专题12 平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题12平行四边形、矩形、 菱形、正方形中折叠 四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平行四边形中的折叠问题 类型二、矩形中的折叠问题 类型三、菱形中的折叠问题 类型四、正方形中的折叠问题 压轴专练 典例详解 类型一、平行四边形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.平行四边形性质：利用对边平行且相等、对角相等的性质，结合折叠产生的等量关系求解。 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由平行四边形本身决定的等量关系。 2.设元列方程：常在折叠后形成的直角三角形或全等三角形中，设未知线段为x,利用勾股定理或全等 列方程求解。 例1.(24-25八年级下浙江杭州期中)如图，在▣ABCD中，AB=6,BC=4,∠ABC=60°，点E是AB 上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形 EFGC,点D的对应点为点G,则FG的长度为() A D A.√2 5 B. C.2 D.5 【变式1-1】(24-25八年级下浙江宁波月考)如图，将。ABCD先沿BE折叠，再沿BF折叠后，A点落在 线段BF上的A处，C点落在E处，连结EA,EF.若恰有EF⊥EA',则∠A= 1/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-2】(24-25八年级下，海南海口期中)如图，在口ABCD中，BA⊥AC,将▣ABCD进行折叠，折 叠后AD恰好经过点C,得到AD',DE=10,CE=8,∠BAC=90°，则线段AC的长度为 【变式1-3】(24-25八年级下·浙江杭州月考)综合与探究 图1 图2 图3 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形 【操作判断】如图I,将口ABCD沿着对角线BD折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：BC=CD. 【类比探究】如图2，在口ABCD的一边AD上取一点E,沿着BE折叠△ABE,点A的对称点A恰好落在对 角线BD上，若点A与点C,E共线，DE=I,求A'C的长. 【问题解决】如图3，在口ABCD的一边AD上取一点E,沿着BE折叠△ABE,点A的对称点4恰好落在 CD的中点处，若DE=1,求AE的长， 类型二、矩形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边相等的性质，寻找折叠产生的直角三角形或全等形。 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由矩形本身决定的等量关系。 2.设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段长为x,利用勾股定理列方程求解。 例2.(25-26九年级上四川成都月考)如图，将矩形ABCD沿BD折叠得到△BC'D,折叠后C'D与AB交 于点E,已知∠2=40，则∠1的大小为一· 2/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2-1】(2025陕西榆林·三模)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCD的边0C,OA分别在x、y轴 上，点D的坐标为5,4)，点E在边CD上.将ADE沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点 F处，则点E的坐标为 D 0 【变式2-2】(2024广西玉林.一模)如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA 边折叠到DC边上得到DA',折痕为DM,连接A'M,CM,第二次将△MBC沿着MC折叠，MB恰好 落在MD边上. 则该矩形纸片ABCD的长宽比4织的值为 4D 【变式2-3】(24-25八年级上·广东深圳期末)在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通 过构造直角三角形，利用勾股定理来解决， 图1 图2 图3 (备用图1) (备用图2) (I)如图1，在矩形ABCD中，AB=6,AD=I0,点E是CD边上一点，将ADE沿AE折叠，使点D落在 BC边上的D处，求CE的长： 乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分） 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解：由折叠可知：△D'AE≌△DAE, .AD'=AD=10,ED'=ED. :∠B=90°，AB=6, BD'=- .CD'=- 在Rt△CED'中，设CE=x,则D'E=DE=6-x. 由勾股定理可得：DC2+CE2=DE2,即(_)2+x2=(6-x)2, 解得CE=-· (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=12,AD=5,点E是CD边上一动点，将ADE沿AE折叠，点D落在D 点处，当aCED'为直角三角形时，求CE的长； (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=8,AD=5,点E是直线CD上一动点，将ADE沿AE折叠，当点D的 对应点D恰好落到AB边的中垂线上时，请直接写出CE的长. 类型三、菱形中的折叠问题 方法总结 1.折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.菱形性质：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，寻找折叠产生的全等三角形或直 角三角形。 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，以及由菱形本身决定的等量关系（如四边相等）。 2.设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x,利用勾股定理列方程求解。 例3.(24-25九年级下.甘肃武威期中)如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点0，E,F分别为 AB,BC上的点，将菱形沿EF折叠使点B落在点O处，则OE的长为· 【变式3-1】(25-26九年级上·广东深圳月考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O, AC=6,菱形ABCD的面积为24，点E是边AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分 别是B、C,若∠BEB'=90°，则点C到BC的距离为 4/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E BL-- 【变式3-2】(25-26九年级上·安微宣城开学考试)如图，在菱形ABCD中，AB=8,∠BAD=60°，E是 CD的中点，连接AE,BE D (1)BE的长为 (2)若G,H分别是AD,AB上的点，将△AGH沿着GH折叠，使得点A恰好落在点E处，则AH的长为 类型四、正方形中的折叠问题 方法总结 1.折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2.正方形性质：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找折叠产生的全 等三角形或直角三角形。 解题技巧 1.标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，以及由正方形本身决定的等量关系（如边长相等）。 2.设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x,利用勾股定理列方程求解。 例4.(2024八年级下·湖南长沙竞赛)如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合(H 不与端点C,D重合)，折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD 的周长为m,△CHG的周长为n,则”的值为() B A.√2 B.2 C.5+1 D.随H点位置的变化而变化 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4-1】(24-25七年级下·湖北武汉·月考)已知正方形ABCD,点E、F、M、N、G、H是正方形边上 的点，点P是正方形内一点.如图(I),将正方形沿过P点的线段GH折叠，使点E落在EF上点E,如图 (2),展开后沿过P点的线段MN折叠，使点G落在GH上点G',若∠NMA'=26°，则∠FHG的度数为() G G (1) (2) A.64° B.52° C.36° D.26° 【变式4-2】(2024九年级下·广东·专题练习)综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠 图1 图2 图3 图4 素材：一张正方形纸片ABCD. 步骤1：将如图1所示的正方形纸片ABCD沿AE折叠（折痕经过顶点A)得到图2： 步骤2：将点A折叠到点E,得到图3，展开得到AE,FG两条折痕，如图4所示. 猜想与证明： (1)请直接写出AE,FG的数量与位置关系； (②)证明（1)中你发现的结论. 压轴专练 一、单选题 1.如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，点C落在点C处.设重叠部分为△EBD,那么下列说法错误 的是() 6/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.△EBD是等腰三角形，EB=ED B.折叠后∠ABE和∠CBD一定相等 C.折叠后得到的图形是轴对称图形 D.△EBA和△EDC'一定是全等三角形 2.将一张平行四边形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，CE,CF为折痕，折叠后点B,D,C在同一 直线上，连接BB',DB'.已知B'C=B'D,∠BB'C=58°，∠BDA=I8°，则∠EBC的度数为() D A.49° B.44° C.42° D.40° 3.将边长为a的菱形ABCD分别沿着EF和GH折叠(E,F,G,H分别在边CD,BC,AD,AB上)，使 点A和点C在折叠后均落在BC边上的点M处.若LC=45°，DE=CE,EF⊥BC于点F,则△BHM的周 长为() D A.√2a B. c. D. 4.如图，己知正方形ABCD的边长为12，BE=EC,将正方形的边CD沿DE折叠到DF,延长EF交AB于 G,连接DG,下列结论①GF=EF,②∠GDE=45°，③五边形AGECD的周长是44，④aDGE的面积是 60.正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.如图，在ABC中，BC=5,AC=4,∠C=30°.若将△AEF沿EF折叠，点A与边BC的点D恰好重 合，点H,G分别在BD,CD上，将△EBH沿EH折叠，点B与点D恰好重合.将△CFG沿FG折叠，点 C与点D恰好重合，则HD的长为 B H 6.将长方形形纸片ABCD(如图①，AD>CD)沿过点A所在的直线折叠，使得点B落在AD边上F处， 折痕为AE(如图②)再沿过点D的直线折叠，使得点C落在DA边上的N处，点E落在AE边上的M处， 折痕为DG(如图③，如果第二次折叠后，点M正好在∠NDG的平分线上，AB=6,AD= ① ③ 7.如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=2,点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到 △DGE,再折叠BE与EG重合，折痕为EF且交BC于点F. (1)∠DEF= (2)若点E是AB的中点，则DF的长为 8.如图(I),四边形ABCD是正方形，点E是边AD上的点，将△CDE沿着直线CE折叠，使得点D落在 AC上，对应点为点F. D---- C Dr 图(1) 图2) (1) CD EF (2)如图(2)，点G是BC上的点，将△ABG沿着直线AG折叠，使得点B落在AC上，对应点为H,连 8/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 接FG,EH, 则令@。 S边形EFGH 三、解答题 9.综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究.“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠” 为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片ABCD中，E为BC边上任意一点，将aABE沿AE折叠，点B的 对应点为B. B B B B B ① ② ③ (I)【感知】如图①，若点B恰好落在边AD上，求证：四边形B'ECD是平行四边形： (②)【探究】如图②，若点E,B,D在同一条直线上，求证：DA=DE; (3)【应用】如图③，若∠BAE=45°，连接BB'并延长，交CD于点F.若平行四边形纸片ABCD的面积为20， CD=4,求线段BF的长. 10.综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动. 问题初探： (1)如1图，点O是平行四边形纸片ABCD对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段EF折叠，使点C的 对应点为C,点B与点D重合，猜想AE和CF的数量关系，并说明理由； B C 1图 迁移探究 (2)如2图，连接AC',，与BD交于点P,猜想AC'和EF的位置关系，并说明理由； 9/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2图 拓展探索 (3)如3图，若纸片沿过点O的线段EF折叠，点B不与D重合，连接AC',猜想AC'和EF的位置关系， 并说明理由 A D D B 3图 11.【操作思考】如图1，将正方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形ABCD的内部，点 A的对应点为点G,折痕为BE,再将该纸片沿过点B的直线折叠，使BC与BG重合，折痕为BF B H 图1 图2 (1)求∠EBF的度数. 【探究应用】将图1折叠所得的图形重新展开并铺平.如图2，连结EF,作BF的中垂线分别交BE,BC于 点P,H,连结PF,PA. (2)求证：2PE2+BF2=2EF2. (3)求证：AP平分∠BAE. 12.实践操作 10/11 专题12 平行四边形、矩形、菱形、正方形中折叠四类综合题型 目录 典例详解 类型一、平行四边形中的折叠问题 类型二、矩形中的折叠问题 类型三、菱形中的折叠问题 类型四、正方形中的折叠问题 压轴专练 类型一、平行四边形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 平行四边形性质：利用对边平行且相等、对角相等的性质，结合折叠产生的等量关系求解。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由平行四边形本身决定的等量关系。 2. 设元列方程：常在折叠后形成的直角三角形或全等三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理或全等列方程求解。 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，点E是上的一点，点F是边上一点，将平行四边形沿折叠折叠，使得点A与点C重合，得到四边形，点D的对应点为点G，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 作于，过点作于，由 角直角三角形的性质可求，则，证明，那么，而，设，则，则，由折叠可知，，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，作于，过点作于． ∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可知，，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得，，再由由折叠的性质得，，，，根据平行线的性质得，进而得，再根据，利用等量代换求得，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·海南海口·期中）如图，在中，，将进行折叠，折叠后恰好经过点，得到，，，，则线段的长度为______．    【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，，可得，由折叠的性质可得，，由勾股定理可求的长，的长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点得到， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·浙江杭州·月考）综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2 【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有； [类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得； [问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可． 【详解】解： [操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴． [类比探究]∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∴， ∵点与点C，E共线， ∴， 即， [问题解决]延长交的延长线于点， 由（2）得， ∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处， 设， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵恰好落在的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 类型二、矩形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边相等的性质，寻找折叠产生的直角三角形或全等形。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由矩形本身决定的等量关系。 2. 设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段长为x，利用勾股定理列方程求解。 例2．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点E，已知，则的大小为______． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质得到，由平行线的性质推出，由折叠的性质得到，于是得到，即可求出结果． 本题考查平行线的性质，折叠问题，解题的关键是由平行线的性质推出，由折叠的性质得到 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， 由折叠的性质得到：， ， ， 故答案为： 【变式2-1】（2025·陕西榆林·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在、轴上，点的坐标为，点在边上．将沿直线折叠，折叠后顶点恰好落在边上的点处，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．根据矩形的性质得出，，根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， 由折叠得， 在中，， ， 在Rt中，， ， 解得， ∴点的坐标为． 【变式2-2】（2024·广西玉林·一模）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到， 折痕为， 连接，， 第二次将沿着折叠，恰好落在边上． 则该矩形纸片的长宽比的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形中的翻折，熟练掌握翻折的性质和正方形的性质是解题的关键．先利用第一次翻折确定四边为正方形，得出，再利用第二次翻折得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， 由第一次折叠可知，，， ∴四边为正方形， ∴， ∴， 由第二次折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级上·广东深圳·期末）在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决． (1)如图1，在矩形中，，点E是边上一点，将沿折叠，使点D落在边上的处，求的长； 乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分） 解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即（ ）， 解得 ． (2)如图2，在矩形中，，点E是边上一动点，将沿折叠，点D落在点处，当为直角三角形时，求的长； (3)如图3，在矩形中，，点E是直线上一动点，将沿折叠，当点D的对应点恰好落到边的中垂线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)，，2， (2)或7 (3)2或 【分析】（1）根据推理过程利用勾股定理填空即可； （2）当为直角三角形时，分当点落在矩形内部，时，当点落在边上，时，两种情况讨论即可； （3）过点作于N，交于点M，设，则，分点在线段上；点在延长线上；两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由折叠可知：， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，设，则． 由勾股定理可得：，即， 解得； （2）解：当为直角三角形时，有两种情况： 当点落在矩形内部，时，如图， ∵在矩形中，， ∴，， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得，即； 当点落在边上，时，如图， 此时，， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质得：， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 综上，当为直角三角形时，的长为或； （3）解：过点作于N，交于点M， 设，则， 当点在线段上时，如图， ∵是边的中垂线， ∴，， 由勾股定理可知：， ∴， ∵， ∴， 解得：，则， ∴； 当点在延长线上时，如图， 同理，， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴； 综上知：的长为或． 类型三、菱形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 菱形性质：利用菱形四边相等、对角线垂直平分且平分对角的性质，寻找折叠产生的全等三角形或直角三角形。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，以及由菱形本身决定的等量关系（如四边相等）。 2. 设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。 例3．（24-25九年级下·甘肃武威·期中）如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，，分别为，上的点，将菱形沿折叠使点落在点处，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质及折叠的性质证出，得出，则可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ，， 将菱形沿折叠使点落在点处， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图，在菱形中，对角线、交于点O，，菱形的面积为，点E是边上一点，将菱形沿折叠，使B、C的对应点分别是、，若，则点到的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及勾股定理，解答关键是根据折叠的条件推出． 过作于，过作于，可求得，，根据勾股定理求得， ，根据折叠可知：，， ，然后证得，得到，然后即可求解； 【详解】解：过作于，过作于，如图： ， 由已知，，菱形的面积为，， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， 由折叠可知：， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：； 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，在菱形中，，是的中点，连接 （1）的长为___________； （2）若分别是上的点，将沿着折叠，使得点恰好落在点处，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定以及折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质得 ，进而得出是等边三角形，根据等边三角形的性质得，，然后根据勾股定理求出； （2）设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形． ∵点是的中点， ∴，， 根据勾股定理，得． 故答案为：． （2）设，则， ∵将沿着折叠，使得点恰好落在点处， ∴， 由（1）可知，，， ∴，即． 在中，， 即， 解得， ∴． 故答案为：7． 类型四、正方形中的折叠问题 方法总结 1. 折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 2. 正方形性质：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找折叠产生的全等三角形或直角三角形。 解题技巧 1. 标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，以及由正方形本身决定的等量关系（如边长相等）。 2. 设元勾股：常在折叠后形成的直角三角形中，设未知线段为x，利用勾股定理列方程求解。 例4．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（    ） A． B．2 C． D．随H点位置的变化而变化 【答案】B 【分析】连接、，作于M．判定，可得，即可得出，再判定，即可得到，进而得到的周长等于正方形的周长的一半． 【详解】解：如图，连接、，作于M． ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 的周长， 又∵正方形的周长， 的值为2， 故选：B． 【变式4-1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知正方形，点E、F、M、N、G、H是正方形边上的点，点P是正方形内一点．如图（1），将正方形沿过P点的线段折叠，使点E落在上点E′，如图（2），展开后沿过P点的线段折叠，使点G落在上点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据折叠的性质可得：，，然后根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算可得：，再根据正方形的性质可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-2】（2024九年级下·广东·专题练习）综合与实践 主题：特殊平行四边形的折叠． 素材：一张正方形纸片． 步骤1：将如图1所示的正方形纸片沿折叠（折痕经过顶点）得到图2； 步骤2：将点折叠到点，得到图3，展开得到，两条折痕，如图4所示． 猜想与证明： (1)请直接写出，的数量与位置关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）答案看详解； （2）由折叠可知，过点作于，再证明，最后利用全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：； （2）证明：由折叠可知， 过点作于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：． 一、单选题 1．如图，把矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处．设重叠部分为，那么下列说法错误的是（   ） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定相等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 【答案】B 【分析】利用矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定以及轴对称图形的定义，逐一分析每个选项的正确性，从而找出错误的说法． 【详解】解：A、∵四边形是矩形， ∴，． 由折叠的性质可知， ∴． ∴． ∴是等腰三角形，不符合题意． B、折叠后，和 不一定相等． 只有当时，和才相等，一般情况下不成立，符合题意． C、折叠后得到的图形关于对角线所在的直线对称，因此是轴对称图形，不符合题意． D、∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∵ ∴，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定以及轴对称图形，解题关键是熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，并结合矩形的性质进行推理判断． 2．将一张平行四边形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，C在同一直线上，连接，．已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，设，先根据平行四边形的性质得到，然后根据等要三角形的性质得到，求出的度数，然后根据列方程解答即可． 【详解】解：设， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：A． 3．将边长为a的菱形分别沿着和折叠（E，F，G，H分别在边，上），使点A和点C在折叠后均落在边上的点M处．若于点F，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理. 根据折叠的性质得，可得，再根据菱形的性质得，然后由折叠的性质得，进而根据勾股定理求出，进而求出，则此题可解. 【详解】解：根据题意，得， ∴. ∵菱形的边长为a， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：C. 4．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于G，连接．下列结论①，②，③五边形的周长是44，④的面积是60．正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，解决本题的关键是综合运用以上知识点． 根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是可得，依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由勾股定理求出相应线段的长可得五边形的周长，利用三角形面积公式即可确定的面积． 【详解】解：由折叠可知：，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由折叠可得，， ∴，故结论②符合题意； ∵正方形边长是， ∴， 设，则，， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴，，， ∴，故结论①错误，不符合题意； ∴五边形的周长为，故结论③符合题意； 的面积为，故结论④符合题意； 综上，正确的结论为②③④，共三个， 故选C． 二、填空题 5．如图，在中，，，．若将沿折叠，点A与边的点D恰好重合，点H，G分别在，上．将沿折叠，点B与点D恰好重合．将沿折叠，点C与点D恰好重合，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线及折叠的性质是解题的关键；连接，由折叠的性质可知：，，，，然后可得，则有，进而可得，则有，最后问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由折叠的性质可知：，，，， ∴点E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 6．将长方形形纸片（如图①，）沿过点所在的直线折叠，使得点落在边上处，折痕为（如图②）再沿过点的直线折叠，使得点落在边上的处，点落在边上的处，折痕为（如图③，如果第二次折叠后，点正好在的平分线上，，__________. 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明，且是解题的关键． 由矩形的性质得，，由折叠得，，则，因为，，所以，而，，即可证明，得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠得，， ， ，， ， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点F．    （1）_____________； （2）若点E是的中点，则的长为_____________． 【答案】 /90度 【分析】（1）由翻折可得，，则，根据，可得，即． （2）根据题意可得点与点重合，且点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点．由，，可得，，则，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理列出方程，解得，进而可得出答案． 【详解】解：（1）由翻折可得，， ， ， ， 即． 故答案为：． （2）四边形为菱形， ， ， 由翻折可得，，，， 点是的中点， ， ， 即点与点重合． ， 点，，三点在同一条直线上． 过点作，交的延长线于点．   ，， ，， ，， 由翻折可得，， 设， 则，， 由勾股定理可得， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 8．如图（1），四边形是正方形，点E是边AD上的点，将沿着直线CE折叠，使得点D落在AC上，对应点为点F． （1）_____________； （2）如图（2），点G是BC上的点，将沿着直线AG折叠，使得点B落在AC上，对应点为H，连接，则_____________． 【答案】 【分析】（1）由正方形性质得到，再由翻折性质得到，继而证明为等腰直角三角形，设，解得正方形的边长为，据此解题； （2）由对折可得，设由（1）可知，，继而证明四边形是平行四边形，分别解得，的值即可解题． 【详解】解：（1）四边形是正方形，AC是对角线， 对折， 为等腰直角三角形， 设，则，， 正方形边长 ， 故答案为：； （2）由对折的选择可知， ，且均为等腰三角形， 设由（1）可知，， 且 四边形是平行四边形 正方形的面积， 故答案为：． 三、解答题 9．综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点，，在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点．若平行四边形纸片的面积为20，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 10．综合探究 综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 问题初探： （1）如1图，点O是平行四边形纸片对角线的交点，将该纸片沿过点O的线段折叠，使点C的对应点为，点B与点D重合，猜想和的数量关系，并说明理由； 迁移探究 （2）如2图，连接，与交于点P，猜想和的位置关系，并说明理由； 拓展探索 （3）如3图，若纸片沿过点O的线段折叠，点B不与重合，连接，猜想和的位置关系，并说明理由 【答案】（1），见解析 （2），见解析 （3），见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质： （1）由平行四边形的性质可得，，，推出，，证得，由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差关系，即可得出结论； （2）由折叠的性质可得，，，，结合平行四边形的性质，证得，可得，，进而推出，即可得出结论； （3）分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J，由（1）（2）可得，，，设，可得，证得，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 理由：是对角线的交点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：纸片沿过点O的线段折叠，点B与点D重合， ，，，， 在中，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ； （3）解：， 分别延长和交于点I，连接，，连接和交于点J， 由（2）得， 在中，， ， 纸片沿过点O的线段折叠， ， ， ， 由（1）得， ， ，， 设， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 11．【操作思考】如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为． （1）求的度数． 【探究应用】将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交，于点P，H，连结，． （2）求证：． （3）求证：平分． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，，即可求解； （2）由线段垂直平分线性质可得，再由等腰三角形性质可得，推出，即是等腰直角三角形，得出，利用勾股定理可得，即可证得结论； （3）过点P作的平行线分别交、于点M、N，可证得，得，再证明是等腰直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠得：，， ∴ ， 故的度数为．   （2）证明：如图，由（1）知， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴．     （3）解：如图3，过点P作的平行线分别交、于点M、N，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在正方形中，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、平行四边形的判定和性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键． 12．实践操作 (1)在矩形纸片中，，． ①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________， ②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度； ③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长； (2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长． 【答案】(1)①，②，③ (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用以及全等三角形的性质与判定，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为， ②根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，根据勾股定理，即可求解； ③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，证明，得出，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，即可求解； （2）连接，过，得，由②可得，，证明，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，进而求得，在直角三角形中，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则； ②矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为 ， 在直角三角形中，，， ， ， 在直角三角形中，， ③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为， ，， ， ， ， 设，则， 在直角三角形中，， 解得：； （2）解：连接，过，得，，由②可得，， ， ， 即， ，， ， ， ， 设，则， 在直角三角形中，， ， 解得：， ， 在直角三角形中，， ， ， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $