第八章 整式乘法 单元复习与题型总结2025-2026学年七年级下学期数学（苏科版）

2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与检测（2024苏科版） 第八章 整式乘法 题型速览 题型速览 1 模块1：思维导图 2 模块2：考点梳理 2 模块3：题型总结 4 【题型1】单项式乘单项式 4 【题型2】单项式乘多项式 4 【题型3】多项式乘多项式 4 【题型4】根据多项式乘积求参数的值 5 【题型5】根据完全平方公式计算 6 【题型6】利用完全平方公式简便计算 8 【题型7】求完全平方式中的参数的值 9 【题型8】完全平方公式与几何图形综合 9 【题型9】利用完全平方公式变式求值 12 【题型10】判断是否适用平方差公式计算 12 【题型11】根据平方差公式计算 14 【题型12】利用平方差公式简便计算 15 【题型13】平方差公式与几何图形综合 17 【题型14】整式化简及求值问题 17 【题型15】整式化简后不含某项问题 20 模块1：思维导图 模块2：考点梳理 考点1：单项式乘单项式 单项式乘单项式法则： 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式； 考点1：单项式乘单项式 单项式乘多项式法则： 1.单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 2.符号表示： 考点3：多项式乘多项式 多项式乘多项式法则： 1.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加； 2.符号表示：() 考点4：完全平方公式 1.完全平方和公式： 2.完全平方差公式：； 3.几何图形验证： 考点5：平方差公式 1.平方差公式：()()； 2.几何图形验证： 3.判定是否适用平方差公式进行计算条件：两个括号内的项，一项相同，一项相反。 模块3：题型总结 【题型1】单项式乘单项式 例题1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 举一反三 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【题型2】单项式乘多项式 例题2．计算 (1)； (2)． 举一反三 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．化简： (1) (2) (3) 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型3】多项式乘多项式 例题3．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 举一反三 1．若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 2．计算结果为（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4】根据多项式乘积求参数的值 例题4．若，则的值为____ ． 举一反三 1．若关于的二次三项式，则的值是_____． 2．已知，为常数，且为恒等式，则________． 3．若，则___________． 4．若，则的值为_______． 【题型5】根据完全平方公式计算 例题5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 举一反三 1．运用完全平方公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 2．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4) 3．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型6】利用完全平方公式简便计算 例题6．运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 举一反三 1．运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 2．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．用完全平方公式计算： (1)； (2)． 4．用完全平方公式进行简便计算 (1) (2) 【题型7】求完全平方式中的参数的值 例题7．如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A． B． C． D．以上选项都错 举一反三 1．已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 2．若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 4．多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________（任写一个符合条件的即可）． 【题型8】完全平方公式与几何图形综合 例题8．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（   ） A．12 B．9 C．7 D．5 举一反三 1．在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（   ） A． B． C． D． 2．有两个正方形，边长分别为，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形，的边长之和为（   ） A． B．7 C．或 D．无法确定 3．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 4．如图是一个长为、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于多少？______． (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 方法：______（只列式，不化简） 方法：______（只列式，不化简） (3)观察图，请你写出，，之间的等量关系． (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，．求． 【题型9】利用完全平方公式变式求值 例题9．已知，．求： (1)的值． (2)的值． 举一反三 1．已知，求： (1)； (2)的值 2．已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 3．【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 4．在数学中，我们可以根据等式的性质将等式变形．如我们可以将变形为或等． 【应用】 请仿照上面的方法求解下面的问题： （1）已知，，则_____． （2）若满足，求的值． 【拓展】 （3）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．如图，四边形是梯形，，连接，．若，求图中阴影部分的面积． 【题型10】判断是否适用平方差公式计算 例题10．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 举一反三 1．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列公式中，适用平方差公式化简的是（    ）． A． B． C． D． 3．在①；②；③；④；⑤；⑥中，能用平方差公式计算的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【题型11】根据平方差公式计算 例题11．计算： (1) (2) (3) (4) 举一反三 1．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)． 2．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．运用平方差公式计算： (1)； (2)． 4．运用平方差公式计算： (1)； (2) 【题型12】利用平方差公式简便计算 例题12．运用平方差公式计算： (1)； (2)． 举一反三 1．运用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 2．在学习“平方差公式”时，张老师出了一道题：计算嘉嘉发现把写成，把写成后可以连续运用平方差公式进行计算． 请根据上述思路，计算： (1)； (2)． 3．李明同学在计算时，把3写成，发现可以连续运用平方差公式计算： ． 请你借鉴李明同学的经验，计算：． 4．某同学在计算时，把4写成后，发现可以连续运用平方差公式计算． 请你借鉴这名同学的经验，计算下列各式的值： (1) (2) 【题型13】平方差公式与几何图形综合 例题13．如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 举一反三 1．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 2．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 3．【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 4．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示） (2)直接应用：利用这个等式计算： ①； ②； (3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：． 【题型14】整式化简及求值问题 例题14．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）先化简，再求值：，其中． 举一反三 1．（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中． 2．代数式求值 (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知，求的值． 3．先化简，再求值：，其中． 4．先化简，再求值：，其中，． 【题型15】整式化简后不含某项问题 例题15．已知展开的结果中，不含和项为常数）． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 举一反三 1．若的计算结果中不含与x项． (1)求m，n的值； (2)求代数式的值． 2．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）若的展开式中不含项和项，求m，n的值． 3．已知代数式化简后，不含项和常数项． (1)求，的值； (2)求的值． 4．定义，如．已知（m为常数），． (1)若A的代数式中不含x的一次项，求m的值； (2)若A中的m满足，计算的结果． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与题型总结（2024苏科版） 第八章 整式乘法 题型速览 题型速览 1 模块1：思维导图 2 模块2：考点梳理 2 模块3：题型总结 4 【题型1】单项式乘单项式 4 【题型2】单项式乘多项式 4 【题型3】多项式乘多项式 6 【题型4】根据多项式乘积求参数的值 9 【题型5】根据完全平方公式计算 12 【题型6】利用完全平方公式简便计算 14 【题型7】求完全平方式中的参数的值 17 【题型8】完全平方公式与几何图形综合 20 【题型9】利用完全平方公式变式求值 27 【题型10】判断是否适用平方差公式计算 27 【题型11】根据平方差公式计算 34 【题型12】利用平方差公式简便计算 38 【题型13】平方差公式与几何图形综合 39 【题型14】整式化简及求值问题 43 【题型15】整式化简后不含某项问题 49 模块1：思维导图 模块2：考点梳理 考点1：单项式乘单项式 单项式乘单项式法则： 单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式； 考点1：单项式乘单项式 单项式乘多项式法则： 1.单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 2.符号表示： 考点3：多项式乘多项式 多项式乘多项式法则： 1.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加； 2.符号表示：() 考点4：完全平方公式 1.完全平方和公式： 2.完全平方差公式：； 3.几何图形验证： 考点5：平方差公式 1.平方差公式：()()； 2.几何图形验证： 3.判定是否适用平方差公式进行计算条件：两个括号内的项，一项相同，一项相反。 模块3：题型总结 【题型1】单项式乘单项式 例题1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘单项式法则，分别计算系数乘积与同底数幂的乘积，保留原有单独字母即可得到结果． 【详解】解： = ． 举一反三 1．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与单项式的乘法运算，需运用单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘时底数不变，指数相加． 【详解】解： 故选：B． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘法运算，掌握单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加进行计算是解题的关键． 根据单项式的乘法法则直接求解． 【详解】． 故选：C． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方与单项式乘单项式，先利用积的乘方法则计算各部分的乘方，再单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解： 故选：C． 4．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法运算，解题的关键是掌握系数相乘、同底数幂相乘的法则． 先计算系数的乘积，再对同底数幂分别进行指数相加，最后合并结果得到最终单项式． 【详解】解： 故选：B． 【题型2】单项式乘多项式 例题2．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 举一反三 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式、整式的加减运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）先根据单项式乘多项式运算法则和积的乘方运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则求解，再合并同类项即可； （3）先根据单项式乘以多项式的计算法则求解，再合并同类项即可；． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型3】多项式乘多项式 例题3．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，解题的关键是熟练运用法则展开并合并同类项． 根据多项式乘多项式法则将展开，再合并同类项，对比选项确定答案． 【详解】解： 故选：A． 举一反三 1．若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 2．计算结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，运用多项式乘多项式的法则展开后合并同类项即可得到结果 【详解】解：， 故选：B． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法，掌握多项式乘多项式法则、乘法公式是解题关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型4】根据多项式乘积求参数的值 例题4．若，则的值为____ ． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则将展开后再与对比，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴． 举一反三 1．若关于的二次三项式，则的值是_____． 【答案】21 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则将等式左边展开，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：21． 2．已知，为常数，且为恒等式，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，由，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：， 比较系数得：且， 解得 ，； ∴， 故答案为 3．若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了计算多项式乘多项式，型多项式乘法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 展开左边多项式，与右边对比常数项． 【详解】解：左边展开：， 与右边对比， 得， 故答案为：． 4．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，求出b和c的值即可． 【详解】解：， ∵， ∴； ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型5】根据完全平方公式计算 例题5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由完全平方差公式：，直接展开即可得到答案． 【详解】解：． 举一反三 1．运用完全平方公式计算： (1)．(2)．(3)．(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）（2）（3）（4）直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 2．运用完全平方公式计算： (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式：． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式展开计算即可； （4）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 3．运用完全平方公式计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 4．运用完全平方公式计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了完全平方公式； （1）根据完全平方公进行计算即可求解； （2）根据完全平方公进行计算即可求解； （3）根据完全平方公进行计算即可求解； （4）根据完全平方公进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型6】利用完全平方公式简便计算 例题6．运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式的计算方法即可求解； （2）根据完全平方公式的计算方法即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 举一反三 1．运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3969 (2)9604 (3) (4) 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （2）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （3）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （4）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)40401 (2)806404 【分析】本题考查了完全平方公式，完全平方公式． （1）将201拆分为，根据完全平方公式计算即可； （2）将898拆分为，根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 4．用完全平方公式进行简便计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）先将原式变形为，再利用完全平方公式计算即可得； （2）先将原式变形为，再利用完全平方公式计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型7】求完全平方式中的参数的值 例题7．如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A． B． C． D．以上选项都错 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的结构特征，即可求出的值． 【详解】解：完全平方公式为，是一个完全平方式，， ， 即， ． 举一反三 1．已知代数式是一个完全平方式，则t的值是（   ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】D 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解． 【详解】解：∵代数式是完全平方式， 又∵， ∴， ∴， 当时，解得； 当时，解得； ∴t的值为或． 2．若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是熟练应用公式进行解题；根据完全平方式的结构特征，建立关于的方程，进而求解的值。 【详解】解：∵代数式是完全平方式， ∴ ①当时， ， ∴ ②当时， ， ∴ 综上，的值为或． 故答案为：C． 3．若是一个完全平方式，则k的值为___________ ． 【答案】13或 【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出的值即可． 【详解】解：是一个完全平方式， 又，， 根据完全平方公式的结构特征可得： ， 即， 当时，解得， 当时，解得， 4．多项式添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是___________（任写一个符合条件的即可）． 【答案】（或或） 【分析】本题考查完全平方式． 根据完全平方式的结构特征，即可求解． 【详解】解：， 若添加一次项，则需添加，得到， 若添加四次项，设，则需添加， ∵原多项式为， ∴， ∴， ∴， ∴添加的单项式可以是或或． 故答案为：（或或）． 【题型8】完全平方公式与几何图形综合 例题8．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为16的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，空白部分的面积为65，则的值为（   ） A．12 B．9 C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为，面积为， 由图2可得，大长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以，即， ，即，而， ， ，而，则, ． 故选：C． 举一反三 1．在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题关键是能根据图形准确列出整式，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】解：A 中不存在等量关系，故A不符合题意； 由B可得，故B不符合题意； 由C可得，故C不符合题意； 由D可得，故D符合题意； 故选：D． 2．有两个正方形，边长分别为，，现将放在的内部得图甲，将，并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形，的边长之和为（   ） A． B．7 C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，根据图甲中阴影部分的面积得，图乙中阴影部分的面积得，再通过即可求解，由面积之间的关系得出关系式是解题的关键． 【详解】解：图甲中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图乙中阴影部分的面积可以看作是从边长为的正方形面积中减去两个边长分别为、的正方形面积，即， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于________． (2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． ①________；②________． (3)观察图2你能写出三个代数式之间的等量关系________． (4)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)； (3) (4) 【分析】（1）根据阴影部分正方形的边长等于小长方形的长减去宽解答； （2）①根据正方形面积公式求解，②用总面积减去四个相等的长方形面积即可． （3）阴影部分的面积相等，结合（2）可得出答案． （4）由（3）得：，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分小正方形的边长为：； （2）解：①根据正方形的面积公式，阴影部分的面积为， ②还可以用总面积减去四个相等的长方形的面积，即表示为； （3）解：阴影部分的面积相等，结合（2）可得出； （4）解：由（3）得：， ∵，， ∴， ∴． 4．如图是一个长为、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于多少？______． (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 方法：______（只列式，不化简） 方法：______（只列式，不化简） (3)观察图，请你写出，，之间的等量关系． (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，．求． 【答案】(1) (2)， (3) (4)16 【分析】（1）根据图形填空即可； （2）根据面积的不同计算方法填空即可； （3）将三者关系列出等式即可； （4）利用（3）中等式计算即可． 【详解】（1）解：观察图b可以发现：图b中的阴影部分的正方形的边长等于， 故答案为：； （2）解：方法1：, 方法2：, 故答案为：，； （3）解：观察图b可以发现：, 即：, ∴，，之间的等量关系为：； （4）解：∵， ∴根据（2）题中的等量关系，可得 ． 【题型9】利用完全平方公式变式求值 例题9．已知，．求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1)10 (2) 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ． 举一反三 1．已知，求： (1)； (2)的值 【答案】(1)13 (2)1 【分析】（1）化为，代值计算即可； （2）化为，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了整式乘法的公式，掌握完全平方公式的形式和变形是解题的关键． （）利用完全平方公式变形计算即可； （）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴或． 3．【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 【答案】(1)①；②； (2)，． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用和整体代入的数学思想，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）①已知和，利用完全平方公式，将变形为，整体代入求值． ②已知和，利用完全平方公式，先由求出，再整体代入求． （2）已知和，利用两式相减消去、求出，再利用两式相加消去求出． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ； ②∵，， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ． 4．在数学中，我们可以根据等式的性质将等式变形．如我们可以将变形为或等． 【应用】 请仿照上面的方法求解下面的问题： （1）已知，，则_____． （2）若满足，求的值． 【拓展】 （3）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．如图，四边形是梯形，，连接，．若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）17；（2）63；（3）5 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）通过对完全平方公式变形即可求值； （2）设，，则，根据题意可得，再通过对完全平方公式变形即可求值； （3）根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：17； （2）设，，则， ∵， ∴， ∴， 即； （3）阴影部分的面积 ． 【题型10】判断是否适用平方差公式计算 例题10．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式结构为，需两个二项式乘积中，一项相同，另一项互为相反数才能使用该公式，据此判断选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； B、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； C、 ，相同项为，相反项为和，符合要求，能用平方差公式计算，不符合题意； D、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意． 举一反三 1．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 2．下列公式中，适用平方差公式化简的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的适用条件，掌握好平方差公式的结构是关键． 平方差公式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：对于A选项：，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式的形式，故A正确； 对于B选项：是完全平方公式的形式，不符合平方差公式，故B错误； 对于C选项：，是完全平方的形式，不符合平方差公式，故C错误； 对于D选项：中，与不是互为相反数，不符合平方差公式，故D错误． 故选：A． 3．在①；②；③；④；⑤；⑥中，能用平方差公式计算的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的识别，核心是掌握平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，即满足的形式． 【详解】解：根据平方差公式的结构特征， ①，是完全平方公式，不符合平方差公式的结构； ②，符合平方差公式结构； ③，是完全平方公式的变形，不符合平方差公式结构； ④，式子中无相同项和互为相反数的项，不符合平方差公式结构； ⑤，符合平方差公式结构； ⑥，符合平方差公式结构； 综上，能用平方差公式计算的有②、⑤、⑥，共3个． 故选：A． 4．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用．平方差公式的形式为，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A． 中，是相同项，与互为相反数，符合平方差公式形式，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； B． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； C． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D． ，为完全平方形式，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； 故选：A 【题型11】根据平方差公式计算 例题11．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则进行计算即可； （2）先用平方差公式进行计算，再合并同类项； （3）根据积的乘方的逆应用，先让两底数相乘，再将结果进行乘方，分别用到平方差公式和完全平方公式； （4）先用完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 举一反三 1．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式． （1）直接利用平方差公式计算即可． （2）直接利用平方差公式计算即可． （3）先提负号，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 2．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键． （1），据此求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求解即可； （4）同（1）求解即可； （5）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可； （6）把原式变形为，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 3．运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题主要考查平方差公式； （1）运用平方差公式，先化为，再计算得出结果； （2）根据平方差公式，变形后进行计算即可． 【详解】（1） 解：原式 ． （2） 解：原式 ． 4．运用平方差公式计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键； （1）逐步利用平方差公式计算即可； （2）逐步利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型12】利用平方差公式简便计算 例题12．运用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2499 (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式的运用： （1）将原式变形为，再利用平方差公式求解； （2）将原式变形为，再利用平方差公式求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 举一反三 1．运用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （2）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （3）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可； （4）将变形为、变形为后利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 2．在学习“平方差公式”时，张老师出了一道题：计算嘉嘉发现把写成，把写成后可以连续运用平方差公式进行计算． 请根据上述思路，计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9999 (2)1 【分析】（1）将原式化为，连续利用平方差公式进行计算即可； （2）将改写成后，连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．李明同学在计算时，把3写成，发现可以连续运用平方差公式计算： ． 请你借鉴李明同学的经验，计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，理解题意，熟练运用平方差公式是解题的关键；在原式前乘上，再连续运用平方差公式即可得解． 【详解】解：原式 ． 4．某同学在计算时，把4写成后，发现可以连续运用平方差公式计算． 请你借鉴这名同学的经验，计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】此题考查了运用平方差公式计算，熟练掌握平方差公式的基本结构是解题的关键． （1）把8化为，然后连续运用平方差公式计算； （2）在原式前面乘以，然后连续运用平方差公式计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型13】平方差公式与几何图形综合 例题13．如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 举一反三 1．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 2．某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如下图所示的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”，以下四种方法中能够验证“平方差公式”的有______（填图中的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可． 【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，∴ ，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③． 3．【实践操作】 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． （1）通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是_____． 【应用探究】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 【答案】（1）；（2）①90000；② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）① ； ② ． 4．如图（1）所示，边长为a的正方形中有一个边长为的小正方形，如图（2）所示是由图（1）中的阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为，请直接写出上述过程所揭示的等式：______（用a，b表示） (2)直接应用：利用这个等式计算： ①； ②； (3)拓展应用：试利用这个公式求下面代数式的结果：． 【答案】(1) (2)①9996；② (3) 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． (1)用代数式表示图1，图2中阴影部分的面积即可； (2)①写成，利用平方差公式进行计算即可； ②利用平方差公式进行计算即可； (3)配上因数，连续利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为：， 图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ； 故答案为：； （2）①解： ； ②解： ； （3）解： ． 【题型14】整式化简及求值问题 例题14．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）化简得，求值得 （2）化简得，求值得 【分析】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则、完全平方公式、单项式乘多项式的法则是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的法则和完全平方公式把原式化简，代入计算即可； （2）根据单项式乘多项式的法则和平方差公式把原式化简，代入计算即可． 【详解】解：（1） ， 当，时，原式； （2） ， 当时，原式． 举一反三 1．（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了乘法公式，整式的化简求值，正确计算是解题的关键． （1）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式的运算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可得到答案． 【详解】解：（1） ． （2） ， 当时，原式． 2．代数式求值 (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知，求的值． 【答案】(1)，5 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，完全平方公式，平方差公式，提公因式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据完全平方公式与平方差公式计算括号内的，最后进行整式的加减，即可求解； （2）根据已知条件可得，然后将代数式化简，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，原式． （2）解：∵， ∴， ∴ ， ． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】先利用平方差公式以及完全平方公式对整式进行化简，再代数求值即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 4．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式和平方差公式进行化简，再代入数值计算． 先利用完全平方公式展开，再利用平方差公式展开，然后合并同类项化简原式，最后将，代入化简后的式子求值． 【详解】解： . 当 ， 时，原式． 【题型15】整式化简后不含某项问题 例题15．已知展开的结果中，不含和项为常数）． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)，61 【分析】此题考查了整式的混合运算．熟练掌握多项式乘以多项式法则，单项式乘以多项式法则，平方差公式，完全平方公式是关键． （1）利用多项式乘以多项式法则计算，根据不含和x项进行解答即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，最后把字母m、n的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ． ∵展开的结果中，不含和x项， ∴． 解得；． （2）解： ． 将代入得， 原式． 举一反三 1．若的计算结果中不含与x项． (1)求m，n的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，； (2)1 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的运算法则进行计算，再由结果中不含与项令其系数为0，进而求解即可； （2）先将原式化简，再将代入计算即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵计算结果中不含与项， ∴，， 解得，； （2）解： ， ∵，， ∴原式． 2．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）若的展开式中不含项和项，求m，n的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解一元一次方程， 利用完全平方公式和平方差公式、单项式乘多项式展开合并即可得到化简结果，再代入已知求解即可； 利用多项式乘多项式展开合并同类项即可得到化简结果，结合已知列出方程求解即可． 【详解】解∶(1)原式 ． 当，时， 原式． (2)． ∵展开式中不含项和项， ∴，，解得． 3．已知代数式化简后，不含项和常数项． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代数式进行化简，由“化简结果不含项和常数项”可得，解二元一次方程组即可求出，的值； （2）按照整式的混合运算法则对进行展开并化简，然后将，的值代入化简结果求值即可． 【详解】（1）解： ， 化简后不含项和常数项， ， 解得：， ，； （2）解： ， 当，时， 原式． 4．定义，如．已知（m为常数），． (1)若A的代数式中不含x的一次项，求m的值； (2)若A中的m满足，计算的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中给出的定义计算出，根据代数式中不含x的一次项，计算结果即可； （2）先根据同底数幂的乘法求出m的值，再根据题中给出的定义算出A、B的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意， 的代数式中不含x的一次项， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $