的实数根有1个或2个， 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若关于的方程有实数根，请你写出一个符合条件的常数的值：________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据当时，一元二次方程有实数根，先求出的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可． 【详解】解：∵方程有实数根． ∴， 整理得． 解得 ． ∴符合条件的常数可以为1． 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，解得，即可作答． （2）理解题意，得出符合条件的最大整数，得，运用公式法进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， ∴m的取值范围是． （2）解：由（1）知，m的取值范围是． ∴符合条件的最大整数， ∴一元二次方程化为， 此时， ∴， ∴或， ∴当m为符合条件的最大整数时，方程的根为或． 题型二、韦达定理 1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）若是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的两根之和为，两根之积为，即可得到结果. 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且方程中，，， ∴，. 2．（25-26九年级上·天津西青·月考）一元二次方程的两根为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，需利用“对于一元二次方程（），两根之和为，两根之积为”这一性质求解. 【详解】解：∵一元二次方程中，，，. ∴，. 故选：C． 3．（25-26九年级上·湖南永州·期末）已知关于x的方程，则___，___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项，再代入根与系数的关系公式计算即可求解． 【详解】解：对于一元二次方程，根据根与系数的关系可知，， 在方程中，，， 则， 故答案为：，． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为，求另一个根和的值． 【答案】(1)见解析； (2)另一根为，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根的判别式可得：，根据平方的非负性可得：，所以可证方程有两个不相等的实数根； 根据一元二次方程根与系数的关系可知方程两根之和为，其中一根为，则另一根为，把其中一个根代入方程中得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）证明：方程中，，，， ， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：方程的两根之和为，其中一根为， 另一个根为， 把代入原方程， 可得：， 整理可得：， 解得：． 题型三、解关于根的代数式的值 1．（22-23九年级上·四川资阳·期末）已知实数、是关于的方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得出，，再代入求解即可． 【详解】∵实数、是关于的方程的两根， ∴，， ∴， 故选：B 2．（25-26九年级上·山东·期末）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】41 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，正确变形、灵活应用整体思想是关键； 根据题意可得，，再把所求式子变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：41． 3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，对所求代数式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，. ∴ ． 4．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知，是一元二次方程的两个根． 求： (1)的值 (2)的值 【答案】(1)30 (2)2 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴． 题型四、韦达定理求方程中的字母参数 1．（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则它的另一个根是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 利用一元二次方程根与系数的关系，已知一个根为1，设另一个根为r，根据两根之和公式求出r． 【详解】解：∵方程的一个根是1，设另一个根为， ∴由根与系数的关系，两根之和为， 即， ∴． 故选：A． 2．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________． 【答案】 【分析】先根据方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解，最后取交集得到的最终取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根． ∴． 解得 ． 由根与系数的关系可得：，． 将其代入得： ． 解得 ． ∴的取值范围为． 3．（25-26九年级上·河北邢台·期末）等腰的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．根据为底边和腰两种情况求解即可． 【详解】解：设等腰的腰长为a，底边长为b， 当，则4和b是关于x的方程的两个实数根， ∴ ∴； 此时且，符合题意； 当，则a和a是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∴， 此时且，符合题意； 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·四川达州·期末）关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式列式计算即可； （2）先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式对已知式子变形求解，最后根据（1）所求的的取值范围确定的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 即， ； （2）解：由根与系数的关系可得：，， ，即， ，即， ， 解得或， 由（1）知，， ． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为，求另一个实数根及的值． (2)若该方程的两个不相等的实数根为和，且，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，判别式的应用，掌握韦达定理的内容，以及用判别式检验根的存在性是解题的关键． （1）利用韦达定理，由两根之和求另一根，再由两根之积求的值． （2）利用韦达定理表示两根和与积，代入的表达式，列方程求，再用判别式检验根的情况． 【详解】（1）解：根据题意，得，， ，． 当时，，符合题意． （2）解：∵方程的两个不相等的实数根为和， ，， ，解得，．经检验，，都为原分式方程的根． 当时，； 当时，（不符合题意，舍去）． 综上，的值为． 1．（2026·安徽·模拟预测）下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将各选项方程整理为一般形式，通过判别式的值判断根的情况，找出的选项即可． 【详解】解：A、方程为，，，，， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、整理得，，，，， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、整理得，，，，， ∴方程有两个相等的实数根，符合题意； D、方程为，，，，， ∴方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期中）若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系快速求出另一个根，也可先代入已知根求出k的值，再解方程得到结果． 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵对于一元二次方程，两根之和为， 又∵方程中，，一个根为1， ∴， ∴， 即方程的另一个根为， 故选：A． 3．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）若是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．2 C．－2 D．6 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接利用两根之和的结论即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和， 故选：B． 4．（25-26九年级上·四川自贡·期中）若α，β是方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B． C． D．3 【答案】A 【分析】由一元二次方程根与系数的关系，，，由此可解． 【详解】由题意得，，， ． 5．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造不等式，结合一元二次方程的根与系数关系转化为关于的不等式求解，同时验证判别式保证方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：设方程的两根为、，且，， 由根与系数的关系得，， ∵，， ∴，即， ∴，解得， 又判别式， 当时，，故，方程有两个不相等的实数根，满足条件； 综上，的取值范围是． 6．（2026·河北张家口·一模）嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 7．（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 8．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一元二次方程所有实数根的积是_______． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的两根之积为，直接利用该关系计算方程所有实数根的积即可． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴所有实数根的积是． 故答案为． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期末）、是关于的一元二次方程的两个实数根，且．的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系代入不等式求解，同时考虑判别式确保方程有两个实数根． 【详解】解：对于一元二次方程， 由根与系数的关系，得，， 则， ∵，即， 解得 ， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“差3方程”的概念是解题关键． 设方程的两根分别为，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，再结合“差3方程”以及完全平方公式可得关于m的方程，即可求解． 【详解】解：设方程的两根分别为， ∴， ∴， ∵方程是“差3方程”， ∴， ∴， 解得：， 当时，原方程为， 此时，符合题意； 当时，原方程为， 此时，符合题意； 综上所述，m的值为2或． 故答案为：2或 11．（22-23九年级下·湖北十堰·自主招生）已知关于x的方程 (1)若方程有实根，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知方程有实根，需进行分类讨论，方程若为一元二次方程，则；方程若为一元一次方程，则； （2）若方程有两个正实根，则首先方程为一元二次方程，需满足；其次根据一元二次方程根与系数的关系还需满足，即． 【详解】（1）解：∵方程有实根， 若方程为一元二次方程，则， 即， 解得且； 若方程为一元一次方程，则， 解得； 综上所述，； （2）解：若方程有两个实根，则方程为一元二次方程，需满足， 即， 解得且； 又∵方程有两个正实根， ∴， 即， 解不等式①得或, 解得或； 解不等式②得或， 解得或， 则不等式组的解集为或， 综上所述． 12．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据根的判别式进行求解； （2）根据根与系数的关系进行求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； （3）解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 13．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． （1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）设直角三角形两直角边，根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； 【详解】（1）解：① ，因式分解得根，，符合差根方程定义； ② ，因式分解得根，，不符合． 故答案为：①． （2）解：方程中，，， 因为是差根方程，所以， 平方得： ， 代入得，即， 解得． （3）解：设直角三角形两直角边， 由勾股定理得： ， 因为是差根方程的两根，所以， 平方得： ， 代入得： ， 解得． ， 因为，所以． 以为根的一元二次方程为， 即，验证得，符合差根方程定义． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程根与系数的关系 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根的判别式（重点） 1 题型二、韦达定理（重点） 3 题型三、解关于根的代数式的值（难点） 5 题型四、韦达定理求方程中的字母参数（难点） 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根的判别式 1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）不解方程，判断关于y的一元二次方程的根的情况（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．1或2 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）若关于的方程有实数根，请你写出一个符合条件的常数的值：________． 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 题型二、韦达定理 1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）若是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津西青·月考）一元二次方程的两根为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南永州·期末）已知关于x的方程，则___，___． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为，求另一个根和的值． 题型三、解关于根的代数式的值 1．（22-23九年级上·四川资阳·期末）已知实数、是关于的方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东·期末）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）若，是方程的两个根，则________． 4．（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知，是一元二次方程的两个根． 求： (1)的值 (2)的值 题型四、韦达定理求方程中的字母参数 1．（25-26九年级上·广东江门·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是1，则它的另一个根是（    ） A． B． C．2 D．3 2．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则m的取值范围为______________． 3．（25-26九年级上·河北邢台·期末）等腰的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则的值是______． 4．（25-26九年级上·四川达州·期末）关于的方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若该方程的一个实数根为，求另一个实数根及的值． (2)若该方程的两个不相等的实数根为和，且，求的值． 1．（2026·安徽·模拟预测）下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北邢台·期中）若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）若是关于的方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．2 C．－2 D．6 4．（25-26九年级上·四川自贡·期中）若α，β是方程的两个根，则的值为（    ） A．7 B． C． D．3 5．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）若关于的一元二次方程有一根小于1，一根大于1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 6．（2026·河北张家口·一模）嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 7．（25-26八年级上·上海普陀·期末）关于的一元二次方程的根的情况是______． 8．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）一元二次方程所有实数根的积是_______． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期末）、是关于的一元二次方程的两个实数根，且．的取值范围为______． 10．（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于的一元二次方程（为常数）有两个实数根，且其中一个根与另一个根的差为3，那么称这样的方程为“差3方程”．若方程是“差3方程”，则的值为___________． 11．（22-23九年级下·湖北十堰·自主招生）已知关于x的方程 (1)若方程有实根，求实数m的取值范围； (2)若方程有两个正实根，求实数m的取值范围． 12．（25-26九年级上·四川自贡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 13．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $