精品解析：广东揭阳华侨高级中学2025-2026学年度第一学期高一上学期分班考试数学试题

广东揭阳华侨高级中学2025-2026学年度第一学期高一上学期分班考试数学试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的运算法则直接求解即可 【详解】因为集合，集合，则 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数型函数的真数大于0求解. 【详解】令，得， 所以函数的定义域为. 故选：B 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的值域，再根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为的值域为，且在上单调递增， 所以的值域为， 故选：A 4. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及单调性求出，再结合指数函数的性质可得. 【详解】因为函数为幂函数， 所以，解得或， 又为为增函数，则， 故恒过定点. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，， 又，， 解得，， 所以. 6. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（ ） ①；②；③；④． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 7. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出的单调性和奇偶性，然后将条件转化为关于的等量关系，利用“的代换”求解出的最小值，则的最大值可知. 【详解】因为，且的定义域为关于原点对称， 所以为上的奇函数， 又因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 又因为，所以的最大值为， 故选：D. 8. 已知函数.记，则的最大值与的最小值的差为 （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析的正负区间，从而得出在各区间的函数解析式，结合，，利用函数的单调性求解 的最大值与 的最小值即可. 【详解】由题意可得，， 故当或时，， 当时，， 故当或时，， 当时，， 又对称轴为，开口向上，对称轴为，开口向下， 且，， 综上有当时，为增函数， 当时，为减函数， 当时为减函数， 故最大值为； 当时，为减函数， 当时，为减函数， 当时为增函数， 故最小值为. 故 的最大值与 的最小值的差为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“”的否定是“” C. “设，且，则且”是假命题 D. 设，则“或”是“”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD；利用命题的否定即可判断选项B；利用赋值法即可判断选项C. 【详解】对选项A：，则，解得或， 所以时，不能得到，而时，一定有， 故“”是“”的必要不充分条件，选项A正确； 对选项B：“”的否定是“”， 选项B错误； 对选项C：取则，不满足且，命题为假命题，选项C正确； 对选项D：则或；或时，则有， 所以“或”是“”的充要条件，选项D正确. 故选：ACD. 10. 已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由求解；对B，由消元法化为二次函数求解；对C，由“1”的代换求解；对D，由求解. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号， 即的最大值是，A正确； 对于B：，， 当时，取得最小值，B错误； 对于C：， 当且仅当时取等号，又，所以， 所以的最小值为，C错误； 对于D：，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，D正确. 故选：AD. 11. 对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个不同的解 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数新定义有，再应用奇偶性定义、方程法判断函数的奇偶性和零点个数，由解析式及二次函数的性质的判定区间单调性. 【详解】当时，， 当或时，， 综上，， 当，则，显然， 当，则，显然， 综上，为偶函数，A对， 令，则或时，时， 所以方程有三个不同的解，B对， 在上，显然不单调，C错， 在上，，时，又图象连续，显然单调递减，D对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由分段函数解析式代入可得. 【详解】，，则. 故答案为：2. 13. 艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%.为使得所记忆的内容不低于，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则________；（，） 【答案】7 【解析】 【分析】根据指数函数模型列不等式求解． 【详解】由题意，，， ， ，又， 所以的最大值是7. 故答案为：7. 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】先作出函数的图象，再令，则，易得，且关于的方程必有两个不等实根，设为，再分，和三种情况讨论即可. 【详解】作出函数的图象如图所示， 令，则， 若原方程有6个不相等的实数根， 则，且关于的方程必有两个不等实根，设为， 当时， 代入，则，解得， 此时关于的方程为，解得，满足题意； 当，且时，令， 则函数有两个大于的不等零点， 因为函数的图象过点， 则，解得， 即； 当时，因为函数的图象过点， 则，无解， 综上所述，实数a的取值范围为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知f(x)＝sin. （1）求f(x)的单调递增区间； （2）当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，k∈Z；（2）最大值为1，最小值为. 【解析】 【分析】（1）解2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，不等式，求出不等式的解集即为函数的单调递增区间； （2）由x的范围，求出2x的范围，再求正弦值，分别求出最大值和最小值即可． 【详解】（1）令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故f(x)的单调递增区间为，k∈Z. （2）当x∈时，， 所以－1≤sin， 所以－≤f(x)≤1， 所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－. 【点睛】本题考查正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键． 16. 计算： （1）（均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）； （2） （3） （4）. 【答案】（1）； （2）； （3）4； （4）． 【解析】 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 原式； 【小问4详解】 原式=． 17. 如图，在一块直角梯形场地中， ，其中米米．现在直角梯形区域内规划一个矩形区域，使点F，E，G分别在线段上． （1）设米，米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域； （2）求矩形面积的最大值； （3）求矩形周长的取值范围． 【答案】（1），定义域为 （2）平方米 （3） 【解析】 【分析】（1）作，垂足为，线段与交于点，求出，，利用，列式子得到，； （2）由（1）得到面积，利用二次函数性质求出在区间上的最大值即可； （3）由（1）可得周长．，利用函数单调性求出周长的取值范围为. 【小问1详解】 作，垂足为，线段与交于点． 米，米． 因为，所以，即． 所以，定义域为． 【小问2详解】 设矩形的面积为平方米，由（1）可得． 由二次函数的性质知，其图象开口向下，对称轴为直线， 所以当时，矩形的面积取得最大值，其最大值为平方米． 【小问3详解】 设矩形的周长为米，由（1）可得． 函数是减函数． 因为，所以，即， 所以矩形周长的取值范围为． 18. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，解一元二次不等式即可； （2）转化为“对任意，都有恒成立”，结合均值不等式求的取值范围； （3），按的不同取值结合一元二次函数的单调性分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，即， 所以，所以，解得或， 所以不等式的解集为或. 【小问2详解】 “对任意，都有恒成立”等价于“对任意，都有恒成立”， 因为时，（当且仅当时等号成立）， 所以，即， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为对，使得不等式成立， 所以不等式， 因为， 所以在单调递增，， 因为， 所以当，即时，在单调递增，所以， 所以恒成立，此时； 当，即时，， 由解得，此时； 当，即时，， 由得，此时； 综上所述，实数的取值范围是. 19. 函数对任意实数恒有，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1）奇函数 （2） 任取，且，则， ∵当时，，∴， 由得， ∴， ∴， ∴是上的减函数. （3） 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. 【小问1详解】 解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：. 取，则由得， ∴，即， ∴函数是奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由得， 由得， 则， ∴不等式可化为， ∵是上的减函数， ∴，即………①. （i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】方法点睛： 1.解一元二次不等式的一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东揭阳华侨高级中学2025-2026学年度第一学期高一上学期分班考试数学试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（ ） ①；②；③；④． A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 7. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.记，则的最大值与的最小值的差为 （    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“”的否定是“” C. “设，且，则且”是假命题 D. 设，则“或”是“”的充要条件 10. 已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个不同的解 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数则_______. 13. 艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%.为使得所记忆的内容不低于，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则________；（，） 14. 已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知f(x)＝sin. （1）求f(x)的单调递增区间； （2）当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值. 16. 计算： （1）（均为正数，结果用分数指数幂的形式表示）； （2） （3） （4）. 17. 如图，在一块直角梯形场地中， ，其中米米．现在直角梯形区域内规划一个矩形区域，使点F，E，G分别在线段上． （1）设米，米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域； （2）求矩形面积的最大值； （3）求矩形周长的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （3）若对，使得不等式成立，求实数的取值范围. 19. 函数对任意实数恒有，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $