第1章二次根式（单元培优卷）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

第1章 二次根式（单元培优） 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•甘谷县期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025春•广南县期中）若是最简二次根式，则a的值可能是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．0.1 3．（2026春•重庆校级月考）若代数式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（　　） A．m⩽4 B．m⩽4且m≠3 C．m＞4 D．m＜4且m≠3 4．（2025春•黄山期末）若a，b，则可以表示为（　　） A． B． C．a2b D．ab 5．（2025春•抚顺月考）化简的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7 6．（2025春•拱墅区校级期中）若，则a的取值范围是（　　） A．﹣2≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≥﹣2 7．（2026春•深圳月考）下列算式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025秋•隆昌市校级期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 9．（2025春•霸州市期中）海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（　　） A．12 B． C． D． 10．（2025春•义乌市校级月考）如图①是一张等腰直角三角形纸片，AC＝BC＝24cm，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为6cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（　　） A． B．12cm2 C．27cm2 D． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•晋江市期末）计算 　 　 ． 12．（2025•盂县开学）在根式，，，，，，中，最简二次根式有　 　 个． 13．（2025春•环翠区校级月考）计算：（）2014（2）2015＝　 　 ． 14．（2026•海门区校级模拟）已知的值为 　 　 ． 15．（2025秋•仓山区校级期末）已知的结果为正整数，则正整数n的最小值为　 　 ． 16．（2025春•滨城区校级月考）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值A+B+C+D＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．（2025春•景泰县期中）若二次根式有意义，化简． 18．（2026•石家庄开学）计算： （1）（4）﹣（34）； （2）； （3）（）2； （4）． 19．（2025春•前郭县校级月考）已知和是相等的最简二次根式． （1）求a，b的值； （2）求的值． 20．（2025春•安阳校级月考）若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． （1）求a，b的值； （3）求第三边的长． 21．（2025•安州区开学）（1）若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|． （2）设a、b、c为△ABC的三边，化简：． 22．（2025春•抚顺月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若a＞b，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： （1）试比较与的大小； （2）试比较与的大小． 23．（2025春•广安期末）如图，李明家有一块矩形空地ABCD，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为． （1）求矩形空地ABCD的周长．（结果化为最简二次根式） （2）已知李明家种植的草莓售价为7元/kg，且每平方米产草莓15kg．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 24．（2025秋•渠县校级月考）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（）2+21＝（1）2．于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若7+4，且m、n均为正整数，则m＝　 　 ，n＝　 　 ． （2）若a+b，当a、b均为整数时，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 【拓展延伸】 （3）化简． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次根式（单元培优） 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•甘谷县期末）下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形如的式子叫二次根式，根据定义逐项分析即可． 【解答】解：根据二次根式定义逐项分析判断如下： A．∵﹣2＜0， ∴不是二次根式，故此选项不符合题意； B．∵的根指数是3， ∴不是二次根式，故此选项不符合题意； C．∵5＞0， ∴是二次根式，故此选项符合题意； D．当a+1＜0即a＜﹣1时，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025春•广南县期中）若是最简二次根式，则a的值可能是（　　） A．﹣2 B．2 C． D．0.1 【答案】B 【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．是最简二次根式，符合题意； C．，不是最简二次根式，不符合题意； D．，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 3．（2026春•重庆校级月考）若代数式在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（　　） A．m⩽4 B．m⩽4且m≠3 C．m＞4 D．m＜4且m≠3 【答案】B 【分析】根据二次根式和分式的意义即可得到结果． 【解答】解：由题意可得：， 解之可得：m≤4且m≠3， 故选：B． 4．（2025春•黄山期末）若a，b，则可以表示为（　　） A． B． C．a2b D．ab 【答案】C 【分析】首先化简二次根式，进而得出答案． 【解答】解：∵a，b， ∴可以表示为：3（）2a2b． 故选：C． 5．（2025春•抚顺月考）化简的结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7 【答案】A 【分析】先估算π的大小，再判断3﹣π，π﹣4的正负，然后根据二次根式性质即可得解． 【解答】解：∵3＜π＜4， ∴3﹣π＜0，π﹣4＜0， ∴． 故选：A． 6．（2025春•拱墅区校级期中）若，则a的取值范围是（　　） A．﹣2≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 D．a≥﹣2 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答． 【解答】解：根据二次根式的性质可知， ∴a≤0，a+2≥0， ∴﹣2≤a≤0． 故选：A． 7．（2026春•深圳月考）下列算式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：不能合并，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； 不能合并，故选项C错误，不符合题意； 34，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 8．（2025秋•隆昌市校级期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【答案】A 【分析】先观察数轴得a＜0＜b，|a|＜|b|，则b﹣a＞0，a+b＞0，再化简，即可作答． 【解答】解：观察数轴得a＜0＜b，|a|＜|b|， 则b﹣a＞0，a+b＞0， ∴原式＝|b|+|a+b|﹣|b﹣a| ＝b+a+b﹣（b﹣a） ＝b+a+b﹣b+a ＝2a+b， 故选：A． 9．（2025春•霸州市期中）海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目所给公式代入计算即可． 【解答】解：根据题目所给公式可得：P＝12，， 故选：D． 10．（2025春•义乌市校级月考）如图①是一张等腰直角三角形纸片，AC＝BC＝24cm，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为6cm的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（　　） A． B．12cm2 C．27cm2 D． 【答案】C 【分析】如图（见解析），先求出能裁剪的纸条的条数为3条，再证出Rt△BPQ是等腰直角三角形，且，从而可得CP的长，然后求出长方形纸条的总长度，从而可得FL的长，最后求出EF的长，利用正方形的面积公式计算即可得． 【解答】解：∵如图，，∠C＝90°， ∴∠A＝∠B＝45°， 由条件可知能裁剪的纸条的条数为（条），，PQ⊥BC， ∴Rt△BPQ是等腰直角三角形，且， ∴， 同理可得：另两条纸条的长分别为，， ∴长方形纸条的总长度为， 如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边（纸条不重叠）， ∴，， ∴， ∴正方形美术作品的面积为， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•晋江市期末）计算 　8　 ． 【答案】8 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【解答】解：3+5＝8． 故答案为：8． 12．（2025•盂县开学）在根式，，，，，，中，最简二次根式有　3　 个． 【答案】3． 【分析】（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 【解答】解：在根式，，，，，，中， ，，为最简二次根式，有3个． 故答案为：3． 13．（2025春•环翠区校级月考）计算：（）2014（2）2015＝　2　 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式的混合计算解答即可． 【解答】解：（）2014（2）2015 ， 故答案为：2． 14．（2026•海门区校级模拟）已知的值为 　3　 ． 【答案】3 【分析】先判断出b的符号，再判断出b﹣a﹣4和a﹣b+1的符号，从而去掉根号，得出答案． 【解答】解：∵0，∴a、b异号， ∵a＞0，∴b＜0， ∴b﹣a﹣4＜0，a﹣b+1＞0， ∴原式＝a﹣b+4﹣（a﹣b+1） ＝a﹣b+4﹣a+b﹣1 ＝3， 故答案为3． 15．（2025秋•仓山区校级期末）已知的结果为正整数，则正整数n的最小值为　3　 ． 【答案】3． 【分析】先利用二次根式的性质化简，根据化简结果为正整数的条件，确定3n需为完全平方数，进而求出正整数n的最小值． 【解答】解：， 由题意可得：∴是正整数， ∴3n是完全平方数， ∵n为正整数， ∴n的最小值为3， 故答案为：3． 16．（2025春•滨城区校级月考）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值A+B+C+D＝　33　 ． 【答案】33． 【分析】根据题意列式计算出A，B，C，D，然后相加并计算即可． 【解答】解：由题意得A＝5（5）＝2， B＝5（10）＝1， C＝5（5）＝2， D＝5（10）， 那么A+B+C+D＝21+233， 故答案为：33． 三．解答题（共8小题） 17．（2025春•景泰县期中）若二次根式有意义，化简． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得： x≤3，从而判断出x﹣4＜0，7﹣x＞0，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可． 【解答】解：根据题意得﹣2x+6≥0，解得x≤3， ∴x﹣4＜0，7﹣x＞0， ∴ ＝4﹣x+7﹣x ＝11﹣2x． 18．（2026•石家庄开学）计算： （1）（4）﹣（34）； （2）； （3）（）2； （4）． 【分析】（1）先化简，再进行计算； （2）先计算乘除法，再进行计算； （3）先进行分母有理化，再进行计算； （4）先化简，再进行计算． 【解答】解：（1）（4）﹣（34） ； （2） ＝6+4 ＝10； （3）（）2 ； （4） ． 19．（2025春•前郭县校级月考）已知和是相等的最简二次根式． （1）求a，b的值； （2）求的值． 【分析】（1）根据题意，它们的被开方数相同，列出方程组求出a，b的值； （2）根据算术平方根的概念解答即可． 【解答】解：（1）∵和是相等的最简二次根式， ∴． 解得，， ∴a的值是0，b的值是2； （2）2． 20．（2025春•安阳校级月考）若a，b是一直角三角形的两边长，且满足等式． （1）求a，b的值； （3）求第三边的长． 【分析】（1）根据算术平方根的性质可得2a﹣4≥0，2﹣a≥0，从而得到a＝2，即可求解； （2）分两种情况：若第三边为斜边，若b＝5为斜边，结合勾股定理，即可求解． 【解答】解：（1）∵， ∴2a﹣4≥0，2﹣a≥0， ∴a＝2， ∴b﹣5＝0， ∴b＝5； （2）若第三边为斜边，第三边的长为； 若b＝5为斜边，第三边的长为； 综上所述，第三边的长为或． 21．（2025•安州区开学）（1）若x、y都是实数，且满足y1，试化简代数式：|x﹣1|． （2）设a、b、c为△ABC的三边，化简：． 【分析】（1）根据二次根式的被开方数非负，可得出x的值，进而求出y的取值范围，便可解决问题． （2）根据三角形三边的关系便可解决问题． 【解答】解：（1）因为x、y都是实数，且满足y1， 则， 所以x， 则y＞1． 所以|x﹣1| ＝|x﹣1|﹣|x﹣1| ＝﹣1． （2）因为a、b、c为△ABC的三边， 所以a+b+c＞0，b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c， 所以 ＝|a+b+c|+|a﹣（b+c）|+|b﹣（a+c）|﹣|c﹣（a+b）| ＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣a﹣b ＝4c． 22．（2025春•抚顺月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若a＞b，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： （1）试比较与的大小； （2）试比较与的大小． 【分析】（1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【解答】解：（1）， ，， ∵45＜75， ∴， ∴； （2），， ，， ∵20＜32， ∴， ∴， ∴． 23．（2025春•广安期末）如图，李明家有一块矩形空地ABCD，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为． （1）求矩形空地ABCD的周长．（结果化为最简二次根式） （2）已知李明家种植的草莓售价为7元/kg，且每平方米产草莓15kg．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，长方形空地ABCD的周长为： ； （2）由题意，得， ， ∴， ∴36×15×7＝3780（元）． 答：销售收入为3780元． 24．（2025秋•渠县校级月考）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（）2+21＝（1）2．于是善于思考的小明找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若7+4，且m、n均为正整数，则m＝　2　 ，n＝　1　 ． （2）若a+b，当a、b均为整数时，则a＝　12　 ，b＝　﹣4　 ． 【拓展延伸】 （3）化简． 【分析】（1）由7+4m2+3n2+2mn，得，可解得答案； （2）由a+b12﹣4，可得答案； （3）把被开方数配成完全平方式可得答案． 【解答】解：（1）∵7+4m2+3n2+2mn， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：2，1； （2）∵a+b12﹣4， ∴a＝12，b＝﹣4， 故答案为：12，﹣4； （3）. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $