20.1勾股定理及其应用【12大考点+12大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

20.1勾股定理 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01：勾股定理 　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 　技巧归纳： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点二：勾股定理的证明 一般是通过剪拼，借助面积进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。 图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角三角形斜边c为边长的小正方形。则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为ab·4+c2,所以(a+b)2=ab·4+c2，整理得a2+b2=c2 在图2的另一种拼法中，以c为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以ab·4+(b-a)2=c2，整理得a2+b2=c2. 知识点03：勾股定理的应用 (1)勾股定理的应用条件 勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。 (2)勾股定理的实际应用 勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。 勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。 (3)利用勾股定理作长为 (n为大于1的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。由此，我们可借助勾股定理，作直角边为1的等腰直角三角形，它的斜边长等于；作直角边为，1的直角三角形，其斜边长为。类似地，可以作出长为 (n为大于1的整数)的线段。 【题型探究】 题型一：用勾股定理解三角形 【例1】．（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）若三角形三边长为5，12，x，且该三角形为直角三角形，则x的值为（    ） A．13 B． C．13或 D．无法确定 2．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长是（  ） A．4 B． C． D．8 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，则BC的长是（   ） A．13 B． C．14 D． 题型二：勾股数问题 【例2】．（25-26八年级上·河南周口·月考）下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．3，4，7 B．5，12，13 C．，， D．3，，5 【举一反三1】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．8，15，16 C．7，24，25 D．4，5，6 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．9，12，13 题型三：已知两点坐标求距离 【例3】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点 B 的横坐标介于  （      ） A．2 和3 之间 B．3和4 之间 C．4 和5 之间 D．5 和6 之间 3．（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到原点的距离为，那么点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型四：以直角三角形三边为边长的图形面积 【例4】．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A．10 B．14 C．28 D．2 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，中，分别以这个三角形的三条边为边向外作正方形，正方形面积分别记为，，，已知，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 3．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，．若，，则斜边的长是（    ） A．5 B．7 C．20 D．25 题型五：勾股定理和网格问题 【例5】．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 3．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型六：勾股定理和折叠问题 【例6】．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【举一反三】 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 题型七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例7】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 2．（25-26八年级上·广东茂名·月考）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 题型八：以炫图为背景的计算题 【例8】．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．36 B．25 C．19 D．4 【举一反三】 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值为（    ） A．108 B．144 C．72 D．90 2．（25-26八年级上·湖南永州·期末）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾， 弦， 则小正方形的边长是 （   ） A． B．2 C．4 D．8 3．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．连接，，若，，则大正方形的边长为（   ） A．6 B． C． D．5 题型九：勾股定理与无理数 【例9】．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三1】 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，根据尺规作图痕迹，点M在数轴上表示的数是（    ） A．−1 B． C． D．−0.5 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，的一直角边在数轴上，点对应的数为，点对应的数为2，，以点为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点，则点在数轴上所表示的数是（   ） A． B． C．2.3 D． 题型十：勾股定理构造图形解决问题 【例10】．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 【举一反三】 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为________． 2．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成．中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，求他滑行的最短距离（的值取3） 3．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为_______尺． 题型十一：勾股定理的应用 【例11】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动_________． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·山东青岛·周测）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为__________． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时． 题型十二：勾股定理的证明 【例12】．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）综合与实践 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）． 某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动： 探究活动一： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 探究活动二： （2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）． 探究活动三： （3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）勾股定理是几何学中的明珠，它的证明方法已超过五百种．我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理，它由四个如图1的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示．用它证明勾股定理的思路是用两种求法来表示同一个图形的面积，从而得到等式． (1)在图2中，因为大正方形的面积可以看成四个直角三角形与一个小正方形的面积的和，即_____；也可直接表示为大正方形边长的平方，即_____，所以_____，勾股定理得到了验证． (2)小数同学发现，把两个图1的直角三角形（，）按图3摆放（其中点在上）构造图形，也可以验证勾股定理．请按下列小数同学的思路进行验证． ①求证：． ②用两种方法表示同一图形的面积验证勾股定理． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 3．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如图，我们运用图1中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即可得到，由此推导出一个重要的结论，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”． (1)如图2，它由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请用其中面积的不同表示方法证明勾股定理． (2)观察图3，分解因式______；若、、为实数，，，利用上述结论求的值． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 3．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，中，于D，垂直平分， 交于F， 交于E，， 若，， 则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．18 6．（25-26八年级上·河南郑州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 7．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，平分交于点，作交于点．若则的面积为（   ） A． B． C．12 D． 二、填空题 8．（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在中，，是上一点，连接，若，，平分，则的长为___________． 9．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号） 11．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形时，的长为_____． 12．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在等边中，平分，，分别为，上一点，且，连结，．当时，则的最小值是_____． 三、解答题 13．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）如图，在中，于点D，E为上一点，连接交于点F，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 14．（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在长方形中，，． (1)则的长为______； (2)如图2，，垂足是E，作点关于的对称点F，连接，． ①若连接，试求的长； ②若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段、上时，请求出相应的m的值． 16．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，已知，，且，交y轴于E点． (1)如图1，若，求C点坐标； (2)如图2，A，B两点分别在x轴，y轴正半轴上，E为的中点，交x轴于G点，连接，若，求G点的坐标； (3)如图3，A在x轴的负半轴上，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段、、之间的数量关系，并证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1勾股定理 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01：勾股定理 　　直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 　技巧归纳： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 知识点二：勾股定理的证明 一般是通过剪拼，借助面积进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。 图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b为边长的大正方形和以直角三角形斜边c为边长的小正方形。则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为ab·4+c2,所以(a+b)2=ab·4+c2，整理得a2+b2=c2 在图2的另一种拼法中，以c为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以ab·4+(b-a)2=c2，整理得a2+b2=c2. 知识点03：勾股定理的应用 (1)勾股定理的应用条件 勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。 (2)勾股定理的实际应用 勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。 勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。 (3)利用勾股定理作长为 (n为大于1的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。由此，我们可借助勾股定理，作直角边为1的等腰直角三角形，它的斜边长等于；作直角边为，1的直角三角形，其斜边长为。类似地，可以作出长为 (n为大于1的整数)的线段。 【题型探究】 题型一：用勾股定理解三角形 【例1】．（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在中，，若，，则的长是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据确定是斜边，、是直角边，再利用勾股定理代入已知的和的长度计算即可得到的长． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∴． 即， 解得． 故选：C． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）若三角形三边长为5，12，x，且该三角形为直角三角形，则x的值为（    ） A．13 B． C．13或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题需分两种情况讨论，利用勾股定理求解x的值，因为x可能是直角三角形的直角边或斜边． 【详解】解：当x是直角边时，， 当x是斜边时，， 综上，x的值为13或， 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长是（  ） A．4 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质与勾股定理的综合应用．关键是先利用垂直平分线的性质得到相等线段，再通过两次勾股定理计算出的长度． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ． 在中，，由勾股定理得： ； 在中，，由勾股定理得： ； 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，则BC的长是（   ） A．13 B． C．14 D． 【答案】C 【详解】解：如图，作交的延长线于点D， ， ，， ， ，， ，，，故选：C． 题型二：勾股数问题 【例2】．（25-26八年级上·河南周口·月考）下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．3，4，7 B．5，12，13 C．，， D．3，，5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数； 根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：∵，，， ∴3，4，7不是勾股数； B选项：∵，，且5、12、13均为正整数， ∴5，12，13是勾股数； C选项：∵、、不是正整数， ∴该组不是勾股数； D选项：∵不是正整数， ∴该组不是勾股数； 故选：B． 【举一反三1】 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．8，15，16 C．7，24，25 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义（三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方），结合勾股定理的逆定理判断各选项即可． 【详解】解：A．、、不是正整数，不符合勾股数定义，故不符题意； B．，，，不满足勾股定理逆定理，故不符题意； C．，，即，且7、24、25均为正整数，故C选项是勾股数； D．，，，不满足勾股定理逆定理，故不符题意， 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，三个正整数满足两较小数的平方和等于最大数的平方，这样的三个数是勾股数． 根据勾股数的定义逐项验证即可解答． 【详解】解：A．，不符合勾股数的定义，不符合题意； B．，不符合勾股数的定义，不符合题意； C．，符合勾股数的定义，符合题意； D．，不符合勾股数的定义，不符合题意． 故选C． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．9，12，13 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，即满足的三个正整数称为勾股数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、0.3、0.4、0.5不是正整数， ∴不是勾股数，故选项A不符合题意； B、、不是整数， ∴不是勾股数，故选项B不符合题意； C、∵，且6、8、10均为正整数， ∴是勾股数，故选项C符合题意； D、∵，，， ∴不是勾股数，故选项D不符合题意． 故选：C． 题型三：已知两点坐标求距离 【例3】．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中两点距离，掌握坐标系中两点的距离公式是解题的关键． 点在轴上，设其坐标为，根据，利用距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴=， 两边平方得， 化简得， 解得， 故点的坐标为， 故选B． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的正半轴于点B，则点 B 的横坐标介于  （      ） A．2 和3 之间 B．3和4 之间 C．4 和5 之间 D．5 和6 之间 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出的长是解答此题的关键． 根据勾股定理可得的长，再由作法得：，可得到点 B 的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵点， ∴， 由作法得：， ∴点 B 的横坐标为， ∵， ∴， ∴点 B 的横坐标介于3和4 之间． 故选：B 3．（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到原点的距离为，那么点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标特点，勾股定理，首先求出到y轴的距离为，然后根据第二象限内点的坐标特征和点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵第二象限内点P到x轴的距离为2，到原点的距离为， ∴到y轴的距离为， ∴点P的横坐标是，纵坐标是， ∴点P的坐标为． 故选：B． 题型四：以直角三角形三边为边长的图形面积 【例4】．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A．10 B．14 C．28 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的直角边长的平方即为相应的正方形的面积． 由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：， ∵正方形的面积分别为36，64， ∴，， ， ． 故选：A． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出，即可求解． 【详解】解：设，，， ∴依题意得：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故选：A． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）如图，中，分别以这个三角形的三条边为边向外作正方形，正方形面积分别记为，，，已知，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．根据直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积得出，将代入得，进而可得出答案． 【详解】解：由题意可知：， 把代入中，得： ， ， ， ∴， 故选C． 3．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，．若，，则斜边的长是（    ） A．5 B．7 C．20 D．25 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，能够根据正方形的面积公式和勾股定理求出的值是解此题的关键． 根据勾股定理以及正方形的面积公式得出，， ，求出，进而得出． 【详解】解：由题意，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：A． 题型五：勾股定理和网格问题 【例5】．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；先求出，然后利用三角形的面积的不同表示方法得到等积式求出边上的高. 【详解】解：设边上的高为，边上的高为， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：D ． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用直角三角形的勾股定理即可求出答案． 【详解】解：在的正方形网格中，小正方形的边长是1， 任意两个格点间的距离为，，， 1，2，，，， 任意两个格点间的距离不可能是， 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 由网格图可知：，∵以为圆心，为半径画弧，∴． 在中，．∴．故选：A ． 3．（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：设每个小正方形的边长为， ∴， 由网格可知，， ∵， ∴，， 如图，观察四个点可知，点可能是图中的点， 故选：A． 题型六：勾股定理和折叠问题 【例6】．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，一元一次方程，掌握相关知识点是解题的关键． 设的长度为x，根据折叠和，可证为直角三角形，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：设的长度为x， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，可得， 即，解得， 的长度为． 故选：A． 3．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在长方形中，，将沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，利用勾股定理可以求出，根据折叠的性质可知，设，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值，即为的长度，根据线段之间的关系即可求出的长度． 【详解】解：四边形为长方形， ，， ∴， 由折叠可知，，，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ． 故选：D． 题型七：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【例7】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东茂名·月考）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 【答案】60 【详解】解：∵， ∴，， ∴，∴， ∴ ，． 故答案为：60． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【详解】解：∵， ∴，∵，∴ ．故答案为：40． 题型八：以炫图为背景的计算题 【例8】．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．36 B．25 C．19 D．4 【答案】B 【详解】解：∵ 大正方形面积为13， ∴ ①，， ∵ 小正方形面积为， ∴ ②，将②代入①，得，解得，∵ ， ∴ ， 故选：B． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，则的值为（    ） A．108 B．144 C．72 D．90 【答案】A 【分析】用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，，则， 故，，，解答即可． 本题考查了勾股定理，完全平方公式，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，， 则， 故，，， 故， 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖南永州·期末）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾， 弦， 则小正方形的边长是 （   ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】解：勾， 弦， 股， 小正方形的面积：， 小正方形的边长为：， 故选：B． 3．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．连接，，若，，则大正方形的边长为（   ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型九：勾股定理与无理数 【例9】．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，结合以及数轴的特点即可求解． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴点E表示的实数是． 故选：D． 【举一反三1】 1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知，于点，点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 利用勾股定理求出，进而根据点A的位置，即可求解． 【详解】解：点对应的数是， ， ， ， 根据勾股定理，可得， ， 点A在数轴上对应的数是． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，根据尺规作图痕迹，点M在数轴上表示的数是（    ） A．−1 B． C． D．−0.5 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 由勾股定理得，即可得到点M在数轴上表示的数是． 【详解】解：如图， 由勾股定理得， ∴点M在数轴上表示的数是 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，的一直角边在数轴上，点对应的数为，点对应的数为2，，以点为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点，则点在数轴上所表示的数是（   ） A． B． C．2.3 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，实数与无理数．利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，， 由勾股定理，得：， ， ∵点表示的数为， ∴点P表示的数为， 故选：A． 题型十：勾股定理构造图形解决问题 【例10】．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈巨龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）． 故答案为：20． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在四边形ABCD中，．沿，，剪三刀，将其分割为块，可以再拼成两个正方形，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，图形的拼接，合理做出辅助线结合正方形的性质是解题的关键． 过点作于点，证出四边形是长方形，利用勾股定理求出的长，设正方形的边长为，利用图形的拼接方法求出的值，结合勾股定理求出的长，再通过三角形面积公式运算求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵， ∴，四边形是长方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得：， 设所拼成的正方形的边长为，则， 根据拼图可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·甘肃白银·月考）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成．中间可供滑行部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，求他滑行的最短距离（的值取3） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—最短路径问题．通过将U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理求最短路径是解题的关键． 将半圆面展开，连接，则是最短路径，根据勾股定理，计算求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图：连接，则是最短路径， ， ， 由勾股定理得， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为_______尺． 【答案】29 【分析】根据圆柱的展开图，勾股定理解答即可． 本题考查了圆柱的展开图，勾股定理，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长20尺， 另一条直角边长 (尺)， 因此葛藤长 (尺)． 故答案为：29． 题型十一：勾股定理的应用 【例11】．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，，．如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端B向右滑动_________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，设，则，，再次使用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，得， 设，则，， 根据勾股定理，得， 解得，负的舍去， 故即梯子的底端B向右滑动． 故答案为：． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·山东青岛·周测）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键．设，表示出，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设秋千绳索， ，， ， ， 在中，，即， 解得， 秋千绳索的长度是． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．根据题干信息结合图形表示出，，，再结合勾股定理即可得解． 【详解】解：根据题意得，，，， 根据勾股定理得． 3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 题型十二：勾股定理的证明 【例12】．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）综合与实践 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）． 某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动： 探究活动一： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 探究活动二： （2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）． 探究活动三： （3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理． 【答案】（1）；或或；（2）；；见解析；（3）两斜边互相垂直；见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形面积的求解，准确作出辅助线，想到图形中面积的关系为解题关键． （1）利用三角形面积表示出图形的面积即可；利用梯形面积，三角形面积以及矩形面积减三角形面积三种方法表示出梯形面积即可； （2）连接，，利用四边形面积的两种表示方法求出最后结果即可； （3）拼成，延长交于H,连接，设，利用三角形面积的两种表示方法得出结论即可． 【详解】解：（1）； 梯形面积为：或或， 故答案为：；或或； （2）一种等于，另一种等于； 如图，连接，， 则或， ，， ，，即， ， ，即； （3）两斜边互相垂直，理由如下： 如图，拼成，延长交于H,连接， 设， 则， 又， ， 整理得． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·浙江金华·期末）勾股定理是几何学中的明珠，它的证明方法已超过五百种．我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理，它由四个如图1的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示．用它证明勾股定理的思路是用两种求法来表示同一个图形的面积，从而得到等式． (1)在图2中，因为大正方形的面积可以看成四个直角三角形与一个小正方形的面积的和，即_____；也可直接表示为大正方形边长的平方，即_____，所以_____，勾股定理得到了验证． (2)小数同学发现，把两个图1的直角三角形（，）按图3摆放（其中点在上）构造图形，也可以验证勾股定理．请按下列小数同学的思路进行验证． ①求证：． ②用两种方法表示同一图形的面积验证勾股定理． 【答案】(1)，，． (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式与几何图形． （1）根据完全平方公式化简，用大正方形边长求出大正方形的面积，根据面积相等列等式即可； （2）①设交于点，根据全等三角形的性质可得，进而得出即可得证； ②根据两种方法求得四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：图2中，因为大正方形的面积可以看成四个直角三角形与一个小正方形的面积的和，即；也可直接表示为大正方形边长的平方，即，所以，勾股定理得到了验证． 故答案为：，，． （2）①证明：如图，设交于点 依题意 ∴ ∵ ∴ ∴，即 ②解：∵ ∴， ∵， ∴ 又 ∴ ∴，即． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质： （1）根据面积的不同算法即可得乘法公式； （2）结合全等三角形的性质可得到，再由，即可解答； （3）由（2）得：，根据，可得，从而得到，即可求证． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 由面积的不同算法可得乘法公式：； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）由（2）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如图，我们运用图1中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即可得到，由此推导出一个重要的结论，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”． (1)如图2，它由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请用其中面积的不同表示方法证明勾股定理． (2)观察图3，分解因式______；若、、为实数，，，利用上述结论求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是利用等积法证明勾股定理． （1）连接，利用等积法，根据求解即可； （2）根据面积法可进行因式分解，然后根据因式分解后所得的等式，把的两边平方即可求出的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵ （2）解：由图形可知， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）下列三组数中，是勾股数的是（　　） A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6 【答案】C 【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，只需逐一验证各选项即可． 【详解】解：对选项A，∵，，， ∴A不是勾股数； 对选项B，∵，，， ∴B不是勾股数； 对选项C，∵，， ∴，且三个数均为正整数， ∴C是勾股数； 对选项D，∵，，， ∴D不是勾股数． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，由含30度角的直角三角形得到，由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A ． 3．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱侧面展开可得到长为，宽为圆柱的高的长方形，根据勾股定理即可求出的长，即为所求． 【详解】解：如图，圆柱侧面展开图是长方形， 长方形的长为圆柱的底面周长为，宽为圆柱的高为， 根据勾股定理得： ， 根据两点之间线段最短，可得这条彩带的最小长度是为． 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与几何综合，数形结合，由直角三角形边长表示出是解决问题的关键． 在中，设，则由勾股定理可得，根据阴影部分的面积关系满足，由圆的面积公式、直角三角形面积公式表示出与，从而得到，由完全平方公式恒等变形即可得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，设， ， 由勾股定理可得，则， 则 ， ， ， ，即， 则， ， 则，即， ， 故选：A． 5．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，中，于D，垂直平分， 交于F， 交于E，， 若，， 则的周长为（   ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理．由垂直平分线得到，，，由勾股定理得到，再由面积法得到，接着求出，即可计算的周长． 【详解】解：∵垂直平分，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故选：B． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：B． 7．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，平分交于点，作交于点．若则的面积为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，从而可得，如图，过作于，证明，然后在中，利用勾股定理求出，再进一步即可解答． 【详解】解：平分， ， ∵， ，， ， ， 如图，过作于， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：A 二、填空题 8．（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在中，，是上一点，连接，若，，平分，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 平分，， ， 在中，，， ， 设， ， 即， ，即， ． 9．（25-26八年级下·江苏南京·开学考试）古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 【答案】 【分析】设尺，则尺，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为水深． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知,尺， 设尺，则尺， 在中，， ， 解得：， 尺， 答：水深尺． 10．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，勾股定理与最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，利用两点之间线段最短找到最短路径． 先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程，再由勾股定理求解． 【详解】解：先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则， 所以， 根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程， 在中，，根据勾股定理得， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，在中，，，，点为边上一动点，交于点，将沿直线折叠，点的对应点为，当是直角三角形时，的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键．分两种情况讨论，由勾股定理和折叠的性质可求解． 【详解】解：当时， ∵将沿直线折叠，点A的对应点为F． ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，． ∴， ∴， 当时，点F与点B重合，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 12．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在等边中，平分，，分别为，上一点，且，连结，．当时，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作，使，连接、，证明可得，可知，由可得当、、三个点在同一直线上时，有最小值，在中，利用勾股定理求出，即可得的最小值． 【详解】解：如图，过点作，使，连接、， ∴， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∵平分，∴， ∴，又∵，∴， ∴， ∴， ∵， ∴当、、三个点在同一直线上时，的值最小，即有最小值，最小值为， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题 13．（25-26八年级下·四川泸州·开学考试）如图，在中，于点D，E为上一点，连接交于点F，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， 由勾股定理得：， ． 14．（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2)见解析 (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图1，在长方形中，，． (1)则的长为______； (2)如图2，，垂足是E，作点关于的对称点F，连接，． ①若连接，试求的长； ②若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段、上时，请求出相应的m的值． 【答案】(1) (2)①；②当点落在上时，；当点落在上时， 【分析】本题考查了轴对称与平移变换、勾股定理等知识点．在计算过程中，注意识别平移过程中的不变量． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）①利用长方形的性质、勾股定理及三角形面积公式求解；②依题意画出图形，利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值即可； 【详解】（1）解：∵长方形， ∴； 在中，， 由勾股定理得：； （2）解：①∵，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：； ∵对称， ∴垂直平分， 设与交于点，则， ∵，即：， ∴， ∴； ②设平移中的三角形为，如图： 由对称点性质可知，．， 由平移性质可知，． ①当点落在上时， ， ， ， ，即； ②当点落在上时， ， ， ， ， ∵， ∴， 为等腰三角形， ， ，即． 16．（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）如图，已知，，且，交y轴于E点． (1)如图1，若，求C点坐标； (2)如图2，A，B两点分别在x轴，y轴正半轴上，E为的中点，交x轴于G点，连接，若，求G点的坐标； (3)如图3，A在x轴的负半轴上，以为边在的右侧作等边，连接，当时，请探究线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：，，解得， 如图1，过点C作轴于点H，， 、， ， 在和中，，，、， ， 点C坐标为； （2）解：如图2，过点C作轴于点H，同理（1）可证明：、，设点、， 、E为的中点，，， 、，， ，， ，解得，， 点G坐标为； （3），证明过程如下：证明：如图3，过点C作轴于点M，在上取一点N，使得，连接， 同（1）可证明：， 、，、， 是等边三角形， 、，， 是等边三角形， 、，在和中，， ，、，， 轴， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $