运用圆的周长公式解决实际问题（教学设计）-2025-2026学年数学六年级上册冀教版

课题：运用圆的周长公式解决实际问题 教学目标： （1）数学的眼光：能从生活情境（如圆形花坛、操场跑道）中识别与圆周长相关的问题，初步感知圆周长公式在现实生活中的应用价值，培养用数学眼光观察现实世界的意识。 （2）数学的思维：能运用圆周长公式（/或/），通过公式变形（如/、/）分析已知周长求直径或半径的逻辑关系，在解决组合图形（如跑道）周长问题时，能运用模型思想建立数学模型并进行推理计算。 （3）数学的语言：能用数学语言（如公式、方程、算式）清晰表述解决圆周长实际问题的思路，说明解题步骤（如 “已知周长求直径，可利用/列式计算”），并通过语言描述或列式计算呈现解题过程，提升数学表达能力。 教学重难点： （1）教学重点：在真实情境中，运用圆的周长公式（/或/）建立数学模型，解决与周长相关的实际问题（核心素养：数学建模、应用意识）。 （2）教学难点：在组合图形或复杂情境（如跑道、门形结构等）中，分析问题要素，确定所需数据及计算方法，选择合适公式解决实际问题（核心素养：逻辑推理、直观想象）。 教学准备： （1）圆周长公式卡片（标注 C=πd、C=2πr）。 （2）实际问题图形实物 / 图片（含圆形花坛、跑道组合图、木桶铁箍、餐厅门示意图）。 （3）数学方程式书写模板（已知周长求直径 / 半径的方程解题步骤模板）。 教学过程 一、新课导入 新课导入（师：同学们，上节课我们推导了圆的周长公式，还记得它有哪些形式吗？） （生：记得！圆的周长 C等于 π 乘直径 d，也就是C=πd；也等于 2π 乘半径 r，即C=2πr。） （师：非常好！大家不仅记得公式，还能准确说出每个字母代表的意义。那今天我们就来当一回 “生活中的数学家”—— 用这些公式解决真实场景里的问题。比如，学校操场的环形跑道怎么算长度？小区里圆形花坛要围篱笆，需要多少米材料？家里的圆形桌面想加个装饰边框，边框长度怎么求？） （师：这些问题都需要我们灵活运用周长公式。今天我们就聚焦 “运用圆的周长公式解决实际问题”，看看如何把公式变成解决问题的 “金钥匙”。） 二、新知探究 （一）已知周长求直径或半径 已知周长求直径或半径（师：首先看教材第 45 页的例题 4：学校圆形花坛的周长是 17.27 米，求它的直径和半径。请大家先读题，圈出已知条件和问题。） （生：已知周长 C=17.27 米，求直径 d和半径 r。） （师：怎么求直径呢？我们学过C=πd，那能不能把公式 “变一变”，让 d 单独在等号左边？） （生：可以！两边同时除以 π，得到d=C÷π。） （师：没错！那如果用方程法呢？设直径为 χ 米，根据C=πd，方程怎么列？） （生：3.14χ=17.27，然后解出χ=17.27÷3.14。） （师：现在有两种方法：算术法直接用除法，方程法用等式变形。请大家先独立用算术法计算，再用方程法验证，注意计算时小数点别出错哦！） （学生独立计算，教师巡视，重点关注：①是否把 π 取3.14代入；②除法计算时是否正确处理小数点位置。） （师：时间到！谁愿意分享算术法的过程？） （生 1：我先估算17.27÷3.14，3.14×5=15.7，17.27 比 15.7 多 1.57，而 1.57 是 3.14 的一半，所以 5+0.5=5.5 米，直径是 5.5 米。） （师：这个估算思路很棒！先找一个接近的整数倍数，再补全剩下的部分，像 “拆分法” 一样思考除法。那精确计算时，17.27÷3.14怎么算？） （生 1：把被除数和除数同时扩大 100 倍，变成1727÷314，314×5=1570，1727-1570=157，157 是 314 的一半，所以 5+0.5=5.5，结果是 5.5 米。） （师：对！把小数除法转化为整数除法，再用 “拆分法” 算更清晰。那方程法呢？） （生 2：设直径为 χ 米，3.14χ=17.27，两边同时除以 3.14，χ=17.27÷3.14=5.5 米。） （师：两种方法结果一致，说明直径是 5.5 米。那半径怎么求？） （生 3：半径是直径的一半，5.5÷2=2.75 米。） （师：或者直接用周长公式C=2πr变形，r=C÷π÷2，计算17.27÷3.14÷2，结果也是 2.75 米。大家要记住：已知周长求半径，既可以先求直径再除以 2，也可以直接用周长除以 π 再除以 2。） （二）利用周长公式解决实际问题 利用周长公式解决实际问题（师：接下来看教材第 45 页的例题 5——标准 400 米跑道示意图。请大家观察：跑道由哪几部分组成？） （生：跑道两端是半圆，中间是长方形！） （师：如果把两个半圆 “拼” 在一起，会变成什么图形？） （生：变成一个完整的圆！） （师：太棒了！所以跑道一圈的长度 =长方形两条长边的长度+圆的周长。现在我们需要哪些数据？） （生：长方形的长边长度和圆的半径！） （师：没错！图中给出长方形的长是 85.39 米，半圆的半径是 36.5 米。请大家先算圆的周长，再算长方形两条长边的长度，最后相加。） （教师引导学生分步计算：①圆的周长：C=2πr=2×3.14×36.5。先算2×36.5=73，再算73×3.14。这里可以估算一下：70×3.14=219.8，3×3.14=9.42，所以219.8+9.42=229.22 米。） （②长方形两条长边：85.39×2=170.78 米。） （③跑道总长度：229.22+170.78=400 米。） （师：为什么总长度正好是 400 米？这和国际标准田径跑道的设计一致 —— 这样的跑道周长就是 400 米。大家可以想象一下：当你在操场跑步时，跑一圈正好是 400 米！） （生：原来标准跑道是这样设计的！） （师：解决组合图形问题时，关键是把不规则图形拆分成我们熟悉的基本图形（长方形、圆），再分别计算各部分长度，最后相加。这种 “拆分法” 在生活中很常用，比如家里的圆形餐桌配长方形桌布，也需要算周长和边长。） 三、巩固练习 1. 圆形木桶铁箍问题 圆形木桶铁箍问题（师：学校木工组要给圆形木桶加铁箍，3 根铁箍的总长度是 282.6 厘米，求桶底面的直径。请大家思考：每根铁箍的长度和木桶底面有什么关系？） （生：每根铁箍绕木桶一圈，长度就是底面的周长！） （师：那 3 根铁箍的总长度就是3 个周长，所以先求一个周长：282.6÷3=94.2 厘米。再根据C=πd，直径 d=94.2÷3.14。） （预设学生计算过程：94.2÷3.14，把除数3.14扩大 100 倍变成314，被除数也扩大 100 倍变成9420，314×30=9420，所以9420÷314=30，直径是 30 厘米。） （师：这里用了 “先求单量再求总量” 的思路，和我们之前学的 “归一问题” 类似。大家有没有发现，如果铁箍数量变多，总长度也会增加，因为周长不变的话，数量和总长度成正比。） 2. 餐厅门的木条长度问题 餐厅门的木条长度问题（师：聪聪家的门是 “长方形 + 半圆” 组合（展示示意图：长方形长 200 厘米，宽 90 厘米，半圆直径 = 长方形宽）。请大家解决两个问题：①半圆的高度（即半径）是多少？②门框一共用了多少米木条？） （生：半圆的高度就是半径，直径是 90 厘米，所以半径 = 90÷2=45 厘米。） （师：没错！那门框的木条长度包括哪些部分？） （生：长方形的两条长边、一条宽边，还有半圆的弧长！） （师：为什么不是长方形的两条宽边？因为门的下半部分是长方形，上半部分是半圆，所以门框只需要围长方形的三条边（两个长边和一个宽边），再加上半圆的弧长。） （学生分组计算：①长方形部分：200×2+90=490 厘米；②半圆的弧长：C 半圆 =πd÷2=3.14×90÷2=141.3 厘米；③总长度：490+141.3=631.3 厘米 = 6.313 米≈6.3 米。） （师：注意单位转换！题目问 “多少米”，结果要换算成米并保留一位小数。大家在实际问题中一定要记得 “统一单位” 哦！） 四、课堂小结 课堂小结（师：今天我们学习了 “圆的周长公式应用”，谁能用 “思维导图” 的形式，把这节课的知识点梳理一下？） （引导学生从三个方面总结：①已知周长求直径 / 半径：d=C÷π，r=C÷π÷2；②组合图形：拆分法→基本图形（长方形、圆）；③计算技巧：估算→精确计算→单位统一。） （师：最后留一个 “生活小任务”：回家后测量家里一个圆形物体的直径，算出周长，再看看用这个周长能解决什么问题（比如做一个装饰边框需要多长材料）。下节课我们分享成果！） 布置作业： （1）一个圆形光盘的周长是 31.4 厘米，它的直径是多少厘米？（请用两种方法解答：①直接用公式计算；②列方程求解） （2）学校有一个圆形草坪，草坪外有一圈环形小路，小路的内圆直径是 10 米，外圆半径比内圆半径多 2 米。沿小路外侧走一圈的长度是多少米？（提示：先求外圆直径或半径，再求外圆周长） 学科网（北京）股份有限公司 $