第八章 整式乘法（知识清单）数学新教材苏科版七年级下册

第八章 整式乘法 1.单项式乘单项式 法则： 单项式与单项式相乘,把它们的 、 字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的 作为积的一个因式； 2.单项式乘多项式法则： (1)单项式与多项式相乘,先用 乘 的每一项,再把所得的积 . (2)符号表示： 3.多项式乘多项式 法则： （1）多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加； （2）符号表示：() 4.完全平方公式 (1)完全平方和公式： (2)完全平方差公式： (3)几何图形验证： 5.平方差公式 (1)平方差公式：()() (2)几何图形验证： 一、单项式乘单项式： 错误：单项式与单项式相乘与合并同类项混淆． 注意：初学单项式与单项式相乘时，有些同学容易讲单项式与单项式相乘与合并同类项的法则混淆． 例如：,,这是非常常见的错误，理解这二者的计算法则是杜绝这种错误的关键。 二、单项式与多项式的乘法、多项式与多项式乘法 错误：单项式与多项式的乘法、多项式与多项式乘法最最容易犯错的地方是符号问题． 注意：例如， ,这种类型的问题中由于负号（减号）较多，所以容易导致乘积的各项符号错误。 三、完全平方公式 错误：认为“”． 分析： 之所以会产生这种错误，主要是受积的乘方公式的影响,要消除这种错误，可以通过以下两种方法： 方法一：让学生通过多项式的乘法法则，亲自推到以下完全平方公式，加强理解记忆； 方法二：让学生自己亲自随便找一些具体的数字带入进去，亲自验证。 ，显然左右两边不相等 知识点1训练：补充完全平方公式中所缺的项 1．填空： （1）（______）2_______； （2）（______）2_______； （3）（______）2_______； （4）( )． 2．填空： （1）( )___ ；         （2）________; （3）____ ; （4）___________ 3．根据完全平方公式填空： （1）____________； （2）( )． 知识点2训练：判断是否能使用平方差公式计算 4．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 5．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 6．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 知识点3训练：变形使用完全平方公式求值 7．若，，则的值为（   ） A． B． C．15 D．不存在 8．已知，求： (1)； (2)的值 9．已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 知识点4训练：用图形面积法验证完全平方公式 10．如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（    ） A． B． C． D． 11．把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同方式拼成如图①所示的正方形和如图②所示的大长方形，由两图形中阴影部分面积之间的关系可以验证等式（    ） A． B． C． D． 12．如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 知识点5训练：用图形面积法验证平方差公式 13．如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 14．从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 知识点6训练：运用乘法公式化简整式 16．计算： (1) (2) 17．用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算： (1)． (2)． 知识点7训练：运用乘法公式简便计算 19．用乘法公式进行简便计算． (1)； (2)； (3)． 20．简便运算： (1) (2) 21．用简便方法计算： (1)； (2)． 知识点8训练：运用乘法公式化简求值 22．化简求值，其中． 23．先化简，再求值：，其中． 24．先化简，再求值：，其中，． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 整式乘法 1.单项式乘单项式 法则： 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式； 2.单项式乘多项式法则： (1)单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加. (2)符号表示： 3.多项式乘多项式 法则： （1）多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加； （2）符号表示：() 4.完全平方公式 (1)完全平方和公式： (2)完全平方差公式：； (3)几何图形验证： 5.平方差公式 (1)平方差公式：()()； (2)几何图形验证： 一、单项式乘单项式： 错误：单项式与单项式相乘与合并同类项混淆． 注意：初学单项式与单项式相乘时，有些同学容易讲单项式与单项式相乘与合并同类项的法则混淆． 例如：,,这是非常常见的错误，理解这二者的计算法则是杜绝这种错误的关键。 二、单项式与多项式的乘法、多项式与多项式乘法 错误：单项式与多项式的乘法、多项式与多项式乘法最最容易犯错的地方是符号问题． 注意：例如， ,这种类型的问题中由于负号（减号）较多，所以容易导致乘积的各项符号错误。 三、完全平方公式 错误：认为“”． 分析： 之所以会产生这种错误，主要是受积的乘方公式的影响,要消除这种错误，可以通过以下两种方法： 方法一：让学生通过多项式的乘法法则，亲自推到以下完全平方公式，加强理解记忆； 方法二：让学生自己亲自随便找一些具体的数字带入进去，亲自验证。 ，显然左右两边不相等 知识点1训练：补充完全平方公式中所缺的项 1．填空： （1）（______）2_______； （2）（______）2_______； （3）（______）2_______； （4）( )． 【答案】 1 5 25 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式的结构特征即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：1，； （2）， 故答案为：5，25； （3）， 故答案为：，； （4）， 故答案为：． 2．填空： （1）( )___ ；         （2）________; （3）____ ; （4）___________ 【答案】 x a 【分析】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式成为解题的关键． 根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：（1）；         （2）； （3）；      （4）． 故答案为：（1）x，；（2），；（3）；（4）a，，． 3．根据完全平方公式填空： （1）____________； （2）( )． 【答案】 16 4 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）根据完全平方公式进行解答即可． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：16；4； 知识点2训练：判断是否能使用平方差公式计算 4．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式结构为，需两个二项式乘积中，一项相同，另一项互为相反数才能使用该公式，据此判断选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； B、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； C、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； D、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意． 5．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 6．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用．平方差公式的形式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A． 中，是相同项，与互为相反数，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； B． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：A 知识点3训练：变形使用完全平方公式求值 7．若，，则的值为（   ） A． B． C．15 D．不存在 【答案】C 【分析】利用完全平方公式进行变形，将已知条件代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ． 又∵， ∴， ， ∴． 8．已知，求： (1)； (2)的值 【答案】(1)13 (2)1 【分析】（1）化为，代值计算即可； （2）化为，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9．已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了整式乘法的公式，掌握完全平方公式的形式和变形是解题的关键． （）利用完全平方公式变形计算即可； （）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴或． 知识点4训练：用图形面积法验证完全平方公式 10．如图，把一个边长为a的正方形相邻两边增加b得到一个新的大正方形，则通过新的大正方形的面积表示可以得到等式（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用几何图形验证完全平方公式，解决本题的关键是用不同的方式表示正方形的面积． 【详解】解：大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 大正方形是由两个边长分别为、的正方形和个长为宽为的矩形组成， 大正方形的面积还可以表示为， ． 故选：B． 11．把长和宽分别为和的四个相同的小长方形按不同方式拼成如图①所示的正方形和如图②所示的大长方形，由两图形中阴影部分面积之间的关系可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图①可得：阴影部分的面积为：； 由图②可得：阴影部分的面积为：， 再利用阴影部分的面积相等可得答案． 本题考查的是利用几何图形的面积证明乘法公式，掌握“利用图形面积的不同的计算方法证明乘法公式”是解本题的关键． 【详解】解：由图①可得，阴影部分的面积为．由图②可得，阴影部分的面积为． ∵阴影部分的面积相等，、 ∴． 故选：D． 12．如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 又∵大正方形可看作由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， ∴． 故选：A． 知识点5训练：用图形面积法验证平方差公式 13．如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 14．从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，分别表示出图形的面积，再结合变化过程分析即可解题． 【详解】解：由图知，图的面积为， 图的面积为， 结合图1到图2的变化过程可以发现， 故选：B． 15．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 知识点6训练：运用乘法公式化简整式 16．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）先运用单项式乘多项式法则与完全平方公式计算，再合并同类项化简． （2）先运用多项式乘多项式法则与平方差公式展开各项，再去括号合并同类项化简 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）原式运用完全平方公式进行计算即可； （2）原式运用完全平方公式进行计算即可； （3）原式运用完全平方公式进行计算即可； （4）原式运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 18．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点7训练：运用乘法公式简便计算 19．用乘法公式进行简便计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)9801 (2) (3)1 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： 20．简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将转化为，利用完全平方公式计算； （2）将转化为，转化为，利用平方差公式计算后再进行整式的加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 21．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 知识点8训练：运用乘法公式化简求值 22．化简求值，其中． 【答案】化简结果为，求值为 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，涉及平方差公式、完全平方公式及单项式乘多项式的运算法则，关键是准确运用公式展开，注意符号的处理，避免合并同类项时出错．先利用乘法公式和整式运算法则将原式展开，再合并同类项化简为最简整式，最后代入计算出结果； 【详解】解： ． 当时，原式． 23．先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】此题考查了整式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，利用乘法公式进行计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 ． 24．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用完全平方公式，多项式乘多项式法则展开，然后去括号并合并同类项，最后将已知数值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $