专题八 曲线型最值——辅助圆问题（除2025，其余每年必考）-【一战成名新中考】2026河南中考数学·二轮复习·专项分类提升练优质PPT课件

数学 1 2 二、常考模型、方法分类提升练 专题八 曲线型最值——辅助圆问题 （除2025，其余每年必考） 3 利用圆定义——定点定长辅助圆（2024.15；2023， 2020.23；2022,2019.15） 例1 [2022河南15题改编]如图，在等腰直角三角形中，为斜边 的 中点，点在上，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点 ，根据 题意确定当 时点 的位置. 例1题图 4 【点拨】绕点在平面内旋转在以为圆心， 长为半径的圆上； 为的中点， , 为等腰直角三角形 ， 点在射线 上; ③射线与的交点为 . 解：点 的位置如解图所示. 例1题解图 5 练1 多解法 [2020河南23题改编]如图，将正方形的边绕点 逆时 针旋转至，记旋转角为 ，连接，过点作垂直 的延长线于 ，连接， .#1 练1题图 6 练1题图 （1）当 ，点在正方形内时，____ ； 45 【点拨】解法,,在以为圆心, 长为半径的圆上，进而可推得 . 解法2：易得 ， ，进而可推得答案. 7 【解析】解法1：如解图①，由题意得点,，在以为圆心， 长为 半径的圆上， . 练1题解图 解法2：如解图②，连接，， ，， ， ， ， . 8 练1题图 （2）当点在正方形外时，____ . 45 【点拨】解法同（1）理. 9 练2 如图，在墙角放置一个“”形钢尺，已知钢尺的一边， 是 的中点，，沿墙壁边向下滑动，在运动过程中，点到点 的最大距离为____.#2 练2题图 13 10 【解析】如解图，连接、，， 当、、 三 点共线时，有最大值，最大值是， 为直角三角形， 为斜边的中点，， ，即 点到点 的最大距离为13. 练2题解图 11 练3题图 练3 [2025中原名校联盟卷一模]如图，在中，， 为平面内 一点且满足，为的中点，则 的取值范围是_ __________. 【相关知识链接见分层作业本《见到中点咋思考》】 12 练3题解图 【解析】如解图，取的中点，连接， 点为的中点，点 为 的中点，是的中位线，， 点在以点 为圆心，为半径的圆上.则当点在点处时，取得最大值；当点 在 点处时，取得最小值.又， , ， ， . 13 模型解读 模型认识:如图，在平面内，为定点，为动点，且为定长，则点 的 轨迹是以点为圆心， 长为半径的圆. 14 （一）等距成圆: ，则点,,在以为圆心， 为半径 的圆上. 图示： （二）折叠成圆（链接本册P17） 15 （三）斜边中点轨迹成圆：是斜边中点，,滑动，则点 在 以为圆心， 长为半径的圆上. 图示： 16 （四）圆上动点与定点的中点轨迹：在平面内，为定点，为 上一动 点，是中点，是中点，点在以为圆心，长为半径的 上 图示： 17 四点共圆（2024.9,15,23；2019,2018.22） 例2 [2024河南15题改编]如图，在和 中， ，，连接，则____ .#1 例2题图 45 18 练4题图 练4 如图，在四边形中， ，对角线 ，交于点，为的中点，若，，则 _____.#2 19 练4题解图 【解析】，，，， 四点共圆，如解图，由圆周 角定理的推论得, , , , ，为的中点， ， ，， ， ，解得 （负值已舍去）. 20 模型解读 （一）双 型#3.1 __________________________________________________________________________________ ， 点,,,共圆，圆心是的中点，半径长是 21 （二）定线段同侧两角相等#3.2 ____________________________________ ,在同侧， ， 点,,, 共圆 （三）对角互补【链接本册P24】#3.3 22 利用圆周角定理——定角定弦辅助圆 例3 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是 轴右侧 平面内一点.在图中作 ，这样的点唯一吗？点 的位置有什 么特征？ 例3题图 23 解：点不唯一，其轨迹是以为直径，在 右侧的半圆,如解图. 例3题解图 24 练5题图 练5 [2024河师大附中模拟改编]如图，在矩形中， ， ，是直线上一点，过点作于点，连接 ，则 面积的最大值为____， 的最小值为___. 36 4 【点拨】 ，则点在以 为直径的圆上，再结合点圆最值解题. 25 练5题解图 【解析】 四边形是矩形， ，如解图，取 的中点 ，连接，， ， , ， 点在以 为圆心，半径为6的圆上运动 （点，除外）， 当点位于的中点时， 的面积最大，最大 为；， 当，， 三点共线时，的值最小， ， ， 的最小值为 . 26 模型解读 模型认识：如图，为定长， 为定角，此模型称为“定角定弦模型”.#1.1 27 模型总结: __________________________________ 半径为 _____________________________ 半径为 28 _______________________________ 半径为 ____________________________ 半径为 续表 29 模型应用 _______________________________________ 过圆心且时， 最 大， 最大 ________________________________ 为直径且时， 最大， 最大 30 1. 在中， ，，点绕点 在平面内 旋转，其对应点为点，点到点 的最小距离为1，最大距离为7，则当 以，，为顶点的三角形是直角三角形时， 的长为_______. 或5 【点拨】分类讨论：的长度未知，则分和 两种情况. 31 【解析】当时，如解图， 点绕点在平面内旋转， 点 在 以点为圆心，长为半径的圆上运动，, 当点到点 的最小 距离为1时，，点到点 的最大距离为7，符合题意， ，，当 时， 与相切， 在中， ；当 时， .当时，点到 的最小距离 为1，，,此时点到 的最 大距离为5，与题干不符，舍去，综上所述， 的长为 或5. 第1题解图 32 2.[2023河南23题改编]如图，在正方形中，、分别是、 的中 点.延长、交于点，连接交于点，连接,则、、、 这四个点是否在同一个圆上，说明理由.#2 第2题图 33 解：在同一圆上.理由： 为的中点， ， 四边形 是正方形， ,, ， ， , , ， ，即是 的中点， 第2题图 34 , 、分别是、的中点， , 又 ， , , . , , , , ， ，,，在以为圆心， 长为半径的圆上. 第2题图 3.新定义 [2024河南23题改编]我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同 一个圆上，那么这个四边形叫作这个圆的内接四边形.我们规定：若圆的内 接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”. 如图，四边形是邻等内接四边形，且 ， ， .求四边形 的面积.#3 第3题图 36 解： ，， ， ， 四边形是邻等内接四边形， ， ，，，四点共圆，且 为直径， 如解图，设圆心为，连接，，相交于点，则为 的中点， ， ， 设，则 ， ，， ， ， 第3题解图 37 即，解得 ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， . 第3题解图 $