微专题 平行线及其判定（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

微专题 平行线及其判定 目录 题型一、平面内两直线的位置关系 1 题型二、用直尺、三角板画平行线 4 题型三、平行公理的应用 7 题型四、平行公理推论的应用 15 题型五、同位角相等两直线平行 24 题型六、内错角相等两直线平行 27 题型七、同旁内角互补两直线平行 34 题型一、平面内两直线的位置关系 例1下列说法正确的是（   ） A．有公共顶点的两个角是对顶角； B．在同一平面上，如果两线段不相交，那么他们所在的直线互相平行； C．一个锐角的补角比它的余角大90度； D．垂直于同一直线的两直线平行． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义、与余角、补角有关的计算、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查对顶角性质、两直线的位置关系、补余角定义，根据对顶角性质、两直线的位置关系、补余角定义可逐一判断． 【详解】解：A．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．故选项A说法错误，不符合题意； B． 在同一平面上，如果两线段不相交，那么他们所在的直线不一定互相平行,原说法错误，不符合题意； C． 设这个锐角是x度，则它的补角是度，余角是度．则，说法正确，符合题意； D．在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列说法一定正确的是（   ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系、相交线 【分析】本题考查了平行线、相交线的基本概念，解题的关键在于准确理解并运用这些概念； 根据平行线、相交线的定义及性质，对各选项逐一进行分析． 【详解】A．平行线的定义是在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，而线段有长度限制，即使两条线段不相交，它们所在的直线也可能相交，所以两条不相交的线段不一定是平行线，故该选项说法错误，不符合题意； B．在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，二者不能同时成立，不存在既平行又相交的情况，故该选项说法错误，不符合题意； C．根据直线相交的定义，两条相交的直线有且只有一个公共点，故该选项说法正确，符合题意； D．射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，在同一平面内，两条射线没有交点，它们所在的直线也可能相交，所以仅根据两条射线没有交点，不能得出这两条射线平行，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】下列说法中错误的是___________（填序号） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段 ③两条直线没有交点，则这两条直线平行 ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交 ⑤过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离 【答案】①②③⑤ 【知识点】垂线的定义理解、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系、平行公理推论的应用 【分析】根据平行线、线段、垂线的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； 在同一平面内，两条不相交的线段可能是平行线段，也可能不是平行线段，故②错误； 在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线平行，故③错误； 在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，故④正确； 过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB的长是点A到直线l的距离，故⑤错误； 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了平行线、直线、线段、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、直线、线段的性质，从而完成求解． 【变式1-3】已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】全等三角形的性质、用SAS证明三角形全等（SAS）、平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，两条直线的位置关系，熟练运用全等三角形的判定是解题的关键． （1）已知，，由可得，利用“”即可证明； （2）由（1）知，可得，通过角之间的等量代换，得出即可证明． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ． （2）解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 题型二、用直尺、三角板画平行线 例2下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【答案】C 【知识点】用直尺、三角板画平行线、画垂线 【分析】根据直线与平面垂直的意义进行判断即可． 【详解】解：铅垂线、三角尺、合页型折纸可以检验直线与平面垂直，而长方形纸片比较单薄，不适合支撑检测直线与面之间的垂直度， 故选：C． 【点睛】本题考查垂线，掌握直线与平面垂直的意义是正确判断的前提． 【变式2-1】如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“＞”“＜”或“＝”） (4)点P为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点P有 个（点P不与点G重合）． 【答案】(1)图见详解； (2) (3)＜ (4)5 【知识点】画垂线、点到直线的距离、画出直线、射线、线段、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查作平行线、垂线，点到直线距离的理解应用： （1）先根据格点画出，再根据三角形全等及直角三角形两锐角互余，在位置找与全等的三角形即可得到答案； （2）根据点到直线的距离是垂线段距离直接判断即可得到答案； （3）根据图形判断即可得到答案； （4）根据的面积与的面积相等，即可得到点到的高与点G到的高相等，作平行线即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：由（1）得， ∵， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：由图像可得， ， 故答案为：； （4）解：∵的面积与的面积相等， ∴点到的高与点G到的高相等即可，如图所示， ， ， ∴的面积与的面积相等的点P，有5个． 【变式2-2】如图，直线、相交于点，根据下列语句画图并解答： (1)过点画出，交于点； (2)过点画出，垂足为点； (3)如果，那么 ．（直接写出结果） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)62 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查平行线、垂线的作法，平行线的性质： （1）根据平行线的定义作图； （2）根据垂线的定义作图； （3）根据平行线的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：， ， ， ， 故答案为：62． 【变式2-3】按下列要求画图（不需书写结论）并填空;如右图， （1）过点Q作QD⊥AB，垂足为D， （2）过点Q作QE∥AB，交AC于点E， （3）过点Q作QF⊥直线 AC，垂足为F， （4）联结A、Q两点， （5）点Q到直线AC的距离是线段 的长度， （6）直线QE与直线AB之间的距离是线段 的长度. 【答案】见解析. 【知识点】求平行线间的距离、用直尺、三角板画平行线、点到直线的距离、画垂线 【分析】（1）—（4）分别按照垂线、平行线、垂线和线段等的画法作图即可，（5）点Q到直线AC的距离是点Q到直线AC的垂线段的长，据此判断即可，（6）由作图知，直线QE与直线AB是平行的，按照两平行线间的距离的概念结合图形判断即可. 【详解】解：（1）—（4）如下图： （5）点Q到直线AC的距离是线段QF的长度， （6）直线QE与直线AB之间的距离是线段QD的长度. 【点睛】本题主要考查尺规作线段、垂线、平行线等基本作图和点到直线的距离、两平行线间的距离的概念，熟练常见的基本作图、明确点到直线的距离和两平行线间的距离的概念是解题的关键. 题型三、平行公理的应用 例3下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、三角形角平分线的定义、平行公理的应用 【分析】本题主要考查平行公理、垂线的性质、三角形中各类线的交点性质、直线位置关系及点到直线的距离的定义，需逐一分析各说法的正确性，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，原说法缺少“直线外一点”的条件，故错误，不符合题意； ②平面内，过一点（无论点在直线上或外）有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，符合题意； ③三角形的三条中线交于重心，三条角平分线交于内心，三条高线所在直线交于垂心，故原说法错误，不符合题意； ④平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故错误，不符合题意； ⑤点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，故错误，不符合题意； 综上，正确的有②，共1个， 故选：A． 【变式3-1】下列说法： 同位角相等，两直线平行； 两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 三角形的一个外角等于两个内角的和； 已知同一平面内，，则 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】判断命题真假、平行公理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角性质，平行线的判定，平行公理，垂线，角的计算，关键是掌握三角形的外角性质，平行公理，垂直的定义，平行线的判定方法；由三角形的外角性质，平行公理，垂直的定义，平行线的判定方法，即可判断． 【详解】解：①同位角相等，两直线平行，正确，故①符合题意； ②两直线相交形成的四个角中，两对对顶角相等，但这两条直线不一定互相垂直，故②不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③不符合题意； ④三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故④不符合题意； ⑤若射线在外部，则，若射线在内部，则，所以或，故⑤不符合题意． 正确的个数为1个． 故选：A． 【变式3-2】下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【知识点】平行公理的应用、判断命题真假、点到直线的距离、两直线平行同位角相等 【分析】本题主要考查了命题与定理、平行线的判定、点到直线的距离等知识点，掌握相关的性质定理是判断命题的真假关键． 根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 【变式3-3】如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则______． 【答案】 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-4】问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】平行公理的应用、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】（1）如图②中，过点E作，利用平行线的性质求出，，根据证明即可； （2）如图③中，过点B作交的延长线于G，利用平行线的性质求出，，，根据证明即可； （3）设，，则，求出，，根据，构建方程求出可得结论． 【详解】（1）证明：如图②，过点E作， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 即， （2）如图③，过点B作交的延长线于G． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图④中， ∵平分，平分， ∴，， 设，， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-5】如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当动点P落在第②部分时，， 当动点P落在第③部分时，， 当动点P落在第⑤部分时，． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． （1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）当动点P落在第②部分时，首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可；当动点P落在第③部分时，过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解．当动点P落在第⑤部分时，如图， 过点向右作，则，，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2）解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 题型四、平行公理推论的应用 例4如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，，然后根据可得①，根据可得②，将②代入①即可得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 【变式4-1】如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为______． 【答案】#100度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，最后由平行线的性质和角度和差即可求解，掌握平行线的性质，平行公理推论的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为______．    【答案】/96度 【知识点】两直线平行同旁内角互补、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的性质及平行公理的推论．过点作，由平行线的性质求，继而得到，根据平行公理的推论得，最后根据两直线平行，同旁内角互补得．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的度数为． 故答案为：．    【变式4-3】如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【答案】(1) (2) (3)； (4)，求解过程见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用 【分析】（）过点作，可得，进而得，，再根据角的和差关系即可求解； （）过点作，过点作，可得，同理（）解答即可求解； （）过点作，可得，得到，进而根据角平分线的定义可得，同理可得； （）过点作，过点作，得，同理（）解答即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作，过点作，如图所示，    ∵， ∴， ∴，，， ∵，，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：与（1）同理可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 按照上述方法可知， ∵，平分，平分，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：，； （4）解：过点作，过点作，如图所示，则，    ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式4-4】已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 【答案】(1)①；② (2)①见详解；② 【知识点】三角形的外角的定义及性质、平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】（1）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而可得，然后由求解即可；②过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，然后由即可获得答案； （2）①过点作，根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再证明，，进而证明结论；②利用平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的定义和性质证明， ，然后由求解即可． 【详解】（1）解：①如下图，过点作， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如下图，过点作， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①；②； （2）①证明：如下图，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如下图， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行的判定与性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 题型五、同位角相等两直线平行 例5如图，下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能判断，选项错误； B、，可以判断，不能判断，选项错误； C、，可以判断，不能判断，选项错误； D、，可以判断，选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 【变式5-1】下列命题是真命题的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．正数与负数的和一定等于零 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行、对顶角相等、判断命题真假、利用平方根解方程 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的判定，对顶角，利用平方根解方程，有理数的运算，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； B、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； C、若，则，原命题是假命题，不符合题意； D、正数与负数的和不一定等于零，例如：，原命题是假命题，不符合题意； 故选A． 【变式5-2】如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，． (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】同位角相等两直线平行、根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据题意得到，再由同位角相等，两直线平行即可求解； （2）根据，可得，从而得到，再结合角平分线的定义可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵扶手与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 【变式5-3】完成说理过程并注明理由： 如图，已知，，求证： 证明：∵（已知） ∴ （ ） ∵（已知） ∴， ∴ （ ） ∴ （两直线平行，同位角相等）， ∵ （ ） ∴ 【答案】；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；；对顶角相等 【知识点】对顶角相等、同位角相等两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、对顶角相等、等量代换等知识，欲证明，只需推知即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（ 两直线平行，内错角相等）． ∵（已知） ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（对顶角相等） ∴． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；；对顶角相等． 题型六、内错角相等两直线平行 例6如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定方法分别对四个选项进行判断． 【详解】解：A、当时，，本选项不符合题意； B、当时，，本选项不符合题意； C、当时，，本选项不符合题意； D、当时，，本选项符合题意． 故选：D． 【变式6-1】如图，点为三角形的边上一点，如果，将三角形沿着直线翻折后，点A落在处，那么当______时，有． 【答案】60 【知识点】三角形内角和定理的应用、折叠问题、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查三角形翻折问题，三角形内角和，平行线的判定，熟练掌握翻折的性质、三角形内角和定理、平行线的判定定理是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，再根据翻折的性质得，再根据当时，，则，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折得， ∵当时，， ∴， ∴， 故答案为：60． 【变式6-2】如图，已知平分，，则________时，． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角的性质，平行线的判定定理，平行线的性质；根据三角形的外角的性质得，根据当时，即可求解． 【详解】解：平分， ， 设， ∵， 当时， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式6-3】已知：如图，分别平分，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和、平行线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键； （1）根据角平分线的定义结合，即可推出，进而可得，再根据角边角即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，可得，然后根据三角形的内角和定理结合对顶角相等可得，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵分别平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴． 【变式6-4】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 【答案】(1)垂直；；平行 (2)①；② (3)10或85或130；55或或145 【知识点】折叠问题、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案； ②算出当时，，，再根据，得出，即可求出两条射线的夹角． （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质和垂直的定义，列出方程，解题方程即可． 【详解】（1）解：如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：垂直；；平行； （2）解：①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ∵， ∴， ∴两条射线的夹角为． （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10或85或130时，两灯的光束互相平行． ②当时，如图， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当为55或或145时，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． 题型七、同旁内角互补两直线平行 例7如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行、折叠问题、内错角相等两直线平行、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 【详解】解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 【变式7-1】如图，，，是否与平行，若不平行，需添加___________（只填出一种即可）的条件，使． 【答案】或或． 【知识点】两直线平行同位角相等、同旁内角互补两直线平行 【分析】根据两直线平行的判定定理判断． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 【点睛】此题考查了直线的判定定理，解题的关键是熟悉两直线平行的判定定理． 【变式7-2】如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)不会发生变化，见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质． （1）由题干中两角互补得出 ，由对顶角相等得出 ，从而得出，证明平行； （2）由平行线的性质得出 ，由角平分线的性质得出 ，由三角形内角和得出 ，即 ，通过已知，从而得出平行； （3）利用已知和三角形外角得出 ，由三角形内角和得出 从而推出 ，由邻补角的定义和角平分线的性质得出 从而得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图1，∵与互补， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图2，由（1）知，， ∴． 又∵与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∴，即． ∵， ∴； （3）解：的大小不会发生变化，其值为，理由如下： ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴的大小不会发生变化，其值为． 【变式7-3】已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 【答案】平行，证明见解析 【知识点】同旁内角互补两直线平行、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理．由，可得，而的平分线与的平分线相交于点，即可得，故． 【详解】解：，证明如下： ， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ． ． 【变式7-4】如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可得出，根据邻补角的定义，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可得出，进而证明，即可得出结论； （3）延长到，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， （3）证明：延长到，使得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∵，   ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 平行线及其判定 目录 题型一、平面内两直线的位置关系 1 题型二、用直尺、三角板画平行线 4 题型三、平行公理的应用 7 题型四、平行公理推论的应用 15 题型五、同位角相等两直线平行 24 题型六、内错角相等两直线平行 27 题型七、同旁内角互补两直线平行 34 题型一、平面内两直线的位置关系 例1下列说法正确的是（    ） A．有公共顶点的两个角是对顶角； B．在同一平面上，如果两线段不相交，那么他们所在的直线互相平行； C．一个锐角的补角比它的余角大90度； D．垂直于同一直线的两直线平行． 【变式1-1】下列说法一定正确的是（    ） A．两条不相交的线段叫作平行线 B．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是平行且相交 C．两条相交的直线有且只有1个公共点 D．在同一平面内，若两条射线没有交点，则这两条射线平行 【变式1-2】下列说法中错误的是___________（填序号） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段 ③两条直线没有交点，则这两条直线平行 ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交 ⑤过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离 【变式1-3】已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 题型二、用直尺、三角板画平行线 例2下面不能检验直线与平面垂直的工具是（　　） A．铅垂线 B．三角尺 C．长方形纸片 D．合页型折纸 【变式2-1】如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“＞”“＜”或“＝”） (4)点P为图中一格点，且的面积与的面积相等，则满足要求的格点P有 个（点P不与点G重合）． 【变式2-2】如图，直线、相交于点，根据下列语句画图并解答： (1)过点画出，交于点； (2)过点画出，垂足为点； (3)如果，那么 ．（直接写出结果） 【变式2-3】按下列要求画图（不需书写结论）并填空;如右图， （1）过点Q作QD⊥AB，垂足为D， （2）过点Q作QE∥AB，交AC于点E， （3）过点Q作QF⊥直线 AC，垂足为F， （4）联结A、Q两点， （5）点Q到直线AC的距离是线段 的长度， （6）直线QE与直线AB之间的距离是线段 的长度. 题型三、平行公理的应用 例3下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】下列说法： 同位角相等，两直线平行； 两直线相交形成的四个角中有两对角相等，则这两条直线互相垂直； 过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 三角形的一个外角等于两个内角的和； 已知同一平面内，，则 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-2】下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【变式3-3】如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为、、、、、、，将、、、、、、顺次首尾连接．若、、三点共线，恰好经过点，且，，，则______． 【变式3-4】问题探究： 如图①，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： （1）填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， （2）请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交的延长线于点G…… 问题迁移： （3）如图④，已知，平分，平分．若，请直接写出的度数． 【变式3-5】如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 题型四、平行公理推论的应用 例4如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面交于点，灯管与桌面平行，若，，则的度数为______． 【变式4-2】抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一、明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为______．    【变式4-3】如图①，直线，点在两平行线之间，点在上，点在上，连接．    (1)若，，则的度数为 ． (2)如图②，若点在直线与之间，，，，则的度数为 ． (3)如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则 ． 如图④，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，，依次平分下去，则 ．（用含的式子表示） (4)在一次综合实践活动课上，张开同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【变式4-4】已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 题型五、同位角相等两直线平行 例5如图，下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-1】下列命题是真命题的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．正数与负数的和一定等于零 【变式5-2】如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，． (1)求证：； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【变式5-3】完成说理过程并注明理由： 如图，已知，，求证： 证明：∵（已知） ∴ （ ） ∵（已知） ∴， ∴ （ ） ∴ （两直线平行，同位角相等）， ∵ （ ） ∴ 题型六、内错角相等两直线平行 例6如图所示，在下列四组条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，点为三角形的边上一点，如果，将三角形沿着直线翻折后，点A落在处，那么当______时，有． 【变式6-2】如图，已知平分，，则________时，． 【变式6-3】已知：如图，分别平分，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式6-4】在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 题型七、同旁内角互补两直线平行 例7如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【变式7-1】如图，，，是否与平行，若不平行，需添加___________（只填出一种即可）的条件，使． 【变式7-2】如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？请说明理由． 【变式7-3】已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 【变式7-4】如图，和是等腰直角三角形，，，垂足为F． (1)求证：； (2)判断和的位置关系，并说明理由； (3)求证：． 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $