专题13 平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值 的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平行四边形中的最值问题 类型二、矩形中的最值问题 类型三、菱形中的最值问题 类型四、正方形中的最值问题 压轴专练 典例详解 类型一、平行四边形中的最值问题 方法总结 1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及平行四边形对边平行相等的性质求最 值。 2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1.轴对称转化：利用平行四边形对边平行，作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2.勾股定理列式：在平行四边形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例1.(24-25八年级下河南信阳·期末)在口ABCD中，DC=20°，AB=6,点P是BC边上的动点，连接 AP,DP E,F 分别是D和PD的中点，则EF的最小值是 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】(2026安徽阜阳·一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1.点D在AB边 上，点E在AB的延长线上，连接CD,CE,且AD=BE.则下列结论错误的是() -+2 A.CD+DE的最小值为2 B.CE-DE的最大值为√7-2 CD+D的说小饭为 5 D.aCDE周长的最小值为V7+2 【变式1-2】(24-25九年级下·安徽准南·自主招生)如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直 线AB同侧的两个等边三角形，点P、F分别是CD,AB的中点.若AB=I2,则下列结论正确的是 () A.PE+P 的最小值为62 B.aP1B的面积为82 C.△CDE周长的最小值为16 D.PA+PB的最小值为67 【变式1-3】(25-26八年级上陕西西安·月考)(1)如图①，已知△ABC,点M、N分别在边AC、BC 上，沿MN将△ABC折叠，点C恰好落在边BC上的C'处，若BN=8,CN=6,那么BC的长为 ； (2)如图②，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且AC L BD,若AC=7,BD=5,求 AB+CD的最小值： (3)如图③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M、N分别在边AC、BC上运动，若满足 AC+CM=8,BC+CN=5,连接BM,AN,求BM+AN的最小值. 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M N 图① 图② 图③ 今类型二、矩形中的最值问题 方法总结 1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及矩形四个直角的性质求最值。 2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1.轴对称转化：通过作对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最小值。 2.勾股定理列式：在矩形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例2.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BA=5,BC=13,D是斜边 BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN长的最小值 为 D 【变式2-1】(24-25八年级下·广西防城港期中)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点P在AD BC DP=B0连接CT 上，点在上，且 CP OD PC+OD ,则 的最小值为一。 【变式2-2】(25-26九年级上陕西西安·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=6,P,Q分别是 BC,B上的两个动点，4E=2,△1B0沿E0 △FEQ 沿折叠形成 ,连接PF,PD,则PF+PP的最小值 是 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 【变式2-3】(25-26八年级上浙江嘉兴月考)如图，在平面直角坐标系x0中，点A0,4,B4W5,0) 点C是线段AB上的一个动点，在AB的右侧作以BC为边的等边△BCD,若E为CD的中点，连接AE, 当OE取最小值时，则AE= B 类型三、菱形中的最值问题 方法总结 1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及菱形对角线垂直的性质求最值。 2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1.利用对称性：菱形是轴对称图形，常作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2.勾股定理：在对角线垂直的直角三角形中，用勾股定理表示线段，再求最值。 例3.(24-25八年级下·吉林期末)如图，在菱形ABCD中，∠A=60,AB=4,E是CD上一动点，连接 BE,则BE的最小值为 D 【变式3-1】(25-26八年级上·重庆期末)四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD交于点O,点E为BC 上一动点，连接AE、OE,若AB=AC=4,则AE+OE的最小值是 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-2】(2526八年级上四川成都期末)等腰△18D中，B=D=3∠B1D=120,将△4BD沿 BD所在直线翻折得到△BCD,再将△ABD水平向右平移，得到△AB'D',分别连接A'C,AD,B'C,则 A'C+B'C的最小值为 【变式3-3】(24-25九年级下·河南南阳期中)如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，对角线AC, BD相交于点O,P为线段BD上的一个动点，连接CP,将线段CP绕点C逆时针旋转60°至CQ,连接OQ, 则线段O0的长的最小值为，最大值为· B 类型四、正方形中的最值问题 方法总结 1.几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及正方形轴对称性求最值。 2.代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1.轴对称转化：利用正方形对称性，作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2.勾股定理列式：在正方形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例4.(25-26九年级上·甘肃兰州·期中)如图，正方形ABCD的边长为l2cm,E是AB上一点，BE=4Cm, P是对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值是 cm. 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 【变式4-1】(25-26九年级上陕西西安·月考)如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以 DE为边作正方形DEFG,M是CD的中点，连接GM.若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为 O 【变式4-2】(2025山东烟台·模拟预测)如图，在正方形ABCD中，边长AB=2,点E为边BC的中点， 连接对角线D:在BD上取线段Pg,使PQ=BD,连接P,EQ,则，A+PQ+E0的最小值为 o C 【变式4-3】(25-26九年级上·北京石景山期末)如图，边长为2的正方形ABCD内有一动点E,满足 ∠AEB=90°，F为边BC上的动点，连接EF,DF. D (I)当点F为边BC的中点时，EF长的最小值为 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)EF+DF的最小值为 压轴专练 一、单选题 1.(24-25八年级下湖北十堰期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,P为边BC上 一动点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于.F,M为EF的中点，则PM的最小值为() B A.2 B.2.4 C.2.5 D.2.8 2.(25-26九年级上山东济南月考)如图，在菱形18CDH ∠ABC=120°，AC=6 中， D为 ,分别以点、 圆心，以大于CD长为半径作或，两或交于点M~N,作直线N·MN与CD交于点E如果点，为 线段AC上一动点，当PD+PE取最小值时，PE=() 米M D E D XN B 3 A.3 B.1 C.5 D.25 3.(25-26八年级上·重庆·周测)如图，正方形ABCD中，边长为8，E为线段AB上一点，将△ADE沿 DE翻折到△DEF,连接BF,则BF的最小值为()· 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C A.8V2 B.8V2-8 C.83-8 D.&5 二、填空题 4.(24-25八年级下·广西贵港期末)如图，在口ABCD中，∠B=120°，CD=8,AD>AB,E、F分别是 BC、AB上的动点，连接DF、EF,G、H分别为DF、FE的中点，则HG的最小值是一 D G H B 5.(24-25八年级下·河南南阳期末)如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°，AB=2,动点E、F分别在 线段AB、BC上，且BE=CF,则∠EDF= ,EF的最小值为 D E B 6.(25-26九年级上·海南海口·期末)如图，AC为正方形ABCD的对角线，点O为AC的中点，点E为边 AD上一点，连接EO并延长交BC于点F,过点A作AP⊥EF于点P,连接DP,若正方形ABCD的边长为 2,则A0= DP的最小值为 (结果保留根号) E D 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 7.(23-24八年级下·宁夏中卫·期末)(1)如图1，平行四边形ABCD,∠ABC=60°，AB=3,BC=5, M、N分别为AD、DC上的点，且DM+DN=4,四边形BMDN的面积与DM有关，当DM有最值（填 “大”、“小”)时，四边形BMDN的面积有最值（填“大”、“小”）. (2)如图2，∠ACB=90°，且AC+BC=4,连接AB,则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出 最小值；若不存在，说明理由. 问题解决 (3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC交BD于O,己知∠AOB=120°，且AC+BD=10, 则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值. M B 图1 图2 图3 8.(25-26九年级上·陕西西安·期末)[问题探究] BD AB⊥BD,ED⊥BD AC、EC 如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作 ,连接 己知 AB=2,DE=1,BD=8,则AC+CE的最小值是； [尝试应用] 如图2，短形HBCD中，8=2，C-3点P是矩形HCD内一动点，且8Sm,求ACD周长 的最小值 [实践创新] 如图3，sinO= 5,长度为2的线段DE在射线OB上滑动，点C在射线OA上，且OC=5,ACDE的两个 内角的角平分线相交于点F,过F作FG⊥DE,垂足为G,求FG的最大值， 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、E GD P 图1 图2 图3 9.(24-25八年级下·江苏宿迁·期末)四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一动点，连接DE,BE. 过点E作EF⊥DE交直线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG. D B B 图1 备用图 (I)求证：矩形DEFG是正方形： 2若4B=4,CG-5,求正方形DErG 的边长： 3)点E关于DC的对称点为P,连接DPP,若DP+MP的最小值为2而 ①求AB的长为： ②正方形DEFG的面积的最小值为 10.(24-25八年级下·福建期中)如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点. C C C 图① 图② 图③ (1)若为对角线 ① D上一动点，E是4D的中点，请在图①中画出当F+AF取得最小值时的点F,简单 写出点F的做法，不需要证明： 2如图②，M为对角线BD上一动点，N为边4D上一动点，若N+M的最小值为35，这个值恰好 3W3 10/11 专题13 平行四边形、矩形、菱形、正方形中最值的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平行四边形中的最值问题 类型二、矩形中的最值问题 类型三、菱形中的最值问题 类型四、正方形中的最值问题 压轴专练 类型一、平行四边形中的最值问题 方法总结 1. 几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及平行四边形对边平行相等的性质求最值。 2. 代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 轴对称转化：利用平行四边形对边平行，作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2. 勾股定理列式：在平行四边形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，，点是边上的动点，连接．