第1章 二次根式（高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级下册

第1章 二次根式 教学目标 1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件。 2.掌握二次根式的基本性质，并能正确运用。 3.会进行二次根式的化简、乘除、加减运算。 4.能进行简单的二次根式混合运算，会分母有理化。 教学重难点 1. 重点 （1）二次根式的概念与性质。 （2）次根式的化简、加减乘除运算。 （3）化为最简二次根式与合并同类二次根式 2. 难点 （1）理解性质：​=∣a∣，注意分类讨论。 （2）正确进行分母有理化与复杂混合运算。 （3）二次根式有意义的条件与字母取值范围问题。 考点01 二次根式的意义 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 【题型1】若代数式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式无意义的条件，被开方数需为负数，故建立不等式计算即可． 【详解】解：∵代数式无意义， ∴， 解得． 【题型2】若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 【题型3】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：式子 在实数范围内有意义， 有意义，即，解得， 且 ，解得 ． 故答案为：且． 【题型4】若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的性质，由是正整数，可知是完全平方数，设（为正整数），则，为使为正整数，需为偶数，令（为正整数），代入得，当时，取最小值2． 【详解】解：因为是正整数， 所以是完全平方数． 设（为正整数），则． 由于是正整数， 因此必须被2整除，即为偶数． 令（为正整数），则． 当时，， 此时，为正整数，满足条件． 故正整数的最小值为2． 故答案为：2． 【题型5】当时，二次根式的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解题关键． 将代入，进而根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 考点02 二次根式的性质 1.性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 2.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 3.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 【题型1】下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： A选项，不是最简二次根式， B选项，，不是最简二次根式， C选项，，不是最简二次根式， D选项，是最简二次根式． 【题型2】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，二次根式性质，根据最简二次根式的定义，被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，即 不能是平方数或含有平方因子，尝试最小的正整数，从开始验证． 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2． 故答案为：2． 【题型3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的性质以及二次根式有意义的条件逐一判断即可求解． 【详解】解：因为二次根式的被开方数必须为非负数，选项A中与的被开方数为负数，无意义，所以A错误不符合题意； 因为，所以B错误不符合题意； 因为，所以C错误不符合题意； 因为有意义时，即，所以，所以D正确符合题意； 故选：D． 【题型4】观察分析下列各数：，，，，，，根据其中的规律，则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原数列各项统一改写为二次根式形式，找出被开方数的规律，再计算第个数即可． 【详解】解：把原数列各数改写为二次根式可得：，，，，，，…， ∴第个数为，为正整数， ∴第个数为． 【题型5】实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【分析】根据题意可知，，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】因为，， 所以原式． 【题型6】若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与绝对值的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的化简计算． 利用将原式转化，再根据时列不等式求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 解这个不等式得：． 故选：C． 考点03 二次根式的有关运算 1.二次根式的乘除法运算 (1)二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） (2)二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 3.同类二次根式 (1)同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 (2)合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 4.二次根式的加减运算 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，将各选项化简后，判断哪个根号内为3即可． 【详解】解：A． 与不是同类二次根式． B． ，与不是同类二次根式． C． ，与是同类二次根式． D． 与不是同类二次根式． 故选：C 【题型2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质及同类二次根式、二次根式的除法运算法则，依次计算即可判断． 【详解】解：A．，计算不正确，故此选项不符合题意； B．，计算不正确，故此选项不符合题意； C．，计算正确，故此选项符合题意； D．，计算不正确，故此选项不符合题意． 【题型3】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，需先将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故选：D． 【题型4】若，则“”是______． 【答案】2 【分析】利用二次根式的乘法法则推导出，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴，则． 【题型5】如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为3和9， ∴它们的边长分别为：和3， 由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为3， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 【题型6】已知，，则的值为______． 【答案】 1 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，已知字母的值，化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用平方差公式计算乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型7】比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 【题型8】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型9】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将二次根式化为最简二次根式，再计算减法即可． （2）化为最简二次根式，合并被开方数相同的最简二次根式，约分后得出答案． （3）二次根式的混合运算：先乘除，再加减，依次计算即可． （4）二次根式的混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，依次计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型10】一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的长、宽分别是，．现将一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了． (1)求玻璃容器的容积； (2)求玻璃容器的底面半径（取）． 【答案】(1)玻璃容器的容积为 (2)玻璃容器的底面半径为 【分析】本题主要考查了二次根式的运算、一元二次方程的应用． (1)玻璃容器的容积就是塑料容器中减少的水的体积，根据长方体的体积公式计算即可； (2)设玻璃容器的底面半径为，根据圆柱的体积公式可得方程，解方程即可求出玻璃容器的底面半径． 【详解】（1）解：玻璃容器的容积为：； （2）解：设玻璃容器的底面半径为， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：． 【题型11】阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【答案】(1)；；； (2)16 (3)2024 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题关键是熟练掌握如何把二次根式分母有理化． （1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：；；；； （2）解：， ， ； （3）解： ． 【题型12】阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 【答案】 【分析】仿照文中的示例解答即可．本题考查了二次根式的化简，熟练掌握配方法化简是解题的关键． 【详解】解： ． 【题型13】【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)过程见解析，面积 (2)见解析 【分析】本题考查了代数式求值，勾股定理，准确计算是解题关键． （1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； （2）过C作于H，设，则，利用勾股定理表示出，用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵三角形三边长分别为4、5、7， ∴ ∴ （2）解：过C作于H，设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得：． 在中，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次根式 教学目标 1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件。 2.掌握二次根式的基本性质，并能正确运用。 3.会进行二次根式的化简、乘除、加减运算。 4.能进行简单的二次根式混合运算，会分母有理化。 教学重难点 1. 重点 （1）二次根式的概念与性质。 （2）次根式的化简、加减乘除运算。 （3）化为最简二次根式与合并同类二次根式 2. 难点 （1）理解性质：​=∣a∣，注意分类讨论。 （2）正确进行分母有理化与复杂混合运算。 （3）二次根式有意义的条件与字母取值范围问题。 考点01 二次根式的意义 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 【题型1】若代数式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2】若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【题型3】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【题型4】若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 【题型5】当时，二次根式的值为____． 考点02 二次根式的性质 1.性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 2.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 3.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 【题型1】下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【题型3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】观察分析下列各数：，，，，，，根据其中的规律，则第个数是（    ） A． B． C． D． 【题型5】实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1 【题型6】若，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 考点03 二次根式的有关运算 1.二次根式的乘除法运算 (1)二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） (2)二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 3.同类二次根式 (1)同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 (2)合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 4.二次根式的加减运算 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型3】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型4】若，则“”是______． 【题型5】如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为______． 【题型6】已知，，则的值为______． 【题型7】比较大小： ______ （填 、或） 【题型8】计算： (1)； (2)． 【题型9】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型10】一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的长、宽分别是，．现将一部分水倒入一个高为的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了． (1)求玻璃容器的容积； (2)求玻璃容器的底面半径（取）． 【题型11】阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 【题型12】阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简． 例如：化简． 因为， 所以． 仿照上例化简：． 【题型13】【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图在中，，，． (1)请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $