题型四 填空压轴题（第15题，必考）-【一战成名新中考】2026河南中考数学·二轮复习·专项分类提升练优质PPT课件

数学 1 2 三、压轴题（10,15,22,23题）分类提 升练 题型四 填空压轴题（第15题，必考） 3 新定义类（2025.15） 1. 定义：三个内角的度数之比为 的三角形叫作“朔望三 角形”.如图，在中， ， ,,， 为边 上任意两点在的左侧，连接,,若 为“朔望三角形”， 则 的长为________________. 第1题图 或 4 【解析】由题意可得“朔望三角形”的三个内角的度数分别为 ， ， ，分两种情况讨论：如解图，①当 为“朔望三角形”， ，时，则， , ， , ，, ；, ，，当 为“朔望三角形”时，此时点与点重合，， , ，， .综上所述， 的长为或 . 第1题解图 5 2. 定义：我们称有两个直角且有一组邻边相等的四边形是 “垂等四边形”.如果垂等四边形的 ，相等的邻边 ，则垂等四边形 的面积是_____________________. 或 6 【解析】当 时如解图①，延长、交于点 ， ，，，， 垂等四边形的面积是 ；当 时如解图②，延长、交于点， ， ，，， . 垂等四边形的面积是 . 第2题解图 7 当 时如解图③，过点作于点, , ,,易证四边形 为矩形，, 垂等四边形 的面积为 .综上所述，垂等四边形的面积是 或 . 第2题解图 3. 定义：若三角形三边都是正整数且各不相等，则称这个三 角形是“和美三角形”.如果是和美三角形，且最长边 ， ，那么和美三角形 的面积是_____________________. . 或 9 【解析】过点作于点，则和美三角形 分两种情况：① 当在线段上时,如解图①，， ， ， ，，.由勾股定理得当时， ， 是和美三角形，面积是；当 时， ，不是和美三角形；当时，， 也不是和美三角形.②当在线段 的延长线上时， 第3题解图 10 如解图②，，， ，，， . 由勾股定理得当时，，， 是和美三角形，面 积是；当时，， 不是和美三角形； 当时，， 也不是和美三角形.综上所述，和美 的面积是或 . 第3题解图 最值、区间范围类（2024.15） 第4题图 4.如图，矩形中，，，是边的中点，是边 上的动点，连接，，则 的最小值为____，最大值为 ____________. 13 12 第4题解图 【解析】如解图①，作出点关于的对称点，连接交于点 ， 连接，此时的值最小，由对称的性质可得： ， ，，，是边的中点， ， , ， ， 的最小值 ，如 解图②，当点移动到点时， 的值最 大， , ， . 13 5.如图，在矩形中，，，折叠矩形使点落在边 上的点处，折痕为.当点在边上移动时，折痕的端点， 也随之 移动.若限定点，分别在边，（含端点）上移动，则 的取值范 围为____________. 第5题图 14 【解析】如解图①，当点与点 重合时，由折叠的性质可得 ；如解图②，当点与点 重合时，由折叠的性质可得 ，在中， ，即 ，解得或（舍去）， 的取值 范围是 . 第5题解图 15 第6题图 6.[2025省实验中学二模]如图，在中， ， ，点是上一个动点（点不与，重合），以点 为中 心，将线段顺时针旋转 得到.点在上，且 ， 以点为中心，将逆时针转 得到线段，连接，则线段 长 度的取值范围为_ _________________. 16 第6题解图 【解析】如解图，连接，过点作于点， ， ，， ， . 由 题意得 ，， ， ，， 设 ，则， ，， ， ， 即 ，，， ,即 . 17 7.[2024河南15题3分]如图，在中， ， ， 线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点 .若 ，则 的最大值为_________，最小值为_________. 第7题图 18 【解析】， ， 点是在以 为直径的圆上运 动，，且绕点在平面内旋转， 点是在以 为圆心，1为半 径的圆上运动，，， 在 中，， 当最大时，最大，当 最小 时，最小.如解图①，当与圆相切于点，且 在 内部时，最小，最大，连接， ，， ， ， 第7题解图 19 ，此时，即的最大值为 ；如解图 ②，当与圆相切于点，且在外部时，最大， 最小， 同理可得，，此时，即 的最小值为 . 第7题解图 变式 如图，在等边中，，是平面内一点，线段绕点 逆时针旋转 至，直线与交于点，若，则 的最大 值是________，最小值是________. 变式题图 21 【解析】如解图①，绕点逆时针旋转 得， ， ，是等边三角形，, ， ，， ， ， ，， 点在以为 弦且圆心角为 的圆弧上，为定值， 点在以为圆心， 为半径的圆上，经过 点， 当与相切于内时，最大， 变式题解图 22 当与 相切于外时（如解图②），最小.连接， ，， ，， ，， ， ,在中，，， , 的最大值是 ，同理，的最小值是 . 变式题解图 8.[2025郑州一模]如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点 为 轴上方一动点，且，以点为直角顶点构造等腰直角三角形 ， 连接，当线段取最大值时，的长度为_________，点 的坐标为 ____________. 第8题图 ， 24 【解析】解法1：如解图①，以为斜边，在 轴下方构造等腰直角三角 形,连接,， , , , ， ， 当最大时，最大，， 当 , ,三点共线时，取得最大值，过点作轴于 点 ，此时，，， , 点的坐标为，, , , . 25 第8题解图 解法2：如解图②，在轴的正半轴上取， 连接, ,由题意易得，， ，， ，， ， ，即，解得， ，当,,三点共线时， 取等号，此时 ，, 点的坐标为， . 解法3：如解图③，以点为直角顶点在左侧作等腰直角 ，连 接,则，, , ，， ， ，当,, 三点共线时取等号，此时 ,在轴上，， 点的坐标为 . 图形形状或位置不确定性问题（2023-2021,2019-2018.15） 9.在中， ， ，直角边的中点为，点 在斜 边上且，若为直角三角形，则 的长为______. 3或4 28 【解析】①当 时，如解图①，， ， ，为的中点，, ；②当 时，如解图②，， ，， 为的中点，， . 第9题解图 29 第10题图 10. 如图，在菱形中，，，点 是平面 内一点，且，连接，当 时， 的长为___________ _______. 或 30 第10题解图 【解析】如解图，点在以点为圆心，半径为2的圆上运动，过点 作 于点， 四边形是菱形，, ， ， ， 点为射线与 的交点. ， 设,则，在 中， 由勾股定理得 ，即 ，解得 （负值已舍去），， ，， 在中，， 由勾股定理得， 当点在线段 上时， ；当点在线段的延长线上时，.综上所述， 的长为或 . 31 第11题图 11.[2025许昌一模]如图，在中， ，点为斜边 上 一动点，点关于直线的对称点为点，连接，，当 时， 的值为_____. 或 32 第11题解图 【解析】如解图①，当点为斜边的中点时，连接 ，根据对称性质 可得，， 在中， ， ， ， ，即， 为等边三角形，， 为等边三角形，， 符合题意，此时 ；如解图②，当点在 斜边 上时，则，， ，，设，易得 ，， ，，符合题意，此时 . 33 第12题图 12. 如图,在平行四边形中, , , ,为边上一点,连接,线段的垂直平分线分别交, 于 点,.若为边的三等分点，则线段 的长为_ ________. 或 34 第12题解图 【解析】过点作,交的延长线于点,过点作 于点 ,垂直平分,,易知 , , .分两种情况：①如解 图①，当时，,在中， , , , , , 即, ,在 35 中，,易知 为 的中位线，如解图②，当 时， , 在中， , , , , , 即, ,在中， , 易知为的中位线， . 综上可知，的长为或 . 第12题解图 13.[2025省实验中学三模]矩形的边长为1， 的平分线交边 于点（点不与点重合），连接，若 的形状为等腰三角形， 则 边的长为_______. 2或 37 【解析】 四边形是矩形，且， ， ， ，， 的平分线 交边于点， ， 是等腰直 角三角形，，由勾股定理得： ， 当的形状为等腰三角形时，有以下三种情况，①当 时， 如解图①所示： 第13题解图 38 第13题解图 在和中， ， ，；②当 ，如解图② 所示,则；③当 时，如解图③所示, ，是等腰直角三角形， ， ， 四边形是正方形，此时点与点重合，又 点 不与点重合，故不合题意.综上所述， 边的长为2或 . 14.如图，在正方形中，，点在边上， ，将线段 绕点旋转，得到线段，连接，，当最大时， 的长为 __________. 第14题图 或 40 【解析】点的运动轨迹是以点为圆心，1为半径长的圆， 当 与 相切时，最大，如解图①，当点在 左侧时，根据题意得 ，，， ，过点 作，交的延长线于点，， ， 又 ，， ，即，， ， ， ； 第14题解图 41 如解图②，当点 右侧时，同理，可得，， ， .综上所述， 的长为或 . 第14题解图 第15题图 15.[2025郑州二模]如图，已知等腰直角三角形和等腰直角三角形 的直角顶点重合，，.连接， ，将 绕点在平面内旋转，旋转后的三角形为，若点是 的 中点，当，，三点共线时，线段 的长为_ __________. 或 43 第15题解图 【解析】如解图①，延长到，使得，连接， 是 的中点，易得， , ，， ， ， ， ， ， ，，， 当点 44 ,,共线时， （如解图①）或 （如解图②），在解图①中，作于点，， ，, ，在 中，由勾股定理得 , ,则 ；同理，在解图 ②中，作于 ， ， . 第15题解图 $