题型三 二次函数的实际应用（第22题，2022—2024连续3年考查）-【一战成名新中考】2026河南中考数学·二轮复习·专项分类提升练优质PPT课件

数学 1 2 三、压轴题（10,15,22,23题）分类提 升练 题型三 二次函数的实际应用（第22题， 2022—2024连续3年考查） 3 例 如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心 （水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面， 当篮球运行的水 平距离为时达到最大高度. 已知篮球在空中的运行路线为一条抛 物线，篮圈中心距地面 .建立如图所示的平面直角坐标系.#1 例题图 . . . . . . . . . . . . . . . . （1）篮球运行路线所在抛物线的表达式为 _ __________________； 4 【解法提示】抛物线顶点坐标为， 设抛物线的表达式为 .把代入得，解得. 篮球运 行路线所在抛物线的表达式为 ； 例题图 5 教你读题 由①⑤可知，篮圈中心坐标为 ； 由②可知，函数图象过点 ; 由④可知，篮球的运行轨迹为抛物线; 由③可知，抛物线顶点坐标为 ，故可设抛物线的表达式为 . 方法指导 （1）待定系数法求表达式 链接《知识点精讲》P43 6 例题图 （2）场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能空心入圈.请通过计算说 明小丽判断的正确性； 解：把代入抛物线表达式 ，得 . ， 此球不能空心入圈， 小丽的判断是正确的； 7 方法指导 （2）结合条件①，转化为数学语言：当球距离篮圈中心的水平距离为5时， 球的高度是否为3. 【归纳】理解题干所求，若求“高度”，则将对应的 的值代入求解，注意 有无区间范围限制.#3.3 8 （3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽.防守 方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为 ，则他应该在李 明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？ 例题图 解：当时，， 解得或 . ， . 答：张亮应该在李明前面 范围内跳起拦截才能盖帽成功; 9 方法指导 （3）已知最大为，则计算时对应的函数自变量 的值.张亮想 要盖帽成功，则其距离李明的距离（即 的值）应小于3. 【归纳】理解题干所求，若求“水平距离”，则将对应的 的值代入求解， 注意有无区间范围限制. 10 （4）若球运行路径的形状、最大高度均保持不变，则李明应该带球向正 后方移动多少米才能正中篮圈中心？，结果取小数点后两位 例题图 解：设李明应该带球向正后方移动 米, 则移动后的抛物线表 达式为 ， 将点代入得 ， 解得 （负值已舍去）. 李明应该带球向正后方移动约0.24米才能正中篮圈中心. 11 方法指导 （4）转化为数学语言：抛物线表达式中 ，顶点纵坐标为4，故可设抛物线表达式为 .要正中篮圈中心,则抛物线过点，代入求解 的值即可.#3.6 表达式固定型（2024，2023.22；2022.21） 1.飞碟射击（图①）是一种用枪械射击抛在空中作为飞靶的圆形黏土碟的 射击运动，在飞碟射击中，飞碟从前方的一个发射器发射出去，运动员需 要从固定的站位射击飞碟.某次试验中，以飞碟发射器为坐标系原点 ，横 轴表示水平地面建立平面直角坐标系（图②）.飞碟的飞行路线可用抛物线 刻画，其中为飞碟发射后的 飞行时间， 为飞碟发射后距离水平地面的 高度（子弹飞行时间忽略不计）.若飞碟发 射 后，飞行高度为 .#1 第1题图 13 解：由题意，当时， ， ， ， 抛物线的表达式为 ； 第1题图 （1）求抛物线的表达式； 14 （2）若规定运动员要在飞碟距离地面 处将其击落，第一次瞄准后没有 击落，该运动员说“我 后射击有可能将其击落”，请判断她的说法是否正确？ 第1题图 15 解：她的说法是正确的，理由如下： 由题意， 要在飞碟距离地面 处将其击落， 令，则 或16. , 若在第未击落，则再过，即第 射击仍然有可能将其击落, 她的说法是正确的. 第2题图 2. 如图①，给苹果树压枝可以促进果树的生长，提高果实的 品质.如图②是一棵果树的树枝在平面直角坐标系中的示意图，树枝 呈直线生长，其末端生长高度与它到树干的距离 近似满足一 次函数关系;树枝的末端点到水平地面 的高度 ，现从上一点 处向地面垂直拉线进行压枝，使得它近似呈 抛物线形是该抛物线的顶点 ，其函数 关系式近似为 ， 点到水平地面的距离 .#1 17 （1）求点的坐标和 的值； 第2题图 解：根据题意得点的纵坐标是 ， 将其代入一次函数中，得 ,解得 ， 点的坐标是 . 由抛物线 知，该抛物线的对称轴为直线 ， 点的坐标为 ， 将点 的坐标代入抛物线表达式， 得 ， 解得 ； 18 （2）压枝后，经过一段时间的生长，树枝的末端恰好在 上.根据采光 要求，，的距离应大于 才算合理，试通过计算判断此次压枝能否 满足要求. 第2题图 19 第2题图 解：此次压枝能满足要求. 理由：由（1）可知，点 的横坐标是3， 点在上， 轴，点 的横坐标是3. 由（1）得抛物线的表达式为 ， 将 代入抛物线表达式，得 ， 点的坐标为 ， , , ， ， 即，的距离超过 ， 此次压枝能满足要求. 20 3.九年级学生小林进行跨学科自主学习活动，他利用函数的相关知识在实 验场景A和实验场景B中做对比，研究某种化学试剂的挥发情况. 若当实验 过程中该试剂挥发时间为分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为 ， （单位：克）.记录，与 的几组对应值如下表：#1 /分钟 0 5 10 15 20 … 克 25 23.5 20 14.5 7 … 克 25 20 15 10 5 … 请你协助小林将探究过程补充完整： 21 （1）在如图所示的平面直角坐标系 中，描出上表中各组数值所对应 的点，并画出函数， 的图象； 第3题图 解：描点、画图如解图； 第3题解图 22 （2）进一步探究发现，实验场景A的图象是抛物线的一部分，与 之间 近似满足二次函数 ；实验场景B的图象是直线的一部 分，与之间近似满足一次函数，则_______， ___， ____； 25 第3题图 23 第3题图 【解法提示】由题意知，实验场景A的图象是抛物线的一部分，与 之 间近似满足二次函数关系 点， 在 函数图象上，解得 实验场景B的图象是 直线的一部分，与 之间近似满足一次函数关系 点， 在函数图象上， 解得 24 第3题图 （3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于5克时，才能发挥有效作用， 在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥有效作用的时间分别为 ，，请直接写出与 的大小关系. 解： . 25 4.易错 [2025安阳一模]图①是抛物线形状的拱桥，当拱桥顶离水面 时，水面宽.顶点为原点，对称轴为 轴建立平面直角坐标系，抛物线 表达式近似为，如图②所示，且1个单位长度代表实际长度 . 第4题图 26 （1）求抛物线的表达式； 第4题图 解：由题意可知 ， 把点代入,得 ， 抛物线的表达式为 ； 27 （2）图③是一艘货船的纵向截面示意图，此货船水面以上高度为 ，货 船的宽度在顶部取得最大值.当桥下水面下降 时，它能否从桥下安 全通过？请通过计算进行说明（安全通过的要求：船距离桥体墙壁不少于 , ）. 第4题图 28 第4题图 解：船不能从桥下安全通过；理由如下： ， 当时，得 ， 解得， ， ， ， 船不能从桥下安全通过. 29 5.根据以下素材，探索并完成任务.#1 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”.刹车系统是车辆安全行驶的重要保障，某学 习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）. 素 材 1 刹车时间：驾驶员从开始踩刹车到汽车完全停止，汽车所行驶的时间. 刹车距离：驾驶员从开始踩刹车到汽车完全停止，汽车所行驶的距离. ___________________________________________________________ 30 素 材 2 汽车研发中心设计了一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽 车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： _____________________________________________________________________ 素 材 3 该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离（单位： ）与行驶 时间（单位：）之间具有函数关系，， 为常 数；②刹车后汽车行驶距离随行驶时间 的增大而增大，当汽车刹 车后行驶的距离最远时，汽车完全停止. 续表 31 请根据以上信息，完成下列任务. 任务一： 求关于 的函数表达式; 解：由题意知， ， 将，代入，得解得 关于的函数表达式为 ； 32 任务二： 汽车司机发现正前方 处有一个障碍物在路面，立刻刹车， 判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由. 解：不会． 理由： ， 当时，汽车停下，行驶了 ， ， 该车在不变道的情况下不会撞到障碍物． 33 表达式变化型 6.[北师九下P40做一做改编]如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状， 而且左、右两条抛物线关于 轴对称，已知钢缆的最低点到桥面的距离为 ，两条钢缆最低点间的距离为 .#1 第6题图 （1）求左侧抛物线的表达式； 34 解：根据题意可设左侧抛物线的表达式为,将点 代入可得 , 则左侧抛物线的表达式为 ； 第6题图 35 （2）计划在两钢缆上距离桥面 高的位置安装装饰物，求右侧钢缆上两 装饰物之间的距离？ 第6题图 解： 左、右两侧抛物线关于 轴对称， 右侧抛物线的表达式为 . 令，则 ， 或 . 右侧钢缆上两装饰物之间的距离为 . 36 7.[2025郑州一模]雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开 后的雨伞（如图①），可以发现数学研究的对象——抛物线.在如图②所示 雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在轴上，坐标原点 为伞骨 ，的交点（单位：分米），点为抛物线的顶点，点， 在抛物线 上，，关于轴对称.已知分米，点 .设抛物线表达式 为 .#1 第7题图 37 （1）求抛物线的表达式； 第7题图 解：把和代入 ， 得解得 抛物线的表达式为 ； 38 （2）分别延长，交抛物线于点，，求以 为直径的圆的周长. 第7题图 39 第7题图 解：设直线的表达式为 ， 将代入，解得 ， 直线的表达式为 ， 设点，代入 ， 解得,（舍去）， , 点的坐标为 ， 抛物线的对称轴是 轴， 点的坐标为 ， （分米）， 以 为直径的圆的周长为 （分米）. 40 8.[2025山西改编]如图①，某仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其 运动路线的最高点（点）距地面，起跳点为，落地点为 .起跳点 与落地点的距离为，对称轴为直线，建立如图平面直角坐标系， 与满足的函数关系式为 . 第8题图 41 第8题图 （1）请直接写出顶点 的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 解：顶点的坐标为 ， , 将代入得 , ； 42 第8题图 （2）仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变.仿青蛙机器 人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 ，才能 安全通过.如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中 ， ，，. 仿青蛙机器人从距离左侧 处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物. 若团队人员在起跳处放置一个平台， 仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过 该障碍物.请求出该平台的高度（平台的大小忽 略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运 动路线在同一竖直平面内）. 43 第8题图 解：设该平台的高度为 ，由题意，设新的函数表达式为 ， 由题可知，，， ， 直线的表达式为 ， 设 ， 44 对称轴为直线 ， ， 当时， 有最小值3， ， 解得，故该平台的高度为 . 第8题图 $