20.2勾股定理的逆定理及其应用【6大考点+6大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦勾股定理的逆定理及其应用核心知识点，先梳理互逆命题与逆定理的概念，明确勾股定理（性质）与逆定理（判定）的联系与区别，再通过“确定最长边、计算平方和、比较”的应用步骤搭建学习支架，形成从概念到应用的完整知识链。 该资料特色在于题型设计分层递进，从基础的三边判断（如例1）到网格问题（例2）、实际应用（如例4海监局轮船航行问题），培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理的能力。课中助力教师系统授课，课后通过高分演练的选择、填空、解答题帮助学生查漏补缺，强化模型意识与应用能力。

20.2勾股定理的逆定理及其应用 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：互逆命题和互逆定理 ①如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一 个叫做它的逆命题. ②如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，则称这个定理为逆定理. ③一个命题一定有逆命题，一个定理不一定有逆定理. 知识点二：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 几何语言：如图,△ABC中，a2+b2=c2，△ABC为直角三角形，且∠C=90°。 知识点三：勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别 联系：(1)两者都与三角形的三边有关，且都包合等式a2+b2=c2 (2)两者都与直角三角形有关; (3)两者互为逆定理。 区别：勾股定理是以“一个直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”的数量关系为条件，进而得到这个三角形是直角三角形。两者的条件和结论相反，前者是直角三角形的性质，而后者是直角三角形的判定。 考点四：勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长,且满两条较小边的 平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。具体方法步骤如下： (1)先确定最长边，算出最长边的平方; (2)计算另两边的平方和; (3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等则此三角形为直角三角形。 【题型探究】 题型一：判断三边是否构成直角三角形 【例1】．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·月考）以下列各组数为三边长的三角形中不是直角三角形的是（    ） A．4，5，6 B．8，15，17 C．24，7，25 D．15，20，25 2．（25-26八年级上·广西桂林·期末）以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，为边上的高，，则图中的直角三角形共有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型二：在网格中判断直角三角形 【例2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【举一反三】 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 2．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 题型三：利用勾股定理的逆定理求解 【例3】．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【举一反三1】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，重叠部分（阴影部分）的面积为（    ） A．36 B．24 C． D． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 题型四：勾股定理的逆定理的实际应用 【例4】．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． (1)求点之间的距离； (2)求四边形的面积． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 2．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）冬季第一场瑞雪沿东西方向的省道由向平稳移动，为沿途村庄带来有利于农作物越冬的积雪．已知点为一村庄，村庄与省道上的两点、的距离分别为，，且．经观测，降雪中心周围以内都会被雪覆盖． (1)的度数为_____； (2)村庄距省道的最短距离为_____； (3)如图2，该降雪中心的移动速度为，当降雪中心移动到点处时，村庄开始降雪；当降雪中心移动到点处时，村庄刚好结束降雪（即）．求此次村庄持续降雪多长时间． 题型五：勾股定理的逆定理的拓展问题 【例5】．（23-24八年级下·福建莆田·月考）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【举一反三】 1．（21-22八年级下·河南省直辖县级单位·期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 3．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    题型六：勾股定理逆应用的综合问题 【例6】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，为边的中点，为所在平面内一点，连接并延长至点，使，连接和． (1)如图1，当点在内部时． ①求证：； ②若，则与的位置关系为__________． (2)如图2，当点在外部时，的延长线交于点，且，． ①若，用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②在①的条件下，若和的面积和为5.5，请求出的面积． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 2．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，直线是的垂直平分线，分别交，于、两点． (1)求线段的长度： (2)如图，连接，作的平分线交于点，求证：． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（    ） A．勾股定理的逆定理 B．勾股定理 C．直角三角形两锐角互余 D．以上都不对 2．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，若，，，则边上的中线的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 9．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿____方向航行． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为____________． 11．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________． 12．（25-26八年级上·江苏·月考）如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为__________． 变式：若，则__________， __________． 三、解答题 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，． (1)小路的长为 m． (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 14．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，D是等边内一点，以为边作等边，连接，已知，，．求的度数． 15．（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售水机，且均位于地下管道的同侧，售卖机之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，且米，假设所有管道的材质相同． (1)求之间的距离； (2)珍珍认为：若从管道上的任意一处向售卖机引出分叉管道，在这些分叉管道中是最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，． (1)求的长． (2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长． 17．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长． 、 18．（25-26八年级上·河北承德·期末）在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2勾股定理的逆定理及其应用 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：互逆命题和互逆定理 ①如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一 个叫做它的逆命题. ②如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，则称这个定理为逆定理. ③一个命题一定有逆命题，一个定理不一定有逆定理. 知识点二：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 几何语言：如图,△ABC中，a2+b2=c2，△ABC为直角三角形，且∠C=90°。 知识点三：勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别 联系：(1)两者都与三角形的三边有关，且都包合等式a2+b2=c2 (2)两者都与直角三角形有关; (3)两者互为逆定理。 区别：勾股定理是以“一个直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”的数量关系为条件，进而得到这个三角形是直角三角形。两者的条件和结论相反，前者是直角三角形的性质，而后者是直角三角形的判定。 考点四：勾股定理的逆定理的应用 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长,且满两条较小边的 平方和等于最长边的平方，才可判断此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角。具体方法步骤如下： (1)先确定最长边，算出最长边的平方; (2)计算另两边的平方和; (3)比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等则此三角形为直角三角形。 【题型探究】 题型一：判断三边是否构成直角三角形 【例1】．（24-25八年级下·广东汕尾·月考）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，，2 D．2，2， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】A. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，， ∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，， ∴，不能构成直角三角形，故本选项符合题意． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·全国·月考）以下列各组数为三边长的三角形中不是直角三角形的是（    ） A．4，5，6 B．8，15，17 C．24，7，25 D．15，20，25 【答案】A 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形是直角三角形；否则不是. 逐项验证即可． 【详解】解：A、 + ， ， 以为边的三角形不是直角三角形，故符合题意； B、 + ， ， + = ， 是直角三角形，故不符合题意； C、 + ， ，∴ + = ， 是直角三角形，故不符合题意； D、 + ， ， + = ，是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，解决本题的关键是熟练掌握该定理． 2．（25-26八年级上·广西桂林·期末）以下列各组长度的线段，能组成直角三角形的是（   ） A．5，11，12 B．3，4，5 C．6，8，11 D．7，23，24 【答案】B 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，为边上的高，，则图中的直角三角形共有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据，得到，继而得到，解答即可． 本题考查了三角形的高，勾股定理的逆定理，熟练掌握逆定理是解题的关键． 【详解】解：根据，得到，继而得到，故是直角三角形； 又为边上的高， 故都是直角三角形； 故选：D． 题型二：在网格中判断直角三角形 【例2】．（25-26八年级下·全国·课后作业）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，，，三点均在正方形格点（网格线的交点）上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．点到直线的距离是2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积计算及等面积法，掌握网格中用勾股定理求边长，用逆定理判断直角，用等面积法求高是解题的关键． 先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故A，B选项的结论正确，不符合题意； ，故C选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 故选：C． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ，，， 在中，，，，是直角三角形． 故选：A． 2．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在网格线的交点上，下列说法错误的是（　　） A． B． C．只有两条边长为无理数 D．边上的高为 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积公式． 根据勾股定理可判断A、C，进而根据勾股定理逆定理可判断B，最后根据三角形面积公式判断D即可． 【详解】解：，A说法正确； ，，则三边长均为无理数，C说法错误； 则，即，B说法正确； 设边上的高为，则，解得，D说法正确； 故选：C． 题型三：利用勾股定理的逆定理求解 【例3】．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 【举一反三1】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，为边上一点．把沿折叠，使落在直线上，重叠部分（阴影部分）的面积为（    ） A．36 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，掌握折叠前后对应边相等，利用勾股定理列方程求线段长度是解题的关键． 先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设，在中用勾股定理列方程求出，最后计算阴影部分的面积． 【详解】解：在中，，，， ， 为直角三角形，且． 设． 由折叠的性质，得，， ． ∵在中，根据勾股定理，得， ， 解得， ∴重叠部分（阴影部分）的面积为． 故选：A． 2．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，，点是上一点，，连接，若，则的面积为（    ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】本题勾股定理的逆定理，涉及直角三角形面积等知识，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形是解决问题的关键． 先由勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，再由直角三角形面积公式代值计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ，， ， 在中，，，，则，，， ， 即是直角三角形，且， 则， 在中，，，，则的面积为， 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 题型四：勾股定理的逆定理的实际应用 【例4】．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． (1)求点之间的距离； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理的运用进行解答即可． （1）连接，根据勾股定理的运用，解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，再根据四边形的面积为：，进行解答，即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∴，的距离为． （2）解：由（1）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为：． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行． (1)请问“远方”号沿哪个方向航行？ (2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？ 【答案】(1)“远方”号沿东南方向航行 (2)25海里 【分析】（1）根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：由题知，海里，海里，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 即“远方”号沿东南方向航行． （2）解：根据题意得：海里，海里， 在中，， ∴海里， 即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里． 2．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】(1)15米 (2)22800元 【分析】（1）利用勾股定理直接计算求解即可． （2）根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式， 面积乘以单价计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为15米． （2）解：∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为：． 购买运动型塑胶地板的总费用为（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）冬季第一场瑞雪沿东西方向的省道由向平稳移动，为沿途村庄带来有利于农作物越冬的积雪．已知点为一村庄，村庄与省道上的两点、的距离分别为，，且．经观测，降雪中心周围以内都会被雪覆盖． (1)的度数为_____； (2)村庄距省道的最短距离为_____； (3)如图2，该降雪中心的移动速度为，当降雪中心移动到点处时，村庄开始降雪；当降雪中心移动到点处时，村庄刚好结束降雪（即）．求此次村庄持续降雪多长时间． 【答案】(1) (2)24 (3)小时 【详解】（1）解： 在中，，，， ，． ． 是直角三角形，且． 故答案为：． （2）解：设点到的距离为， 是直角三角形， ，即，解得．故答案为：． （3）解：过点作于点，则， 在中，，， 由勾股定理得．同理，， ． 降雪中心移动速度为， 持续时间．答：此次村庄持续降雪小时． 题型五：勾股定理的逆定理的拓展问题 【例5】．（23-24八年级下·福建莆田·月考）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，设边长为，则， 根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；对于②直角三角形，三边满足关系式： ，根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；故答案为：； （2）由题意可知：，，，根据“方倍三角形”定义可知： ，，为等边三角形，， ，， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【举一反三】 1．（21-22八年级下·河南省直辖县级单位·期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知在中，，，． (1)请你用“海伦—秦九韶公式”求的面积． (2)除了利用“海伦—秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法． 【答案】(1)15 (2)有，见解析 【分析】（1）直接用海伦—秦九韶公式计算面积即可； (2)计算得到AC2+BC2=AB2，即△ABC为直角三角形，直接两直角边的积除以2求面积， 【详解】（1）∵，，    ∴ ∴ （2）证明：∵，， ∴，， ∴ ∴ 所以∆ABC为直角三角形； ∴ 【点睛】本题考查了代数式求值，勾股定理逆定理，准确计算是解题关键． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 3．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 题型六：勾股定理逆应用的综合问题 【例6】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，为边的中点，为所在平面内一点，连接并延长至点，使，连接和． (1)如图1，当点在内部时． ①求证：； ②若，则与的位置关系为__________． (2)如图2，当点在外部时，的延长线交于点，且，． ①若，用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②在①的条件下，若和的面积和为5.5，请求出的面积． 【答案】(1)①见详解；② (2)①；②1.5 【分析】（1）①利用证明即可． ②由全等三角形的性质得出，进而可得出，再结合即可得出． （2）①先证明，得出，进而可得出，利用勾股定理的逆定理得出，由平行线的性质得出，再得出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出． ②设，由全等三角形的性质得出，由和的面积和为5.5为等量关系列出关于x的方程并求解得出，最后根据全等三角形的性质以及面积的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：①证明∶．D是的中点， ∴， ∵， ∴． ②， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：①结论∶， 理由∶∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ②设， ∵， ∴， ∵和的面积和为5.5， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积的面积， 的面积的面积． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 【举一反三】 1．（25-26八年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 2．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，直线是的垂直平分线，分别交，于、两点． (1)求线段的长度： (2)如图，连接，作的平分线交于点，求证：． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵直线是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴线段的长为； （2）证明：如图，作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理． (1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理 (2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积； (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，即， ， ， ，即； （2）解：，，， 有勾股定理得，， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26八年级下·河南郑州·开学考试）三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（    ） A．勾股定理的逆定理 B．勾股定理 C．直角三角形两锐角互余 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理，三边长分别为、、的三角形不是直角三角形， ∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理． 2．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，先利用非负数的性质求出的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状及斜边． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且a为斜边长， 故选C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，若，，，则边上的中线的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出的值即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 5．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 【详解】解：连接， ，，， ∴， ， ，， ∴，， ，则为直角三角形，且， 这块地的面积为． 故选：B． 6．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股逆定理，解题的关键是求出的三边长，证明是直角三角形． 设长为，长为，长为．根据的周长为，列出方程求出的值，通过勾股逆定理是直角三角形，经过秒时，求出，，根据三角形面积公式即求出的面积． 【详解】解：设长为，长为，长为． 的周长为，即， ， 解得， ，，， ， 是直角三角形，且． 经过，，， ． 故选：B． 7．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，等腰三角形的定义，利用勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，得到，即得，再分和两种情况解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 当点是的中点时，如图， ∵， ∴，此时是以为腰的等腰三角形； 当时，是以为腰的等腰三角形； 综上，的长为或， 故选：． 二、填空题 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【答案】符合 【分析】先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准． 9．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿____方向航行． 【答案】西北 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为____________． 【答案】114 【详解】解：如图，连接．在中，， ．，，， ． 为直角三角形，且．． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式。解题关键是通过连接对角线将不规则四边形分割为两个直角三角形，从而用勾股定理及其逆定理求解面积． 11．（25-26八年级上·甘肃天水·月考）如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理及逆定理，轴对称的性质，掌握其性质是解决此题关键，根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可知，两点关于射线对称， ∴， ∵为定值， 要使周长最小，即最小， ∴由两点之间线段最短知，与射线的交点，即为使周长最小的点，如图所示， ∵ ，且， ∴ ， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为： ． 12．（25-26八年级上·江苏·月考）如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为__________． 变式：若，则__________， __________． 【答案】 7 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，运用勾股定理以及角平分线的性质求解． 过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线性质定理得到，由面积法得到，即可求解，即可求解的面积；过点作于点，由面积法得到，则，即可求解，然后通过勾股定理逆定理证明，则，可得为等腰直角三角形，，通过等面积得到，，最后再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵的面积为4， ∴ ∴的面积为； 过点作于点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7，，． 三、解答题 13．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，． (1)小路的长为 m． (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 【答案】(1)25 (2)当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s 【分析】（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出长度，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解： 在中， ， 小路的长为. 故答案为：25. （2）解：如图所示，过点作于点． 当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与淇淇的距离最近． ，，，， ， 是直角三角形，， 则， ， ， ． ． 故当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等面积法，解题的关键是正确掌握相关性质内容． 14．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，D是等边内一点，以为边作等边，连接，已知，，．求的度数． 【答案】． 【分析】利用证明，推出，，利用勾股定理的逆定理求得，据此求解即可． 【详解】解：∵等边和等边， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 15．（25-26七年级上·山东东营·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售水机，且均位于地下管道的同侧，售卖机之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，且米，假设所有管道的材质相同． (1)求之间的距离； (2)珍珍认为：若从管道上的任意一处向售卖机引出分叉管道，在这些分叉管道中是最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，． (1)求的长． (2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长． 【答案】(1) (2)的长为或2． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，三角形面积与线段比的关系，分类讨论思想，掌握勾股定理及其逆定理，以及分类讨论的方法是解题的关键． （1）先求出的长度，由得到的长度，再用勾股定理逆定理判断为直角三角形，得到，最后在中用勾股定理求的长． （2）分点在线段上和延长线上两种情况，由面积比得到与的比例，求出的长度，再通过角度关系证明，进而得到的长． 【详解】（1）解：， ． ，， ， 是直角三角形，且， ． 在中，． （2）解：分两种情况讨论： ①当点在线段上时， ， ， ． ， ． ， ． ， ， ， ． ，， ； ②当点在线段的延长线上时，如图． ， ， ． ， ． 同理可得， ． 综上所述，的长为或2． 17．（2025九年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先结合垂直平分线的性质，得，再结合，，运用勾股逆定理得是直角三角形，则根据直角三角形的两个锐角互余，得是直角三角形，即可作答． （2）先理解题意，运用倍长中线法证明，根据邻余四边形的定义，得出，根据勾股定理，得，又因为，证明，即可作答． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵垂直平分交于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形； （2）解：延长至点，使得，连接 ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵四边形是邻余四边形，且和均为钝角， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股逆定理，新定义，垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18．（25-26八年级上·河北承德·期末）在中，，点D，E分别是边上的点，连接． (1)若点E为的中点，，则是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图1，连接，若平分，求的长． (3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，求的长． 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ． ，且， ， 是直角三角形． （2）解：平分， ． 设，则， 在中，， ， ， 即． （3）解：①． 理由如下： 由题意知， ． 是的垂直平分线， ， ． ， ， ． ． ②如图，连接． 设，则． ， ． 由勾股定理，得， 即， ， 的长为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $