专题02 两点间距离公式、平移与轴对称9重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题02 两点间距离公式、平移与轴对称 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用两点间距离求边长确定图形的形状 1 题型二、利用两点间距离求点的坐标 8 题型三、利用两点间距离表示物体的位置 13 题型四、已知点平移前后的坐标判断平移方式 15 题型五、判断点是否关于x轴、y轴或原点对称 16 题型六、根据平移或对称求参数 17 题型七、图形在平面直角坐标系中的平移 19 题型八、坐标系中的轴对称 21 题型九、平移与轴对称中的规律探索 27 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用两点间距离求边长确定图形的形状 1．已知一个各顶点坐标为，，，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形．理由见解析 【详解】解：是等腰三角形．理由如下： ∵各顶点坐标为，，， ∴， ， ， ，， 为等腰三角形． 2．如图，方格纸中每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，现有，，三点，其中点坐标为，点坐标为，点坐标为． (1)在方格纸中建立平面直角坐标系，直接写出的值．并画出点． (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示， 此时点坐标为，则，点的位置如上图所示； （2）解：是等腰直角三角形． 理由：∵，，， ∴， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 3．利用勾股定理可以得出两点间的距离公式，如下图，平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离，例如：若点，，则． (1)若点，，则 ． (2)在（1）的条件下，已知点，判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 故答案为： ； （2）是直角三角形．理由如下： ， ， ， 是直角三角形． 4．（1）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，，与相交于点．试说明垂直平分． （2）阅读与应用： 阅读：在平面直角坐标系中，点，，如何求，两点之间的距离呢？ 如图，作，在中，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为． 应用： (1)已知平面上两点，，求，两点之间的距离； (2)若平面上有三个点，，，试判断的形状，并说明理由． 【详解】（1）证明：由是的角平分线，，， 故， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分． （2）①解：根据题意，得两点，的距离为： ． ②解：根据题意，三个点，，， 故，， ， 故， 故， 故是等腰直角三角形． 5．先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内有两点，，其两点间的距离公式为，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，距离公式可简化成或．已知点，， (1)试求P，Q两点的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，试求M，N两点的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由题意知，； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ，，， ， ， ， ， 为等腰三角形． 6．如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标 (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：． 【详解】（1）解：如图：过点作轴于． ∵， ∴， ，， ，， ，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； （2）存在； 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为； 当时，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或； （3）过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ． 7．阅读下列一段文字，然后回答下列问题. 已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算：. 例如：已知、，则这两点间的距离．特别地，如果两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． (1)已知、，求、两点间的距离； (2)已知、在平行于轴的同一条直线上，点的纵坐标为8，点的纵坐标为2，求、两点间的距离； (3)已知的顶点坐标分别为、、，你能判定的形状吗?请说明理由． 【详解】（1）解：、， ； （2）、在平行于轴的同一条直线上，点的纵坐标为8，点的纵坐标为2， ； （3）是直角三角形． 理由：、、， ， ， ， ， ∴是直角三角形． 8．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，，试求A、B两点间的距离； (2)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； (3)已知，在坐标轴上是否存在一点P，使为直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：等腰直角三角形，理由如下： ∵、、 ， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：存在， ， ， 点P在坐标轴上 设， ∴，， 当时，则，解得（此时为P原点，舍去）,，此时； 当时，，则，解得（此时为P原点，舍去）； 当时，则，解得，此时； 设， ∴，， 当时，则，解得（此时为P原点，舍去）,，此时； 当时，则，解得（此时为P原点，舍去）； 当时，则，解得，此时； 综上，或或或． 题型二、利用两点间距离求点的坐标 9．已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设， ∵， ∴=， 两边平方得， 化简得， 解得， 故点的坐标为， 故选B． 10．如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴， 解得：或， ∵点C在第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 11．若点在第四象限，且点到轴的距离为4，到原点的距离为5，则点的坐标为________ ． 【答案】 【详解】解：∵点在第四象限， ，． ∵点到轴的距离为4， ． 又， ． ∵点到原点的距离为5， ，即． ． 又， ． ∴点的坐标为． 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，，为平面内一点，将线段绕点旋转后，恰好与线段重合，且点的对应点是点，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：由旋转可得，， ∴点为线段的垂直平分线的交点， ∵为原点，，， ∴点横坐标为1， 设， 由得，， 解得， ∴ ∴点的坐标为， 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，点，点在轴上，且为等腰三角形（为坐标原点），则点的坐标为______． 【答案】或或或 【详解】解：∵点，点在轴上， ∴，设点坐标为， ∴，， ①当时，则，解得或，故点B坐标为或； ②当时，则，解得或， 当时，两点重合，不构成三角形，故舍去，故点B坐标为； ③当时，则，解得，故点B坐标为； ∴综上，点的坐标可为或或或， 故答案为：或或或． 14．在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 【答案】 【详解】点，点， 情况1：； 情况2：， 平方得，解得； 情况3：， 则， ， 即或（舍去），； 综上，的坐标为． 故答案为：． 15．如图，已知点，在坐标轴上确定点P，使得为直角三角形． （1）若点P在x轴上，则满足条件的点P的坐标为____________； （2）若点P在y轴上，则满足条件的点P的坐标为____________． 【答案】 或 或或或 【详解】解：（1）当点P为直角顶点时，则，即轴， ∵， ∴； 当点B为直角顶点时，则， 设，则， 解得， ∴； 综上所述，点P的坐标为或； 故答案为：或； （2）设，则，，， 当点A为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴； 当点P为直角顶点时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 题型三、利用两点间距离表示物体的位置 16．如图，网格中每个小正方形的边长都为1米． (1)请用两种不同的方法表示点的位置； (2)请用相对于点的方位表示点的位置． 【详解】（1）解：方法一：以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为； 方法二：， 点位于点的东北方向，距离点的距离为； （2）解：点位于点的西南方向，距离点的距离为． 17．如图所示是一足球场的半场平面示意图，已知球员A的位置为，球员C的位置为. (1)请画出相应的平面直角坐标系； (2)写出球员B的位置坐标； (3)求出球员B与球员A的距离. 【详解】（1）解：∵球员A的位置为，球员C的位置为， ∴以点A所在的直线上方1个单位的直线为x轴，点C所在直线为y轴建立直角坐标系， 如图所示，平面直角坐标系即为所求： （2）解：由（1）图象可知，此时球员B的坐标为． （3）解：∵，， ∴． 18．某数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下的平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂 ，大门 ； (3)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置； (4)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为 m． 【详解】（1）解：已知旗杆的位置是，实验楼的位置是，建立平面直角坐标系如图所示： （2）根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，大门； （3）体育馆的位置是，教学楼的位置是，如图所示： （4）根据（1）中的平面直角坐标系可得，大门的位置是，图书馆的位置是， 若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为： 题型四、已知点平移前后的坐标判断平移方式 19．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 【答案】C 【详解】解：∵平移前点P的坐标为，平移后点的坐标为， ∴纵坐标保持不变，横坐标的变化量为， ∴根据“左减右加”的平移规律，点P需向左平移6个单位长度． 20．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【答案】B 【详解】解：∵点A的坐标为，平移后点B的坐标为， ∴两点纵坐标相等，没有发生上下平移，故排除C、D选项； 又∵，横坐标减少4，符合左移减的规律， ∴平移方法为向左平移4个单位长度． 21．如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（    ） A．将点向右平移7个单位 B．将点向右平移5个单位 C．将点向右平移1个单位 D．将点向右平移2个单位 【答案】A 【详解】解：∵四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，， ∴这四个点在同一条水平直线上，且点和点关于轴对称， A、将点向右平移7个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，从而可使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，符合题意； B、将点向右平移5个单位，得到，即，此时点与点不关于轴对称，故不符合题意； C、将点向右平移1个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，但点和点不关于轴对称，故不符合题意； D、将点向右平移2个单位，得到，即，此时点与点关于轴对称，但点和点不关于轴对称，故不符合题意； 故选：A． 22．四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 【答案】③ 【详解】解：∵，，，这四个灯笼的纵坐标都是， ∴这四个灯笼在一条直线上，且这条直线平行于x轴， ∵，的坐标分别是，， ∴A，B关于y轴对称， 要使得轴两侧的灯笼对称， 只需要C，D关于y轴对称即可， ∵，的坐标分别是，， ∴可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 或可以将灯笼向左平移到，平移5.2个单位， 综上，平移的方法可以是③． 题型五、判断点是否关于x轴、y轴或原点对称 23．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【答案】C 【详解】解；∵、， ∴点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴，两点关于y轴对称， 故选：C． 24．点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 【答案】C 【详解】解：∵点和点的横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴点和点在坐标平面内的关系是关于原点对称． 故选：C 25．已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点，点与点关于轴对称， ∴点的横坐标与的横坐标相同，为， 点的纵坐标是纵坐标的相反数，即， ∴点的坐标为． 26．已知点与点，则这两个点关于______对称． 【答案】轴或原点 【详解】解：点与点， 这两个点关于轴或原点对称， 故答案为：轴或原点． 题型六、根据平移或对称求参数 27．已知点与点关于x轴对称（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【详解】解：由题意得， 解得． 28．点与关于原点对称，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D．5 【答案】C 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 29．若点，向右平移3个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 点向右平移3个单位长度后，新点坐标为，即， 又∵ 平移后得到点， ∴ ，且， 解得 ， 故选：B． 30．将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点向右平移1个单位长度得到， ∴的坐标为，即， ∵在轴上，轴上的点横坐标为0， ∴， 解得：， 将代入点的坐标： ，， ∴点的坐标是． 故选：B 31．已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 32．在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则的值是________． 【答案】 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ，， ． 题型七、图形在平面直角坐标系中的平移 33．如图，在平面直角坐标系中，为线段的两个端点．由于线段上所有点的纵坐标都是，横坐标的取值范围是，则线段 可以表示为“线段”．若把线段先向右平移个单位，再向下平移个单位得到线段，则线段可以表示为（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【详解】解：∵线段先向右平移个单位，再向下平移个单位得到线段， ∴，， ∴线段可以表示为：线段， 故选：D ． 34．如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 【答案】 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∴将沿x轴向右平移了个单位长度得到， ∴将点向右平移2个单位长度得到点． 35．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，． (1)点D的坐标为______； (2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【详解】（1）解：将点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的点D的横坐标为，纵坐标为，即； （2）设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为或． 36．已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标为，即； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 题型八、坐标系中的轴对称 37．如图，的三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点，，，直接写出点，，的坐标； (2)在x轴上找一点D，使的周长最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹） 【详解】（1）解：如图，为所作，，，． （2）解：如图，点D为所作． 38．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)在x轴上找一点P，使得的周长最短，在图中标记出点P的位置，并求出这个最短周长． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接， 根据轴对称得，此时的周长最小，则点P即为所求， 由图可得，，， ∴的周长， ∴的最短周长为． 39．如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，．按下列要求作图，保留作图痕迹，不需要写出作法． (1)在图中作出与关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)直线轴，在直线m上求作一点P，使得的周长最小，请在图中画出点 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标； （2）解：如图，点P即为所求． 40．如图，是一个正方形格纸，中点坐标为，点的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，和关于哪条直线对称？ (2)作出关于轴对称的图形； (3)在轴上求作一点，使的和最小． 【详解】（1）解：根据中点坐标为，点的坐标为， 建立平面直角坐标系如下图， 如图所示，点的坐标为，点的坐标分别为， 和的对应点的连线被y轴垂直平分， ∴和关于y轴对称； （2）解：如图，的三点关于轴对称的对应点分别为 ，连接对应点得，即为所求； （3）解：如图，作关于轴的对称点， 和关于轴对称，点M在x轴上， ， ， 当在一条直线上时，最小， 连接，和轴的交点即为所求点，此时最小． 41．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)若点C与点A关于y轴对称，则点C的坐标为______； (2)在平面直角坐标系中画出； (3)y轴上存在一点P，使得的周长最小，请在图中标出点P的位置． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点C与点A关于y轴对称， ∴点C的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求， ； （3）解：如图所示，点即为所求． 题型九、平移与轴对称中的规律探索 42．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图可知， ∴长方形的周长为， ∴每一次相遇后，出发到再相遇，点和点所运动的路程和均为， 设点与点每次相遇所需时间为秒，则，解得， 即每秒相遇一次，则根据运动方式可求出，可以发现相遇点的坐标每次完成一循环， 又∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标为． 43．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 归纳类推得：这个粒子运动到所用时间为秒（其中为正整数）， 观察运动规律可知，在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动， ∵，，，且44为偶数， ∴第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，此时这个粒子所处位置为，即， 故选：A． 44．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是________． 【答案】 【详解】解：先列出前几次运动后的坐标： 第次从原点运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， ①横坐标规律： 第次运动后的横坐标就是， ∴第次运动后的横坐标为． ②纵坐标规律： 纵坐标以为一个周期循环，周期长度为 余数为，对应周期中的第个值，即纵坐标为 ∴经过第次运动后，动点的坐标是． 故答案为：． 45．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点，那么点的坐标为____________． 【答案】 【详解】解：根据题意可知， ，…， ∴点的纵坐标每4个点循环一次， ∵， ∴点在，，的位置上，纵坐标为0，横坐标为序号的一半， 即， ∴点的坐标， ∵点是点向上平移1个单位得到的， ∴坐标为， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24九年级下·上海·期中）将向右平移3个单位后得到点B，则点B坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的平移，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减列式计算即可得解． 【详解】解：将点向右平移3个单位得到点B， ，即． 故选：A． 2．已知点和点关于x轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标．根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海·月考）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“已知两点的坐标求两点之间的距离”的求解方法是解本题的关键． 根据平面直角坐标系中两点间距离公式，计算点到原点的距离即可． 【详解】解：根据题意得，点到原点的距离是． 故选：C． 4．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，三角形沿x轴向右平移后得到三角形，点A的对应点到x轴、y轴的距离相等，则点B与其对应点间的距离为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征以及坐标与图形变化－平移，利用平移的性质及点的坐标特征，连接，利用平移的性质可得出，且轴，利用点到x轴、y轴的距离相等可得出点的坐标，结合点的坐标可得出的值，此题得解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵点A的坐标为，三角形沿x轴向右平移后得到三角形， ∴，且轴， ∵点A的对应点到x轴、y轴的距离相等， ∴点的坐标为， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级下·上海闵行·月考）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为5，且满足那么满足条件的点的个数（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程；根据勾股定理可得，将代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：由可得， ∵点到坐标原点的距离为5， ∴ ∴ 解得：或 当时， 当时， 即或 故选：B． 二、填空题 6．（2024·上海普陀·二模）在直角坐标平面内，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，如果点和点恰好关于原点对称，那么点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查点的平移和原点对称的性质，先按题目要求对、点进行平移，再根据原点对称的特征：横纵坐标互为相反数进行列方程，求解． 【详解】设，向右平移个单位，再向上平移个单位得到 、关于原点对称， ，， 解得，， 则 故答案为： 7．在平面直角坐标系内，点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上，则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了坐标与图形变化—对称，根据轴对称性可得，即可求出结果． 【详解】解：点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上， ， ， 故答案为：3． 8．在平面直角坐标系中，如果将点进行平移后得到点，则平移方法是______． 【答案】向左平移个单位 【分析】根本题考查了点坐标的平移变换规律，掌握理解点坐标的平移变换规律是解题关键． 据点坐标的平移变换规律即可得．点坐标的平移变换规律：将点向右（或向左）平移个单位长度，得到点的坐标为（或）；将点向上（或向下）平移个单位长度，得到点的坐标为（或）． 【详解】解：∵ ∴将点向左平移个单位后，得到点， 故答案为：向左平移个单位． 9．如果将点先向上平移3个单位，再向右平移1个单位后，得到点，那么点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标的平移，根据坐标的平移法则：左减右加，上加下减，即可得出答案，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将点先向上平移3个单位，再向右平移1个单位后，得到点，那么点的坐标是， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海·期末）已知直角坐标平面内三点和，，那么是_____________三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由题意根据两点间的距离公式可得的长度，即可对的形状进行判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 11．（23-24八年级上·上海普陀·期末）小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于________． 【答案】5 【详解】如图所示，根据原式表示的几何意义是点M到点的距离之和的最小值，可作B点关于x轴的对称点，连接，此时的长即为所求代数式的最小值， ∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴的最小值等于5 ， 故答案为：5． 12．（24-25八年级上·上海·期末）若点在轴上，点坐标是，且则点的坐标是______________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了两点距离计算公式，设出点P的坐标，根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点坐标是，且， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或， 故答案为：或． 13．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据点坐标及直线轴可知点和点的横坐标相等，再由，分类讨论求出的纵坐标即可． 【详解】∵，直线平行于轴，， ∴分类：①点在点的上方，则，即； ②点在点的下方，则，即． 综上，点的坐标或． 14．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为__________． 【答案】， 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中两点之间的距离， 设，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】∵点在轴上 ∴设 ∵点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为，． 故答案为：，． 15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为沿坐标轴方向平移后得到（点、的对应点分别为），如果点是直线上一点，那么线段的长为________．    【答案】或 【分析】根据沿轴平移到，点与点对应，点是直线上一点，可分类讨论，设当，即沿轴向右平移，且点是直线上一点；设当，即沿轴向下平移，且点是直线上一点；根据平移的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：点，沿轴平移到，点与点对应， ∴设当，即沿轴向右平移，且点是直线上一点， ∴，解得，， ∴沿轴向右平移个单位长度到，如图所示，过点作轴于点，连接，    ∴， ∴，， 在中，； 设当，即沿轴向下平移，且点是直线上一点， ∴， 即， ∴沿轴向下平移个单位长度到，如图所示，过点作轴于点，连接，    ∴， ∴，， 在中，； 综上所述，线段的长为或， 故答案为：或． 16．如图，线段AB两点的坐标分别为、，在x轴的下方存在点C，使以点A，B，C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为______． 【答案】（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣）/（﹣，﹣）或（﹣6，﹣4） 【分析】先证明OB＝AB，再分△ABO≌△BAC和△ABO≌△ABC两种情况，画出图形，再进行求解即可． 【详解】解：∵线段AB两点的坐标分别为、， ∴OB＝，AB＝， ∴OB＝AB， 以点A，B，C为顶点的三角形与全等，存在两种情况： ①△ABO≌△BAC，如图1， ∴OA＝BC，AC＝BO， ∴四边形ACBO是平行四边形， ∵点A（﹣4,0），点（﹣2，﹣4），点O（0，0）） ∴点C的坐标是（﹣6，﹣4）； ②△ABO≌△ABC时，如图2，连接OC交AB于点P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥x轴于点E， ∵AC＝AO，BC＝BO， ∴AB是OC的垂直平分线， ∴∠APO＝90°， ∵， ∴ 由勾股定理得， AP＝， ∵， ∴PF＝， ∴OF＝， ∵PFCE，OP＝PC， ∴ OE＝2OF＝，CE＝2PF＝， ∴点C的坐标是（﹣，﹣）； 综上所述，点C的坐标是（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣）． 故答案为：（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣） 三、解答题 17．（23-24八年级上·上海·月考）已知：，，，且为等腰三角形，求的值． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形的定义，结合两点距离公式得，，，然后进行分类讨论，即可列式作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵为等腰三角形， ∴当时，即， 则 解得； 或当时，即， 因为， 所以 此种情况不存在； 或当时，即， 则， 即， 那么 综上所述，或． 18．（2024·上海·模拟预测）小陈同学在整理数学笔记：两点间距离公式时发现了一个巧妙的事情：代数式的几何意义为点到点和点的距离之和． (1)根据小陈的发现，代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为_________； (2)求：代数式的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：或 ∴代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为或， 故答案为：或 （2）∵ 即所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点距离之和，即，如图所示： 设点A关于x轴的对称点为，则, ∴要求的最小值，只要求的最小值， 当三点共线时，取最小值，即为线段的长， 如图，过点B作x轴的垂线，过点作y轴的垂线，相交于点C，则 ， ∴， 即代数式的最小值为． 19．已知点A的坐标为，设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D．    (1)在直角坐标平面内描出点A、点B、点C； (2)点B的坐标是______，点C的坐标是______． (3)已知在线段BC上存在一点E，恰好能使与全等，那么此时点E的坐标是______． 【详解】（1）解：（1）的坐标为，点关于轴对称的点为点，点关于原点的对称点为点，过点作轴的平行线，交轴于点．如图：    （2）解：由图可知，点的坐标是；点的坐标是． （3）解：点如图所示：   ， ，， ，， ，， 点坐标为． 20．阅读材料： 两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2． 例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝ 根据上面材料完成下列各题： (1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　 　． (2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． (3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值． 【答案】(1) (2)或或或 (3) 【详解】（1）解：点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是： 故答案为： （2）解： 点B在坐标轴上，设或 当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5， 或 或 当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5， 或 解得： 或 （3）解：点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5， 整理得： 解得： 21．在平面直角坐标系中，已知两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）使得，那么称点与点是图形的抽象对称点．已知点． (1)如图，已知点． 在，，这三个点中，与点可以成为线段的抽象对称点的是________； 已知，若点与点是线段的抽象对称点，则的取值范围是________； (2)如图，若点与点是线段的抽象对称点，，则满足条件的所有点组成的图形面积是________； (3)如图，正方形的四个顶点坐标分别为，，，且．若线段上的任意两个点都是正方形的一对抽象对称点，请在坐标系中画出符合条件的最小的正方形，并简述画图步骤． 【详解】（1）解：，，， ，， 点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， ，，， ，； ，； ，， 点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 在线段上存在点，，使得，即点与点可以成为线段的抽象对称点； 在线段上不存在点，，使得，即点与点不能成为线段的抽象对称点； 在线段上存在点，，使得，即点与点可以成为线段的抽象对称点； 故答案为：，； ， ，， 点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 由知，点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 点与点是线段的抽象对称点， ，解得， 则的取值范围是 故答案为：； （2）解：， 满足的点为在以点为圆心，半径为的上任意一点，如图所示， 点与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 点与点是线段的抽象对称点， 满足条件的所有点即为以点为圆心，半径为的和以点为圆心，半径为的，以及矩形内任意一点， 满足条件的所有点组成的图形面积为； 故答案为； （3）解：与线段上一点的距离最小值为，最大值为， 线段上的任意两个点都是正方形的一对抽象对称点，，，，且， 正方形上的点与线段上的点的距离总是大于或等于点与线段上的点的距离， 故以点为圆心，长为半径画圆，与过点的水平线线的交点即为点，则，依次作出，，即正方形为符合条件的最小的正方形． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 两点间距离公式、平移与轴对称 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用两点间距离求边长确定图形的形状 1 题型二、利用两点间距离求点的坐标 5 题型三、利用两点间距离表示物体的位置 6 题型四、已知点平移前后的坐标判断平移方式 7 题型五、判断点是否关于x轴、y轴或原点对称 8 题型六、根据平移或对称求参数 8 题型七、图形在平面直角坐标系中的平移 9 题型八、坐标系中的轴对称 10 题型九、平移与轴对称中的规律探索 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用两点间距离求边长确定图形的形状 1．已知一个各顶点坐标为，，，请判定此三角形的形状，并说明理由． 2．如图，方格纸中每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，现有，，三点，其中点坐标为，点坐标为，点坐标为． (1)在方格纸中建立平面直角坐标系，直接写出的值．并画出点． (2)连接，判断的形状，并说明理由． 3．利用勾股定理可以得出两点间的距离公式，如下图，平面直角坐标系内有两点，，那么两点间的距离，例如：若点，，则． (1)若点，，则 ． (2)在（1）的条件下，已知点，判断的形状，并说明理由． 4．（1）如图，是的角平分线，，，垂足分别为，，与相交于点．试说明垂直平分． （2）阅读与应用： 阅读：在平面直角坐标系中，点，，如何求，两点之间的距离呢？ 如图，作，在中，，所以．因此，我们得到平面上两点，之间的距离公式为． 应用： (1)已知平面上两点，，求，两点之间的距离； (2)若平面上有三个点，，，试判断的形状，并说明理由． 5．先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知在平面内有两点，，其两点间的距离公式为，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，距离公式可简化成或．已知点，， (1)试求P，Q两点的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，试求M，N两点的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，，，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 6．如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标 (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：． 7．阅读下列一段文字，然后回答下列问题. 已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算：. 例如：已知、，则这两点间的距离．特别地，如果两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． (1)已知、，求、两点间的距离； (2)已知、在平行于轴的同一条直线上，点的纵坐标为8，点的纵坐标为2，求、两点间的距离； (3)已知的顶点坐标分别为、、，你能判定的形状吗?请说明理由． 8．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点，，其两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)已知，，试求A、B两点间的距离； (2)已知一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； (3)已知，在坐标轴上是否存在一点P，使为直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标；若不存在说明理由． 题型二、利用两点间距离求点的坐标 9．已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．若点在第四象限，且点到轴的距离为4，到原点的距离为5，则点的坐标为________ ． 12．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，，，为平面内一点，将线段绕点旋转后，恰好与线段重合，且点的对应点是点，则点的坐标为______． 13．在平面直角坐标系中，点，点在轴上，且为等腰三角形（为坐标原点），则点的坐标为______． 14．在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 15．如图，已知点，在坐标轴上确定点P，使得为直角三角形． （1）若点P在x轴上，则满足条件的点P的坐标为____________； （2）若点P在y轴上，则满足条件的点P的坐标为____________． 题型三、利用两点间距离表示物体的位置 16．如图，网格中每个小正方形的边长都为1米． (1)请用两种不同的方法表示点的位置； (2)请用相对于点的方位表示点的位置． 17．如图所示是一足球场的半场平面示意图，已知球员A的位置为，球员C的位置为. (1)请画出相应的平面直角坐标系； (2)写出球员B的位置坐标； (3)求出球员B与球员A的距离. 18．某数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下的平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； (2)用坐标表示位置：食堂 ，大门 ； (3)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置； (4)若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为 m． 题型四、已知点平移前后的坐标判断平移方式 19．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，则下列方法正确的是（    ） A．向右平移6个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向左平移6个单位长度 D．向左平移4个单位长度 20．在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 21．如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，则平移的方法可以是（    ） A．将点向右平移7个单位 B．将点向右平移5个单位 C．将点向右平移1个单位 D．将点向右平移2个单位 22．四盏灯笼的位置如图．已知灯笼，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是__________．（请填写序号） ①将灯笼向左平移3个单位长度；    ②将灯笼向左平移4个单位长度； ③将灯笼向左平移5.2个单位长度；    ④将灯笼向左平移4.2个单位长度． 题型五、判断点是否关于x轴、y轴或原点对称 23．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 24．点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 25．已知点，点与点关于轴对称，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 26．已知点与点，则这两个点关于______对称． 题型六、根据平移或对称求参数 27．已知点与点关于x轴对称（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 28．点与关于原点对称，则的值为（   ） A． B．2 C．1 D．5 29．若点，向右平移3个单位长度后得到点，则a，b的值分别为（   ） A． B． C． D． 30．将点向右平移1个单位长度得到，且点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 31．已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 32．在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则的值是________． 题型七、图形在平面直角坐标系中的平移 33．如图，在平面直角坐标系中，为线段的两个端点．由于线段上所有点的纵坐标都是，横坐标的取值范围是，则线段 可以表示为“线段”．若把线段先向右平移个单位，再向下平移个单位得到线段，则线段可以表示为（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 34．如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 35．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．现将线段向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的图像是线段，连接，． (1)点D的坐标为______； (2)在y轴上存在一点P，连接，，且，求点P的坐标． 36．已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 题型八、坐标系中的轴对称 37．如图，的三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的图形，其中点A，B，C的对称点分别为点，，，直接写出点，，的坐标； (2)在x轴上找一点D，使的周长最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹） 38．在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)在x轴上找一点P，使得的周长最短，在图中标记出点P的位置，并求出这个最短周长． 39．如图，已知的三个顶点的坐标分别是，，．按下列要求作图，保留作图痕迹，不需要写出作法． (1)在图中作出与关于y轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)直线轴，在直线m上求作一点P，使得的周长最小，请在图中画出点 40．如图，是一个正方形格纸，中点坐标为，点的坐标为． (1)请在图中建立平面直角坐标系，和关于哪条直线对称？ (2)作出关于轴对称的图形； (3)在轴上求作一点，使的和最小． 41．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)若点C与点A关于y轴对称，则点C的坐标为______； (2)在平面直角坐标系中画出； (3)y轴上存在一点P，使得的周长最小，请在图中标出点P的位置． 题型九、平移与轴对称中的规律探索 42．如图，直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，同时点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 43．如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 44．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是________． 45．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点，那么点的坐标为____________． 一、单选题 1．（23-24九年级下·上海·期中）将向右平移3个单位后得到点B，则点B坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知点和点关于x轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·月考）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．1 B． C． D．3 4．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，三角形沿x轴向右平移后得到三角形，点A的对应点到x轴、y轴的距离相等，则点B与其对应点间的距离为（   ） A． B．3 C．4 D．5 5．（24-25八年级下·上海闵行·月考）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为5，且满足那么满足条件的点的个数（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．不存在 二、填空题 6．（2024·上海普陀·二模）在直角坐标平面内，将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，如果点和点恰好关于原点对称，那么点的坐标是______． 7．在平面直角坐标系内，点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上，则__________． 8．在平面直角坐标系中，如果将点进行平移后得到点，则平移方法是______． 9．如果将点先向上平移3个单位，再向右平移1个单位后，得到点，那么点的坐标是____________． 10．（24-25八年级上·上海·期末）已知直角坐标平面内三点和，，那么是_____________三角形． 11．（23-24八年级上·上海普陀·期末）小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于________． 12．（24-25八年级上·上海·期末）若点在轴上，点坐标是，且则点的坐标是______________． 13．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________． 14．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上且，则点的坐标为__________． 15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为沿坐标轴方向平移后得到（点、的对应点分别为），如果点是直线上一点，那么线段的长为________．    16．如图，线段AB两点的坐标分别为、，在x轴的下方存在点C，使以点A，B，C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为______． 三、解答题 17．（23-24八年级上·上海·月考）已知：，，，且为等腰三角形，求的值． 18．（2024·上海·模拟预测）小陈同学在整理数学笔记：两点间距离公式时发现了一个巧妙的事情：代数式的几何意义为点到点和点的距离之和． (1)根据小陈的发现，代数式的值的几何意义为点到点和点B的距离之和，则点B的坐标为_________； (2)求：代数式的最小值． 19．已知点A的坐标为，设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D．    (1)在直角坐标平面内描出点A、点B、点C； (2)点B的坐标是______，点C的坐标是______． (3)已知在线段BC上存在一点E，恰好能使与全等，那么此时点E的坐标是______． 20．阅读材料： 两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2． 例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝ 根据上面材料完成下列各题： (1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　 　． (2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． (3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值． 21．在平面直角坐标系中，已知两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）使得，那么称点与点是图形的抽象对称点．已知点． (1)如图，已知点． 在，，这三个点中，与点可以成为线段的抽象对称点的是________； 已知，若点与点是线段的抽象对称点，则的取值范围是________； (2)如图，若点与点是线段的抽象对称点，，则满足条件的所有点组成的图形面积是________； (3)如图，正方形的四个顶点坐标分别为，，，且．若线段上的任意两个点都是正方形的一对抽象对称点，请在坐标系中画出符合条件的最小的正方形，并简述画图步骤． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $