题型二 二次函数性质综合题（第22题，8年3考）-【一战成名新中考】2026河南中考数学·二轮复习·专项分类提升练优质PPT课件

数学 1 2 三、压轴题（10,15,22,23题）分类提 升练 题型二 二次函数性质综合题（第22题，8 年3考） 3 动点引起的取值范围问题（2020.21） 例1 [大题小练——2020河南21题改编]已知抛物线 . （1）其对称轴为直线______; （2）点，为抛物线上两点（点在点 的左侧），且到对称轴的距离 分别为1个单位长度和3个单位长度，则点 的坐标为____________；点 的坐标为______； 4 （3）点为抛物线上，之间含点，的一个动点，当， 在对称 轴异侧时，点的横坐标的取值范围是___________，点 纵坐标的最小 值是____； 当，在对称轴同侧时，点的横坐标 的取值范围是___________，点 纵坐标的最小值是___. 0 5 做题笔记 画函数图象草图#2.1 6 区间最值问题（2025.22） 例2 已知二次函数为常数，且 ，当 时，函数有最小值2，则 的值是（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 1或 √ 7 步骤1 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①抛物线对称轴为直线 ___； ②抛物线开口方向________（填“确定”或“不确定”）. 1 不确定 8 例2题解图 步骤2 分类讨论与数形结合 ①当时，抛物线开口向上，画出草图如解图①，当 时，函数有 最小值2，则，解得 ； ②当 时，抛物线开口向下，在解图②的坐标系中画出草图，并补全 当时，函数有最小值 2，则，解得 剩余步骤：_________________________ __________________________________. 9 解：画草图如解图 例2题解图 步骤3 得出结论 综上， 的值为_ ______. 1或 10 例3 已知抛物线，当时， 的值总 大于等于9.则 的取值范围为_ ______. 步骤1 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①抛物线的开口______（填“向上”或“向下”）； ②抛物线的对称轴为直线 ___. 向下 . . . . 11 步骤2 分类讨论与数形结合 ①如解图①，当对称轴在自变量取值范围右侧时，即，时， 有最小值，，解得， ； 例3题解图② ②如解图②，当对称轴在自变量取值范围内 且在该范围中点及中点右侧时，即，时， 有最小值， ，解得， ； 请根据上述步骤补全后面两种情况的过程及草图并计算出结果： 例3题解图② ③ _____________________________________________________________ ________________________________________________________________ __________________________________________________ ； 如解图③，当对称轴在自变量取值范围内 且在该范围中 点左侧时，即，时， 有最小值， ，解得， 例3题解图③ ④ _____________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________. 如解图④，当对称轴在自变量取值范围左侧时，即 ， 时，有最小值，，解得 ， 例3题解图④ 步骤3 得出结论 综上， 的取值范围为_ ______. 例4 已知抛物线，当时， 的最大值与最小值 的差为1，则 的值为_______. 步骤1 确定二次函数图象的对称轴、开口方向 ①抛物线的开口______（填“向上”或“向下”）； ②抛物线的对称轴为____________________；顶点坐标为______; 或7 向上 直线（或轴） 16 步骤2 分类讨论与数形结合 ①当时，如解图①，此时,随 的增大而减小， ，，解得； 记,所对的点分别为, 例4题解图① ②当，,且 时，如解图②，此时 , 的最大值为时所对应的值，最小值为 时所对 应的值，即2，，，解得 （舍去）; 请根据上述步骤补全后面两种情况的过程及草图并计算出结果： 例4题解图② ③ _____________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ __________________________ ； 当，,且 时，如解图③，此时 ,的最大值为时所对应的值，最小值为 时所 对应的值，即2，， ，解得 （舍去） 例4题解图③ 如解图④,当时，随的增大而增大， ， ，解得 ④ _____________________________________________________________ ________________________________________________________________. 例4题解图④ 步骤3 得出结论 综上， 的值为______. -9或7 【注意】例3、例4本质上都是围绕对称轴进行分类讨论，解答完成后应检 查分类讨论是否完备，如例4题针对进行分类讨论，每种情况下 的取值 范围分别为，，， ，做到不交叉 不遗漏.另外的值在哪边取等号均可，只要保证最终所有分类情况覆盖 的整个取值范围即可. 21 解题技巧：分类讨论 数形结合（画草图） 1.分类讨论#2.1 强调分类讨论前应先确定抛物线的二次项系数及对称轴是否为定值.#2.1.2 . . 22 2. 数形结合：根据分类讨论的每种情况画出对应的函数图象草图，有助于 快速准确得出结论.#2.2 23 交点问题（2021.22） ◆水平直线与一段定抛物线的交点问题 例5 已知直线与抛物线的交点个数为 . （1）当时， 的取值范围为_____________； （2）当时， 的取值范围为_________________； 或 或 （3）当时， 的取值范围为__________. 同学们！直线与抛物线的交点个数为0,1，2时， 的 取值范围是多少？可自行探究. 24 【点拨】数形结合法： 联立 再根据根的判别式及图象确定取值范围，注意要 结合自变量的取值范围. 图象法： 25 ◆斜直线与一段定抛物线的交点问题 例6 已知直线与抛物线 的交点个数 为 . （1）当时， 的取值范围为_ _______________; （2）当时， 的取值范围为_ __________________; （3）当时， 的取值范围为_ ___________. 或 或 26 【点拨】数形结合法： 联立再根据确定直线与抛物线相切时 的值，并 求出端点处的值，再结合图象确定 的取值范围. 27 ◆动线段与定抛物线的交点问题 例7 [2021河南22题考查类型]已知点在直线上，将点 向右平 移3个单位长度得到点，设点的纵坐标为,线段 与抛物线 的交点个数为 . （1）当时， 的取值范围为_____________； （2）当时， 的取值范围为_________________； 或 或 （3）当时， 的取值范围为__________. 同学们！已知线段的长度为1，点, ,则抛物线 与线段 的交点情况可自行探究. 28 【点拨】图象法： ①⑤没有交点； ②④有1个交点；③有2个交点 29 ◆定线段与动抛物线的交点问题 例8 已知线段，点,,若将抛物线 向上平移 个单位，与线段的交点个数为 . （1）当时， 的取值范围为__________________； （2）当时， 的取值范围为__________________； （3）当时， 的取值范围为__________. 或 或 30 【点拨】图象法： ①⑤没有交点；②④有1个交点；③有2个交点 31 ◆动抛物线与定线段的交点问题 例9 已知线段，，，探究抛物线 与线段 的交点情况. （1）①点 在抛物线上： 当点在抛物线对称轴右侧时， 的值为____； 当点在抛物线对称轴左侧时， 的值为____； ②点 在抛物线上： 当点在抛物线对称轴右侧时， 的值为___； 当点在抛物线对称轴左侧时， 的值为___； 0 2 32 （2）当没有交点时， 的取值范围为_______________； （3）当只有一个交点时， 的取值范围为________________________； （4）当有2个交点时， 的取值范围为____________. 或 或 33 突破口：找临界端点—— 将线段两端的坐标代入表达式中，求出此时 的值.#2 34 1.轴定区间定 多解法 已知二次函数 ，当 时，有最小值7，最大值11，则 的值为（ ） A. 3 B. 9 C. D. √ 35 【解析】解法二次函数， 该二次函数图象的对 称轴为直线.当时，时， 有最大值，则 ①，时，有最小值，则 ，联立 ①②，解得；当时，时， 有最小值，则 ③，时，有最大值，则 ，联立 ③④，解得，综上， . 36 解法 二次函数， 该二次函数图象的对称轴为 直线，在与时取得最值. 当 时， ；当时，； 当 时，的最值为和， 当时， 有最 小值7，最大值11，，即 ， . 37 2.轴定区间动 已知二次函数，当时， 的 最小值为，则 的值是______. 或- 【解析】 二次函数， 该函数图象开口向上，且对称 轴是直线.①如解图①，当时， 此时当时， 有最小值，则， 解得或 （舍去）； 第2题解图① 38 ②如解图②，当时，即，此时当时， 有最小值为 ，与题意不符，舍去； ③如解图③，当时，即 ，此时当时，有 最小值，则 ，解得 或（舍去）.综上所述，的值为 或 . 第2题解图 3.轴定区间动（2025.22考法）已知抛物线在自变量 的值 满足时，与其对应的函数值的最大值为9，则 的值为 （ ） A. 或5 B. 或2 C. 或1 D. 1或4 √ 40 【解析】 抛物线为， 抛物线开口 向上，当时，取最小值为1；当时，随 的增大而减小；当 时，随的增大而增大.①若，即，则当 时，取最大值，为，或 （舍去）.② 若，则当时， 取最大值，为 ，（舍去）或 .③若 ，即，则当或时， 取最大 值，为或， 或或或，均不符合题意.综上所述， 或1. 41 4.轴动区间动 已知抛物线，当 时，的最小值为4，则 的值为_ _____. 1或- 【解析】 二次函数， 该函数图象开口向上， 且对称轴是直线.①当时，即时， ， 有最小值是4，则，解得或 （舍去）；②当时，即时，， 有 最小值是4，则，解得 （舍去）或 42 （舍去）；③当时，即时，， 有最小值是4，则，解得 （舍去）或.综上所述，的值为1或 ． 5.轴动区间定 已知点在抛物线 上. 当时，随的增大而增大，且也在抛物线上，求 的 取值范围. 解： 点在抛物线 上， ， 或 （不合题意，舍去）， 对称轴是直线 . 由条件可知，点 也在抛物线上， 当时，随 的增大而增大， 第5题解图 44 当时，抛物线开口向下，如解图，则当时，随 的增大而 增大，，即 ， 又 在抛物线上，或，即或 ， 或 . 当时，抛物线开口向上，则当时， 随 的增大而增大，，即 ， 又 在抛物线上， ， 此时无解，综上所述，或 . 第5题解图 6.[2020河南21题改编]已知抛物线与轴交于 ， 两点. （1）求抛物线的表达式； 解： 抛物线与轴交于， 两点， 解得 抛物线的表达式为 ； 46 （2）点，为抛物线上两点，点为抛物线与轴的左侧交点，点 为抛 物线轴下方一点且到轴的距离为5个单位长度，点为抛物线上， 之 间含点，的一个动点，求点的纵坐标 的取值范围. 解：由题可知，点的坐标为，对称轴为直线, 的最大值 为 ， 令，解得, ， 点的坐标为或 ， 当时，的取值范围为； 当时， 的取值范围为 . 47 7. 在平面直角坐标系 中，抛物线的表达式为 ，将点 向左平移3个单位长度得到点 . （1）求点 的坐标； 解：根据平移规律，点的坐标为 ； （2）求抛物线的对称轴； 解：抛物线的对称轴为直线 ； 48 （3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围. 解：如解图①，当抛物线的顶点在线段上时，顶点坐标为 ， 第7题解图 ，解得 ； 点关于直线的对称点为 ，点 关于直线的对称 点为， 抛物线不能同时经过、 两点. 如解图②，当抛物线经过点时，得 ，解得 ； 如解图③，当抛物线经过点时，得，解得 . 综上所述，的取值范围为或 . 49 8.新定义 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐 标的三倍，则称该点为“纵三倍点”.例如，， 都是 “纵三倍点”. （1）函数 图象只有一个“纵三倍点”：____（填“是”或“否”）； 是 【解法提示】由解得 在直线上只有一个“纵三倍点”， . 50 （2）若抛物线，是常数， 上有且只有一个“纵 三倍点”，令，是否存在一个常数 ，使得当 时，的最小值恰好等于，若存在，求出 的值；若不存在， 请说明理由. 解： 抛物线，是常数， 上有且只有一个“纵 三倍点”， 方程 有两个相等的实数根， 51 ， ， ， 则对称轴为直线 , 根据题意，当时，的最小值恰好等于 ， 当，即时，， 有最小值， ，即 ， 解得， （舍去）， 存在常数，使得当时，的最小值恰好等于 ； 当，即时，, 有最小值为1， 取不到1，则不符合题意； 当时，, 有最小值， ,即 ， 解得（舍去）， ， 存在常数，使得当时，的最小值恰好等于 . 综上所述， 的值为1或3. $