分别是和的中点，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平行四边形性质、三角形中位线性质、含30度角的直角三角形的性质，先得出，根据当最小时，取最小值，求出值，进而求出结论． 【详解】解：分别是和的中点， ， 当最小时，取最小值， 点是边上的动点， 当时，最小，此时取最小值， 在中，， ， 当时，， ， ， ， 此时取最小值为， 故答案为：． 【变式1-1】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．周长的最小值为 【答案】C 【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理先求出、的长，由等量代换可求得的长，最后根据垂线段最短结合三角形的面积公式确定最小值，即可判断A选项；当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值，解直角三角形即可判断B选项；以为一边作，过作交于，当，，三点共线，且时，取最小值，解直角三角形即可判断C选项；过作，过作，与相交于，作关于的对称点，分别连接，，，与交于，当，，三点共线时，最小值，解直角三角形即可判断D选项． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 当取最小值时，则取最小值，当时，取最小值， 此时， ，解得， 的最小值为， 的最小值为，故A结论正确，不符合题意； 当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值． 如图，作于， ， ，解得， ， ， 在中，， 的最大值为， 的最大值为，故B结论正确，不符合题意； 如图，以为一边作，过作交于， ，， ， 当，，三点共线，且时，取最小值， ， ， ， 的最小值为，故C结论错误，符合题意； 如图，过作，过作，与相交于， 作关于的对称点，分别连接，，，与交于， 则，，，四边形是平行四边形， ，， ， ， 当，，三点共线时，最小值，最小值为， 的周长的最小值为，故D结论正确，不符合题意． 【变式1-2】（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的面积为 C．周长的最小值为16 D．的最小值为 【答案】D 【分析】延长、交于点，过点作直线，由等边三角形的性质可得，，证明四边形为平行四边形，得出为中点，从而可得在直线上运动，证明为等边三角形，得出，连接，则，，求出，从而可得点到直线的距离都为，再由三角形的面积公式即可判断B错误；作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，由勾股定理即可判断D正确；由得出当、、共线时，最小，最小值为的长度，即可判断A错误；过点作于，过点作于，由等边三角形的性质可得，，求出，即可判断C错误． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作直线， ∵和是位于直线同侧的两个等边三角形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵为中点， ∴为中点， ∵在线段上运动， ∴在直线上运动， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴点到直线的距离都为， ∴的面积为，故B错误； 作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，此时最小值为，故D正确； ∵， ∴， ∴当、、共线时，最小，最小值为的长度， ∴的最小值为，故A错误； 如图，过点作于，过点作于， ∵和是位于直线同侧的两个等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴周长的最小值为，故C错误； 故选：D． 【变式1-3】（25-26八年级上·陕西西安·月考）（1）如图①，已知，点、分别在边、上，沿将折叠，点恰好落在边上的处，若，那么的长为___________； （2）如图②，在四边形中，对角线，相交于点，且，若，，求的最小值； （3）如图③，在Rt中，，点、分别在边、上运动，若满足，连接，求的最小值． 【答案】（1）14；（2）的最小值为；（3）的最小值为． 【分析】本题考查了平移的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理，利用平移的性质构造平行四边形是解题的关键． （1）利用折叠的性质求得，据此求解即可； （2）平移至，连接、，利用平移的性质证出四边形是平行四边形，推出，，结合得到，再利用勾股定理求出的长，最后利用两点之间线段最短即可求出的最小值； （3）延长至，使，延长至，使，连接，，，平移至，连接、，同（2）的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵沿将折叠，点恰好落在边上的处， ∴，∴， 故答案为：14； （2）如图，平移至，连接、， 由平移的性质可得，，， 四边形是平行四边形， ，， 又 ， ， ， 由两点之间线段最短知：， ∴当共线时，有最小值为，即的最小值为； （3）延长至，使，延长至，使，连接，，， ∵， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，， 平移至，连接、， 则四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 由两点之间线段最短知：， ∴当共线时，有最小值为，即的最小值为． 类型二、矩形中的最值问题 方法总结 1. 几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及矩形四个直角的性质求最值。 2. 代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 轴对称转化：通过作对称点，将折线转化为直线，利用“两点之间线段最短”求最小值。 2. 勾股定理列式：在矩形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理得到，由题意证明四边形是矩形，则当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，由等面积法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 【变式2-1】（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为 _____ ． 【答案】5 【分析】本题考查的是最短路径问题，矩形的性质，轴对称的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，在BA的延长线上截取，连接则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，即的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴． ∴的最小值为5． 故答案为：5． 【变式2-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵是定值， ∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是线段上的一个动点，在的右侧作以为边的等边，若为的中点，连接，当取最小值时，则______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，根据勾股定理得到，根据斜边中线定理得到，进而推出是等边三角形，得到；连接，作于点，根据等边三角形的性质得到，，则点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，即，取最小值，此时三点共线，则，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵点，， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 如图，连接，作于点， ∵等边，为的中点， ∴，，，平分， ∴，， ∴点在过点且与夹角为的直线上运动， ∴当时，即，取最小值， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 类型三、菱形中的最值问题 方法总结 1. 几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及菱形对角线垂直的性质求最值。 2. 代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 利用对称性：菱形是轴对称图形，常作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2. 勾股定理：在对角线垂直的直角三角形中，用勾股定理表示线段，再求最值。 例3．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在菱形中，，E是上一动点，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形和三角形．熟练掌握菱形性质，含30°的直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，是解题的关键． 过点B作于点F，根据菱形性质可得，得，根据，得，由，得的最小值为． 【详解】解：过点B作于点F，则， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26八年级上·重庆·期末）四边形是菱形，对角线、交于点，点为上一动点，连接、，若，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由菱形的性质可得，易得是等边三角形，可得；如图：作点关于的对称点，过O作交于G，则根据轴对称的性质以及三角形的三边关系可得为的最小值；再根据等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理求得的长即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 如图：作点关于的对称点，过O作交于G，则 ∵点关于的对称点， ∴， ∴，即为的最小值， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴，； 同理可得：，即， ∴ ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川成都·期末）等腰中，，将沿所在直线翻折得到，再将水平向右平移，得到，分别连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称－最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平移的性质，掌握相关知识的应用是解题的关键． 设与交于点，由平移性质可得，，再由菱形的判定得出四边形是菱形，则有，，确定，，得到四边形是平行四边形，故有，则的最小值的最小值，作点关于定直线的对称点，连接，当三点共线时，则的长度即为的最小值，由，，则，，然后通过等腰三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵，将沿所在直线翻折得到， ∴，， ∵将沿射线的方向平移，得到， ∴，， ∵折叠，等腰， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值的最小值， ∵点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接， 当三点共线时，则的长度即为的最小值， 根据题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，菱形的边长为，，对角线，相交于点，为线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转至，连接，则线段的长的最小值为_____，最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，点到直线的距离，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．在上取一点，使，连接．证明，则．由点为定点，为线段上的一个动点，∴当时，有最小值，利用菱形性质知，则，即可得的最小值为；当点P运动到点B时，最大，即有最大值，先证明Q，C，D三点共线，过点B作．分别求出，，利用勾股定理求出，即可得的最大值． 【详解】解：如图1，在上取一点，使，连接． ∵四边形是菱形，，边长为， ∴，，，， ∴，，， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 由点为定点，为线段上的一个动点， ∴当时，有最小值， 此时， ∵， ∴， ∴最小值为， ∴的最小值为； 如图2，当点P运动到点B时，最大，即有最大值， ∵， ∴， ∴， 此时Q，C，D三点共线，过点B作． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：；． 类型四、正方形中的最值问题 方法总结 1. 几何模型：利用“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及正方形轴对称性求最值。 2. 代数方法：设未知数，将所求量表示为函数，在自变量取值范围内求最值。 解题技巧 1. 轴对称转化：利用正方形对称性，作对称点将折线转化为直线求最短路径。 2. 勾股定理列式：在正方形中构造直角三角形，用勾股定理表示线段长，再求最值。 例4．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，正方形的边长为，E是上一点，，P是对角线上一动点，则的最小值是___________ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及正方形的性质，正确得出点位置是解题关键． 直接利用正方形的性质，得出点关于直线对称，连接，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解：如图所示：连接， 由题意可得：点关于直线对称，则点是与的交点， ∵正方形的边长为， ， 则． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接．若正方形的边长为8，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；由可证明得到，，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动，根据“垂线段最短”可知：当时，最短，即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长，最后由为等腰直角三角形可求出的最小值. 【详解】解：连接并延长与延长线交于点K，过点M作于T，如图所示： ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合， 即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动， 根据“垂线段最短”可知：当时，最短， 即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长. ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∵，点M为中点， ∴ 由勾股定理得 ∴ ∴ ∴的最小值为 故答案为：. 【变式4-2】（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在正方形中，边长，点为边的中点，连接对角线，在上截取线段，使，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，以为腰在正方形的左侧作等腰直角三角形，取的中点，连接，过点作于点，进而证明四边形是平行四边形，得出的最小值为，再勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，以为腰在正方形的左侧作等腰直角三角形，取的中点，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴的最小值为 ∵， ∴ ∴， ∵是的中点 ∴ ∴， 在中， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，边长为的正方形内有一动点，满足，为边上的动点，连接，． （1）当点为边的中点时，长的最小值为___________； （2）的最小值为___________． 【答案】 / / 【分析】（1）取的中点，连接，，根据直角三角形的性质可得，为定值．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可； （2）作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为，根据轴对称的性质，，因此．由线段公理可得，，用勾股定理计算出即可． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴是直角三角形， 又∵点是的中点， ∴为定值， ∵点为边的中点， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、三点共线时，取到最小值； （2）如图，作点关于的对称点，连接、、，作，垂足为， 在正方形中，，， 由轴对称的性质可得，，，， ∴点、 、三点共线， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在直角中，， 由线段公理可得，， ∴，当点、、、四点共线时，取到最小值， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于..，为的中点，则的最小值为（   ） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键． 先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出最短时的长． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，， 四边形是矩形， ，与互相平分， 是的中点， 为的中点， ， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， 当时，， 最短时，， 当最短时，． 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，如图，连接，设交于点，交于点O．证明，推出，推出当点P与点重合时，的值最小，求出即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点，交于点O． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴（负值舍去）， ∵D，B关于对称， ∴， ∴， ∴当点P与点重合时，的值最小，此时． 故选：B． 3．（25-26八年级上·重庆·周测）如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，连接，根据正方形的性质和勾股定理求出，根据折叠可得，则，即可得出当点三点共线时，最小，的最小值为． 【详解】解：连接， ∵在正方形中，边长为8， ∴， ∴， ∵将沿翻折到， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，的最小值为， 故选：B． 二、填空题 4．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，分别是上的动点，连接分别为、的中点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】连接，过点D作于点T．证明，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点T． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别为的中点， ∴， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在菱形中，，，动点E、F分别在线段上，且，则____________，的最小值为____________．    【答案】 【分析】连接，过点作于，先证明、都是等边三角形，得到，进而证明得到，进一步证明是等边三角形，得到，则当与重合时，此时最小，即最小，最小值为，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴、都是等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当与重合时，此时最小，即最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 6．（25-26九年级上·海南海口·期末）如图，为正方形的对角线，点O为的中点，点E为边上一点，连接并延长交于点F，过点A作于点P，连接，若正方形的边长为2，则________，的最小值为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】取的中点，连接、，，根据正方形的性质可得，，进而根据勾股定理可求得，得到，再由勾股定理得到，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，最后根据三角形三边关系可知，即可解答． 【详解】解：如图，取的中点，连接、，， ∵为正方形的对角线，点O为的中点，正方形的边长为2， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，三角形三边关系等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 三、解答题 7．（23-24八年级下·宁夏中卫·期末）（1）如图1，平行四边形，，，，、分别为、上的点，且，四边形的面积与有关，当有最 值(填“大”、“小”)时，四边形的面积有最 值(填“大”、“小”)． （2）如图2，，且，连接，则的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 问题解决 （3）如图3，在四边形中，，对角线交于，已知，且，则与的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值． 【答案】（1）小，大；（2）存在，；（3）不是，周长之和的最小值为15 【分析】（1）先求出平行四边形的面积，利用面积和差关系可得四边形的面积，则当有最小值时，四边形的面积有最大值，即可求解； （2）在中，由勾股定理可求的长，由线段的和差关系可求解； （3）如图3，过点作，交的延长线于，过点作于，可证四边形是平行四边形，可，，则与的周长之和为，由直角三角形的性质可求的长，即可求解． 【详解】解：（1）过点作，交延长线于，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形， ，，，， ，， ， ，， ，， 四边形的面积， ， ， ∴ 四边形的面积 ， 四边形的面积， 则当有最小值时，四边形的面积有最大值， 故答案为：小，大； （2）存在， 设， ， ， ， 的周长， 当时，的周长的最小值为； （3）与的周长之和不是定值， 理由如下：如图3，过点作，交的延长线于，过点作于， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的周长之和不是定值， 当时，与的周长之和的最小值为15． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期末）[问题探究] 如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是 ； [尝试应用] 如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值． [实践创新] 如图3， ，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值． 【答案】[问题探究] ；[尝试应用] ；[实践创新] 【分析】[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接．解直角三角形求出，即可解决问题． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设．由垂直平分线段，推出，推出，利用勾股定理求出的值即可． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H．由题意，推出，推出当的值最小时，的值最大，如图4中，过点C作，使得，作点K关于直线的对称点J，连接交于E，连接交于T，此时的值最小，最小值的长，据此求出结论． 【详解】解：[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H． ∵的两个内角的角平分线相交于点F，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最大， 如图4中，过点C作，使得， 作点K关于直线的对称点J，连接交于E，在上截取，连接，连接交于T， 则四边形是平行四边形， ， 则， 此时的值最小，最小值的长． 由图3可知， 在中，∵， ∴， ∴的最小值， ∴的最大值． 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）过E作于M，于N，证明四边形是矩形，得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先证明得到，过G作于H，则是等腰三角形，进而可得，，在中，利用勾股定理求得即可求解； （3）①作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接，此时值最小，最小值为的长，则，由轴对称性质得到，则，利用勾股定理求解即可；在中，由得， ②利用垂线段最短知，当时，取得最小值，此时正方形的面积最小，进而求解的最小值即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：如图，过G作于H， ∵四边形为正方形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过G作于H，则是等腰三角形，又， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为； （3）解：①∵， ∴点E关于的对称点P在上，， 作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接， 此时值最小，最小值为的长，则， 由轴对称性质得，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去）， 故答案为：； ②在中，，则， ∵点E为上一点， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴的最小值为， ∵是正方形的边长， ∴正方形的面积的最小为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、角平分线的性质等知识，综合性强，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当的辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解答的关键． 10．（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)、两点间的距离最小值为；、两点间的距离最大值为 【分析】（1）连接，交于，当点在处时，最小； （2）作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，根据四边形是菱形得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图， 连接，交于， 当点在处时，最小； （2）解：如图， 作于，交于，此时最小，最小值是的值， 由（1）知， 是的中点， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； 菱形的边长为； （3）解：如图， 作于， 以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上）， 由（2）知， ， ， 当点在处时，、两点间的距离最小，距离为：， 当点在点处时，、两点间的距离最大，最大为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $