专题九 直线型最值-【一战成名新中考】2026河南中考数学·二轮复习·专项分类提升练优质PPT课件

数学 1 2 二、常考模型、方法分类提升练 专题九 直线型最值（2020.15） 3 利用轴对称转化——将军饮马问题（2020.15） 例1 在平面直角坐标系中，点，，，点为 轴上一点. （1）当的值最小时，在图①中作出点的位置， 的最小 值为_____； 例1题图① 4 解：点 的位置如解图①. 图① 例1题解图 5 （2）当的值最小时，在图②中作出点的位置， 的最小 值为_____； 例1题图② 解：点 的位置如解图②. 图② 6 （3）当的值最大时，在图③中作出点的位置， 的最 大值为____. 例1题图③ 解：点 的位置如解图③. 图③ 7 模型解读 （1）异侧两定点 定直线上动点 问题：如图①，在直线上找一点，使得 最小 总结：异侧两定点，连线交点定位置 8 （2）同侧两定点 定直线上动点 问题：如图②，在直线上找一点，使得 最小 总结：同侧两定点，对称化两边，连线交点定位置 9 （3）两点一线线段差最大 问题：如图③，在直线上找一点，使得 最大 总结：异侧对称化同侧，连线交点定位置 10 例2 如图，是内一点，分别作点关于，的对称点， ， 连接，分别交于点，交于点，连接， . 例2题图 （1）请根据题意画图； 解：画图如解图①； 例2题解图 11 例2题图 （2）若 ，，则 周长的最小值为_____. 12 【解法提示】如解图②，连接， ，根据轴对称的性质，可得 ，,, ， , , 当 ， ,, 四点共线时， 周长最小.又 ， ， ， .过点 作于点 ， 则 ， ， 周长的最小值为 . 13 （4）一定点（角内） 两动点（角两边）三角形周长最值 问题：如图④，确定周长最小时点, 的位置 图④ 总结：两边作对称，连线与两边交点定位置 14 （5）两定点（角内） 两动点（角两边）四边形周长最值（如图⑤） 图⑤ 15 利用平移转化——造桥选址问题 例3题图 例3 [人教八上P86问题2改编]如图，在河的两岸, 分别 有，两个村庄，河宽为，、 两村庄的距离 ，、两村庄到河岸的距离分别为 、 ，现计划在河上修建一座桥垂直于河的两岸， 为靠近村庄的河岸上一点，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D. √ 16 例3题解图 【解析】如解图，作垂直于河岸，使等于河宽，连接 ，与靠 近的河岸相交于，作垂直于另一条河岸，交点为 ，则 且， 四边形为平行四边形， ， , 根据“两点之间线段最短”，可知 最短， 即最短. 过点作，交的延长线于点 ， ，， 在 中，， , ， , 的最小值为 . 17 模型解读 问题：如图⑥,现要在河上造一座桥,桥造在何处才能使从到 的路径 最短?（直线，直线, ） 作法：如图⑦，作 ,，连接交直线于点，过点 作 于点,此时路径 最短 18 “垂线段最短”的应用 例4题图 例4 如图，在菱形中，,,是边上一动点，过点 分别作于点，于点，连接,则 的最小值为_ __.#1 19 例4题解图 【解析】如解图，连接，过点作于点， 四边形 是 菱形，，，， ， ， ， ， ，解得， ， ， ， 四边形是矩形， ，当时，最小，此时, ,的最小值为 . 20 例5 [2025东营]如图，在中，， ， 的平分线 交于点，、分别是和上的动点，则 的最小值是___.#2 例5题图 3 21 【解析】如解图，作点关于的对称点,则 , 当,,三点共线且垂直时，有最小值.作 ，垂足 为，， ,, 的最小值 为3. 例5题解图 22 模型解读 原理：如图⑧，当时（垂线段最短） 最小#3.1 图⑧ 23 问题1：如图⑨，为直角三角形边上一动点，四边形 为矩形， 求 的最小值.#3.2 图⑨ 作法：连接，将转化为，当时，最小，即 最小#3.2.2 24 问题2：如图⑩，是上一定点，点,分别在,上，确定 的最小值#3.3 图⑩ 作法：作点关于的对称点，过点作于点，交于点 ， 此时有最小值，即 #3.3.2 25 例6 如图，在平行四边形中， ，，为边 上一 动点，则 的最小值等于_____.#4 例6题图 【点拨】构造长度为的线段： ，故以为斜边在 的 上方构造直角三角形，再将转化为 ，最后通过垂 线段最短求 的最小值. 26 【解析】如解图，过点作，交的延长线于点，作 交的延长线于点,， ， ，，， 当 ，，三点共线且时，有最小值，即最小值为 ， ，， . 例6题解图 27 拓展：胡不归 问题：如图⑪，是上一动点，点, 是两个定点，求 的最小值#5.1 图⑪ 作法：作直线使得，于，于 ，连接 ,则, .#5.1.2 28 1.[2025安阳滑县八下期末]如图①，在中，点从点出发向点 运 动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与 之间 的关系如图②所示，则边 的长是（ ） 第1题图 A. B. C. D. √ 29 【解析】如解图，作于点，由图象可知，， ，当 时，点与重合，在中，， ， 在中， . 第1题解图 30 第2题图 2.如图，在正方形中，，对角线与交于点，点是 的中点，点在边上，且，为上一动点，则 的 最大值为___. 2 31 第2题解图 【解析】 四边形为正方形，， ， ，, ， ，如解图，作点关于的对称点，连接 ， ，， 当，， 三点共线时， 有最大值，过点作于点 ，则 ，与关于 对称， , 为中点， , ,为中点， . 32 第3题图 3.[2025陕西节选]如图，在矩形中，，， 为矩形 内一点，且满足，则 周长的最小值为_________. 33 第3题解图 【解析】如解图，过点作于点 ，则 ，解得，过点作 且分别与，交于， ，即在线段 上运动，则， 作 点关于的对称点，连接,, , 当,,三点共线时,有最小值，即为 的长，， , ， ， ， 的周长的最小值为 . 34 4.[2025濮阳一模]如图，两座城市和 在平面直角坐标系中的坐标为 、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点 ， 使站点到两城市的距离和最小，则站点 的坐标为_____. , 第4题图 35 第4题解图 【解析】如解图，作点关于直线对称的点，连接 ，则 ，当、、三点共线时， 的值最小，最小值为 线段的长，即点是与直线的交点；易得点 关于直线 对称的点的坐标为，设直线 的表达式为，将 ，代入表达式 ，得 ， 点 是直线与直线 的交点，故联立方程组 36 第5题图 5.[2025龙东地区]如图，已知中， ，， ， 点是内部一点，连接、、，若，则 的最小值为_____. 37 第5题解图 【解析】如解图，在上取点，使，连接, ,又 ， ，，又， ， ，，， 当 ,,三点共线时，取等号， ， , ， ，即当点在上时， 有最小值为 . 38 $