7.1.2 全概率公式-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

第七章 随机变量及其分布 随堂检测学以致用 答案见P 的关联,逐渐改变着每个人的生活,已知某种 型号的共享充电宝循环充电超过500次的概 ( __ 率为,超过1000次的概率为,现有一个该 A.3 B.13 C.3 D.1 型号的充电宝已经循环充电超过500次,则其 2.同时抛掷一枚红般子和一枚蓝般子,观察向上 能够循环充电超过1000次的概率是 ) 的点数,记“红毂子向上的点数小于4”为事件 #A.3 B.# C .}D.} A,“两颗般子的点数之和等于7”为事件B,则 P(B|A)- 4.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占70%,乙厂 ( ) A. BC.D.# 产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂 产品的合格率是80%,则从市场上买到一个是甲 3.随着社会的发展,越来越多的共享资源陆续出 厂生产的合格灯泡的概率是 现,它们也不可避免地与我们每个人产生密切 l示完成Ps课时作业(九) 7.1.2 全概率公式 必备知识基础落实 答案见P 问题导入 问题3:飞机坠落的概率等于P(B)与P(B)的 和吗? 甲、乙两人向同一飞机射击,设甲、乙射中的概 率分别为0.4,0.5,又设若只有一人射中,飞机 坠落的概率为0.2,若有两人射中,飞机必坠 落,记事件A为“飞机坠落”,事件B 为“i个人 射中飞机”,i-1,2. 问题1:一人射中飞机的概率是多少? C 微梳理 要点一 全概率公式的定义 问题2:两人都射中飞机的概率是多少? 一般地,设A,A,...A.是一组两两互斥的 事件,A UA..UA.= .且 P(A)0,i-1,2...,n.则对任意的事件B ,有P(B)一 ,称这个公式 为全概率公式,全概率公式实质上是条件概率 性质的推广形式 .43· 数学 选择性必修 第三册 课堂学案 >思考:计算P(B)时,如果事件B的表达式中有 对任意的事件BC2.P(B)>0,有P(A B)= 积又有和,是否就一定要用全概率公式? P(A)P(BA) 一,i- 1.2...,n. 辨析 判断正误,正确的画“/”,错误的画“×” (1)应用全概率公式时,各个事件并不一定互斥 ( ) (2)对任意事件B二2,全概率公式P(B)= 2P(A)P(BA)都成立. ( ) 要点二 贝叶斯公式 (3)全概率公式中样本空间2中的事件A:需 设A,A.....A. 是一组两两互斥的事件,A 满足的条件为A-2. ( ) A.A.=,且P(A)0,i=1,2...,n.则 关键能力素养提升 答案见P 探究一 全概率公式的运用 规律总结 【例题1】设某工厂有两个车间生产同型号家用 电器,第1车间的次品率为0.15,第2车间的 (1)运用全概率公式的一般步骤 次品率为0.12,两个车间的成品都混合堆放 ①求出样本空间2的一个划分A,A....,A 在一个仓库中,假设第1,2车间生产的成品 ②求P(A)(i-1,2....,n); 比例为2:3,今有一客户从成品仓库中随机 ③求P(BA)(i-1,2,..,n); 提一台产品,求该产品合格的概率 ④求目标事件的概率P(B). (2)运用全概率公式的关键是寻找其中的完 备事件组A..A。,...,A.,该完备事件组是为 了计算P(B)而人为地引入的,选择适当的 完备事件组可以使计算大为简化;选择不适 当,则不利于问题的解决。 【变式1】某电器商店出售两家工厂生产的电视 机,甲广生产的电视机占该商店所售电视机 总量的70%,乙厂生产的电视机占该商店所 售电视机总量的30%,甲厂生产的电视机合格 率为95%,乙厂生产的电视机合格率为80%,则 该商店所售电视机的合格率是 第七章 随机变量及其分布 探究二 贝叶斯公式的应用 规律总结 【例题2】已知某工厂有两条生产线a和,a生产 线生产的产品占65%,6生产线生产的产品 应用贝叶斯公式的前提 占35%,a生产线生产的产品的合格率为 若随机试验可以分两个阶段进行,且第一阶 90%,6生产线生产的产品的合格率为85%. 段的各试验结果具体怎样未知,那么:(1)如 果要求的是第二阶段某一个结果发生的概 在此工厂生产的产品中随机抽取一件,已知 率,则用全概率公式;(2)如果第二个阶段的 抽到的是合格品,求此产品是a生产线生产 某一个结果是已知的,要求的是此结果为第 的概率(精确到0.1). 一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝 叶斯公式,类似于求条件概率,熟记这个特 征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择 相应的方法进行求解,保证解题正确、高效, 【变式2】已知在所有男子中有5%患有色盲症 所有女子中有0.25%患有色盲症,随机抽一 人发现患有色盲症,问其为男子的概率是多 少(设男子和女子的人数相等,保留两位有效 数字)? ·45· 数学 选择性必修 第三册 课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P 1.两台机床加工同样的零件,它们出现废品的概 4.设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为 率分别为0.03和0.02,加工出的零件放在一 1%和2%,现从由A和B的产品分别占60% 起,设第一台机床加工的零件比第二台的多一 和40%的一批产品中随利抽取一件,发现是次 倍,则任取一个零件是合格品的概率为( _”% 77 品,求该次品是工”A的产品的概率 .7 D.7 2.盒中有2个红球,3个黑球,现随机地从中取出 一个,观察其颜色后放回,并加上同色球2个 再从盒中第二次抽取一球,则第二次抽出的是 黑球的概率为 __ B3 C7 3.根据以往的临床记录,某种诊断痛症的试验具 有如下效果,若以A表示“试验反应为阳性”,以 B表示“被诊断者患有痛症”,则有P(AB) 0.95.P(A|B)-0.95.现对自然人群进行普 查,设被试验的人患有痛症的概率为0.005,则 P(BA)约为 ( A.0.25 B.0.092 C.0.087 D.0.4 l完成P课时作业(十) 7.2 离散型随机变量及其分布列 课标要求 学法指导 1.通过具体实例,了解 1.随机变量的取值由随机试验的结果决定。 离散型随机变量的 2.类比函数来学习随机变量,它们之间既有联系又有区别,事实上,本 概念. 章的学习顺序与《数学必修第一册》中函数的学习顺序具有相似性, 2.理解离散型随机变量 都是先了解随机变量(函数)的概念和性质,然后将其具体化为两点 的分布列. 分布、二项分布、超几何分布、正态分布(指数、对数、寡函数、三角函 3. 能熟练应用离散型随 数),这样对比学习有利于更好地认识随机变量。 机变量的性质求概率 3.通过研究离散型随机变量的概念、分布列及其性质,发展数学抽象。 4.了解两点分布 逻辑推理和数学运算的核心素养 .46.要点二 P(AC) 30 P(A) -子：所以P(BUCIA-PBLW+PCD P(A,)P(B A,) 10 P(B) [辨析]解析(1)错误.各个事件应两两互斥 号+号号所以所求的概率为 (2)正确.根据全概率公式的定义可知说法正确. 方法二因为n(A)=1XC=9,[(BUC∩A]=C十C=5, (3)错误.需满足的条件为A,A,=0(i≠j), 所以P(BUCA)-m(BUCNA] n(A) 日。所以所求的概率 P(A)>0. 答案(1)×(2)√(3)× 关键能力·素养提升 登图号 [例题门解析设事件B为“从仓库中随机提出的一台产品是合 格品”，事件A为“提出的一台产品是第i车间生产的”(i= [练习]解杨设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为 1,2), “第二次取到的是一等品”，则AB表示“第一次取到一等 则n=AUA2,且A:与A2互斥， 品，第二次也取到一等品” 因为PN-得-是，PAB)=得=号，所以在第一次取 由题老得PA)=号-04，PA)=是-06， P(BA1)=0.85,P(BA2)=0.88. 到一等品的情况下，第二次取到一等品的概率为P(B引A)= 由全概奉公式得P(B)=P(A)P(B|A)十P(A2)· P(B1A2)=0.4×0.85+0.6×0.88=0.868. P(AB)_ 2 [变式门解杨设事件A为“该商店所售电视机合格”，事件B P(A) 为“该商店所售电视机是由甲厂生产的”，事件C为“该商店 所售电视机是由乙厂生产的”， 随堂检测·学以致用 由题知P(B)=70%=0.7,P(A|B)=95%=0.95, 3 P(C)=30%=0.3,P(A|C)=80%=0.8, 1.c题由PBA)-得PA-界 8 P(BIA) 所以P(A)=P(B)P(AB)+P(C)P(A|C)=0.7X0.95+ 2 0.3×0.8=0.905. 寻，故选C项 所以该商店所售电视机的合格率为90.5%. 答案90.5% 2.D解析由题意得n(A)=3×6=18,n(AB)=3,则P(BA)= [例题2]解析由题意设D表示抽取的是合格品，A表示该产品 提-器一古故选D项 由a生产线生产，B表示该产品由b生产线生产，则P(A)= 0.65,PB)=0.35,P(D1A)=0.9,P(D1B)=0.85, 3.B解析由题意设事件A为“该充电宝循环充电超过500 次”，事件B为“该充电宝循环充电超过1000次”，则P(A) 由贝叶斯公式得，所求概率为PAD)=PAD) P(D) 子，PB)=合，易知P(AB)=P(B)=合，所以P(BA)= P(A)P(DA) -P(A)P(DA)+P(B)P(DIB) 0.65×0.9 P(AB) 2 =0.65x0.9+0.35X0.85≈0.7， P(A) 3 ×-号故选B项 2 [变式2]解析设A表示抽到的为男子，B表示抽到的为女子， 4 C表示抽到的人患有色盲症。 4.解析记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”， 由题意得P(A)=P(B)=0.5,P(CA)=0.05, 则P(A)=0.7,PBA)=0.95,所以P(AB)=P(A)·P(BA) P(ClB)=0.0025, 0.7×0.95=0.665. P(AP(CIA) 答率0.665 由贝叶新公式有P(A|C)=PAPCIA+PBP(CIB) 0.5×0.05 7.1.2全概率公式 0.5×0.05+0.5×0.0025≈0.95， 即随机抽一人发现惠有色盲症且为男子的概率是0.95. 必备知识·基础落实 随堂检测·学以致田 [问题1]提示P(B,)=0.4×0.5十0.6×0.5=0.5. 1C解析第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，那么第 [问题2]提示P(Bz)=0.4×0.5=0.2. [问题3]提示不等于. 一台机床加工的零件所占的比例是导，第二台机床加工的零 要点一 件所占的比例是号，则任取一个零件是不合格品的概率为 ∑PA)PBIA) 号×0.03+号×0.02-号故任取一个本件是合格品的概 [思考]提示不一定.这是对全概事公式形式上的认识，完全把 它作为一个“公式”来理解是不正确的。 2=73.故选C项. 率为1一一7污 ·173· 2.A解析设事件A为“第一次抽出的是黑球”，事件B为“第 (4)是离散型随机变量，从10个球中取2个球，所得的结果 二次抽出的是黑球”，则B=AB十AB.由题意得P(A)= 有三种：①2个白球；②1个黑球，1个白球；③2个黑球.可 2异3-号，P(BA0=2异2=号，P=异3=号， 以一一列出，符合离散型随机变量的定义 [变式1门解扬(1)A,C,D项中的随机变量X的可能取值都可以 P(BA=2+3+2=号，所以P(B)=PaP(B1A+ 按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；B 项中的随机变量X无法按服一定的次序一一列出，故不是离 PPB不=是×号+号×号-是故选A项 散型随机变量.故选ACD项. 3.C解析P(AB)-1-P(A|B)-1-0.95=0.05.被试验的 答案ACD 人患有癌症的概率为0.005，就相当于P(B)=0.005,因此 (2)①X可能取0,1,2,3,4,5.{X=i}表示“面试通过的有i P(A B)P(B) 人”，其中i=0,1,2,3,4,5. P(BIA)-P(AIB)PB)十PAP历≈0.087.故选C项 ②X可能取0,1,2.{X=i表示“取出的3个球中有i个白 4.解析设事件A为“抽取的产品是工厂A生产的”，事件B为 球，3一i个黑球”，其中i=0,1,2. “抽取的产品是工厂B生产的”，事件C为“抽取的是次品”， [例题2]解析因为箱子里共有5个球，所以从中摸出2个球， 则有P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(CA)=0.01,P(C|B)= 共有C=10(种)情况. 0.02, (1)设“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”为事件A, 根据全概率公式得，P(C)=0.6×0.01十0.4×0.02= 尉PA-C8-号，即援出的2个球中有1个台球和1 10 0.014,P(AC)=P(A)P(CA)=0.6×0.01=0.006, 女PA0-8-&80-号. 个红球的概率为。 (2)X的所有可能取值为0,1,2， 7.2离散型随机变量及其分布列 用PX=0)-8-=0PX-i-98=号， 10 必备知识·基础落实 PX-20-8- [问题1]提示能，用数字1,2,3,4,5,6分别表示六种不同的 故X的分布列如表所示 结果 X 0 1 2 [问题2]提示都等于 P a [问题3]提示列表如下. 品 X 1 2 [变式2]解析(1)由P(X=1)=0.75,得P(X=0)=0.25.所 3 5 以X的分布列如表所示。 1 6 6 X 0 要点一 P 0.25 0.75 样本空间Q唯一有限个 一一列举 (2)设黄球有n个，则由题意知绿球有2m个，红球有4n个，球 要点二 的总数为7m个，X的可能取值为一1,0,1，则P(X=一1)= 1.P(X=x)=p 3.p≥01 熟-号P0X-0-- [思考]提示表格法、解析式法及图象法 PX=D-贺-÷ [辨析]解析(1)正确.离散型随机变量的取值是有限个，连续 所以从该盒中取出一球所得分数X的分布列如表所示. 型随机变量的取值是无限个 X -1 0 1 (2)正确.出现正面的次数是0或1，是随机变量. (3)错误.概率应满足0≤p≤1，i=1,2,…,n. 2 1 (4)错误.不是概率之积，而是概率之和. (5)正确.这三个事件满足两点分布的定义. [例题3]服团对于X=-2,-1,0,1,23,由y=-X+2 答案(1)√(2)/(3)×(4)×(5)/ 关键能力·素养提升 111111 [例题1]解析(1)不是离散型随机变量.白炽灯的寿命：的取 相应的概率分别为位，4，了262 值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出。 故Y,的分布列如表所示。 (2)不是离散型随机变量.实际测量值与规定值之间的差值 5 3 -1 3 5 无法一一列出. 2 2 2 2 (3)不是离散型随机变量.在(0,29]这一范围内变化的水位 值无法一一列出 12 12 6 12 ·174·