6.3.2-6.3.4 平面向量的正交分解及加减、数乘运算的坐标表示（讲义）高一数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量的正交分解及坐标表示、线性运算（加减、数乘）的坐标表示，系统梳理从向量分解到坐标化表示，再到运算规则及定比分点坐标公式的脉络，构建从概念到应用的学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固概念，题型分类（如用坐标表示向量、线性运算求参数等）系统梳理方法，典例与变式结合提升解题能力。以三点共线求参数等实例，培养学生用数学眼光抽象数量关系，用数学思维推理运算规律，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化知识应用。

第六章 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 知识点一 平面向量的正交分解 1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2、平面向量的坐标表示 （1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示． （2）向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，． （3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若则点坐标为，反之亦成立． （4）特殊向量的坐标：． 即学即练（24-25高一下·四川峨眉·月考）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点二 向量线性运算的坐标表示 1、两个向量和（差）的坐标表示 已知，则，． 2、向量数乘的坐标表示 （1）若，则； （2）已知，则向量，共线的充要条件是． 即学即练（24-25高一下·吉林长春·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点三 定比分点的坐标表示 1、线段定比分点的定义 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比．点叫做线段以定比为的定比分点．λ 有三种情况：                                (内分)                         (外分)()                 (外分) () 2、定比分点的坐标表示 （1）若点，，为实数，且，则点坐标为． （2）点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点． ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点． （3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则． 特别地为的中点． 即学即练已知点，，，且依次为的三等分点，求和的坐标. 题型01 用坐标表示平面向量 1、直接法：若已知起点、终点，直接代入公式； 2、逆向法：已知向量坐标和起点，则终点B坐标为；已知终点B和向量坐标，同理求起点A； 3、图形法：结合平行四边形、三角形的性质，先确定关键点坐标，再求向量坐标（优先利用“对边向量相等”“中点坐标公式”）． 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26高一上·北京房山·期末）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·云南昆明·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．0 【变式1-3】（24-25高一下·海南·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（    ） A． B．1 C．5 D． 题型02 向量线性运算的坐标表示 1、向量的坐标运算主要是利用平面向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用． 2、若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 典｜例｜精｜析 【例题2】（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】（23-24高一下·天津武清·月考）已知向量，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·江苏盐城·月考）在平行四边形中，为对角线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，分别用基底表示向量，，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 根据向量线性运算求参数 利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相等这一原则，通过列方程（组）进行求解． 典｜例｜精｜析 【例题3】（24-25高一下·浙江杭州·月考）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【变式3-3】（24-25高一下·山东德州·月考）已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 题型04 利用坐标解决向量共线问题 已知两个向量共线（平行），求参数的值或范围，核心是利用“共线向量坐标关系：，注意前提是“非零向量”． 典｜例｜精｜析 【例题4】（24-25高一下·江苏·期中）与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 【变式4-2】（24-25高一下·河南·月考）已知向量，则实数（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式4-3】（2026·宁夏银川·一模）已知向量，，，若与平行，则（    ） A． B． C． D．1 题型05 利用坐标解决三点共线问题 解题步骤： 第一步：设出三点坐标（若未知，设出未知点坐标）； 第二步：选取有公共起点的两个向量，求出其坐标； 第三步：利用向量共线的坐标关系，列方程（或不等式）； 第四部：解方程（或不等式），判断三点是否共线，或求出参数值． 常见易错点：①选取的两个向量无公共起点，导致判断错误；②忽略向量共线的前提（非零向量），若三点共线，连接的向量必为非零向量（三点不重合）；③计算向量坐标时，混淆起点与终点，导致坐标出错． 典｜例｜精｜析 【例题5】（24-25高一下·天津蓟州·月考）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】（24-25高二上·河北石家庄·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式5-2】（24-25高一下·江苏常州·月考）已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·辽宁大连·期末）平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为__________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 知识点一 平面向量的正交分解 1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2、平面向量的坐标表示 （1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使，把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示． （2）向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，． （3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若则点坐标为，反之亦成立． （4）特殊向量的坐标：． 即学即练（24-25高一下·四川峨眉·月考）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则在基下的坐标为.故选：A. 知识点二 向量线性运算的坐标表示 1、两个向量和（差）的坐标表示 已知，则，． 2、向量数乘的坐标表示 （1）若，则； （2）已知，则向量，共线的充要条件是． 即学即练（24-25高一下·吉林长春·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 因为，所以，，解得，， 则，故B正确.故选：B 知识点三 定比分点的坐标表示 1、线段定比分点的定义 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比．点叫做线段以定比为的定比分点．λ 有三种情况：                                (内分)                         (外分)()                 (外分) () 2、定比分点的坐标表示 （1）若点，，为实数，且，则点坐标为． （2）点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点． ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点． （3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则． 特别地为的中点． 即学即练已知点，，，且依次为的三等分点，求和的坐标. 【答案】， 【解析】根据题意可知，点分所成的比分别是，， 设，利用定比分点坐标公式可得 ，，所以点坐标为， 设，利用定比分点坐标公式可得 ，，所以点的坐标为， 所以，. 题型01 用坐标表示平面向量 1、直接法：若已知起点、终点，直接代入公式； 2、逆向法：已知向量坐标和起点，则终点B坐标为；已知终点B和向量坐标，同理求起点A； 3、图形法：结合平行四边形、三角形的性质，先确定关键点坐标，再求向量坐标（优先利用“对边向量相等”“中点坐标公式”）． 典｜例｜精｜析 【例题1】（25-26高一上·北京房山·期末）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点，，所以，故选：B 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，由向量的坐标表示可知，， 所以，解得，即点的坐标为.故选：A. 【变式1-2】（24-25高一下·云南昆明·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【解析】用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量， 则，且，， 若， 则，则.故选：D. 【变式1-3】（24-25高一下·海南·期中）如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（    ） A． B．1 C．5 D． 【答案】B 【解析】由，，得，由，得， 因此，所以.故选：B 题型02 向量线性运算的坐标表示 1、向量的坐标运算主要是利用平面向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用． 2、若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 典｜例｜精｜析 【例题2】（24-25高一下·安徽亳州·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ∴.故选：C. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】（23-24高一下·天津武清·月考）已知向量，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】向量， 所以向量,故选：D 【变式2-2】（24-25高一下·江苏盐城·月考）在平行四边形中，为对角线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 所以.故选：A. 【变式2-3】（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，分别用基底表示向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由坐标系可知，，， 则，故选：C. 题型03 根据向量线性运算求参数 利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根据相等向量的坐标相等这一原则，通过列方程（组）进行求解． 典｜例｜精｜析 【例题3】（24-25高一下·浙江杭州·月考）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， 则，， 所以，即， 所以， 因为， 所以，则， 则，化简得，故选：B. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，以O为坐标原点建立坐标系， 则 所以 则，则，则.故选：C. 【变式3-2】（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【解析】以所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示直角坐标系： 设，则根据三角函数定义，，且， 同时，由可得： ，也即，， 则，， 则，， 则，，故， 也即的最大值为.故选：A. 【变式3-3】（24-25高一下·山东德州·月考）已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）依题意得，， 则，所以， 所以，． （2）由（1）知，，所以． 设点的坐标为，则， 因为，所以，， 所以，，故点的坐标为． 题型04 利用坐标解决向量共线问题 已知两个向量共线（平行），求参数的值或范围，核心是利用“共线向量坐标关系：，注意前提是“非零向量”． 典｜例｜精｜析 【例题4】（24-25高一下·江苏·期中）与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为与向量平行的单位向量是，， 所以所求单位向量为，即或故选：D 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 【答案】C 【解析】因为向量，又因为， 所以， 即，解得或.故选：C. 【变式4-2】（24-25高一下·河南·月考）已知向量，则实数（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又， 所以，解得.故选：D. 【变式4-3】（2026·宁夏银川·一模）已知向量，，，若与平行，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，， 则 又因为与平行， 所以， 化简：，即，解得：. 题型05 利用坐标解决三点共线问题 解题步骤： 第一步：设出三点坐标（若未知，设出未知点坐标）； 第二步：选取有公共起点的两个向量，求出其坐标； 第三步：利用向量共线的坐标关系，列方程（或不等式）； 第四部：解方程（或不等式），判断三点是否共线，或求出参数值． 常见易错点：①选取的两个向量无公共起点，导致判断错误；②忽略向量共线的前提（非零向量），若三点共线，连接的向量必为非零向量（三点不重合）；③计算向量坐标时，混淆起点与终点，导致坐标出错． 典｜例｜精｜析 【例题5】（24-25高一下·天津蓟州·月考）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【解析】因为三点共线，所以与共线，则有，解得.故选：A. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】（24-25高二上·河北石家庄·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为、、三点共线，所以， 又因为，， 所以，解得.故选：C. 【变式5-2】（24-25高一下·江苏常州·月考）已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】已知，，则. 因为，，三点共线，所以与共线.可得. 即.等式两边同时除以 （因为，若，则，此时）， 得到.故选：B. 【变式5-3】（24-25高一上·辽宁大连·期末）平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为__________. 【答案】 【解析】，， ，. ∵O、A、B三点共线， ，解得或（舍去）. ，，. 设线段AB上靠近点A的三等分点为C， 则，. 1 / 10 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