专题01 平面向量及其应用全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

专题01 平面向量及其应用全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 向量共线定理及其应用 1．（24-25高一下·四川泸州·月考）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【解题思路】根据平面向量共线定理逐一判断即可. 【解答过程】A：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； B：，因为，所以本选项三点共线； C：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线， 显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线， 故选：B. 2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【解题思路】利用平面向量共线定理求解. 【解答过程】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 3．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由平面向量的线性表示与共线定理求解即可. 【解答过程】由，，， 所以， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得 ， 则， 因为向量，不共线， 所以，解得：， 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为___________． 【答案】3 【解题思路】由平面向量减法运算得出，再由三点共线得，列出方程组求解即可． 【解答过程】由已知得，， 若，，三点共线，则，即， 所以，解得， 故答案为：3． 5．（23-24高一下·甘肃白银·月考）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【解题思路】（1）证明和共线即可证三点共线； （2）由向量共线定理求解即可． 【解答过程】（1）由题意， 且， 所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 题型2 向量线性运算的几何应用 6．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用和向量加法得到可解. 【解答过程】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C. 7．（24-25高一下·山西·月考）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【解题思路】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【解答过程】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 8．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解题思路】根据条件可以得出，取上靠近点的三等分点，即可得到，这样即可得出三点共线，画出图形，并得到，从而解出的值． 【解答过程】因为，所以， 如图，取上靠近点的三等分点，则， 所以，则三点共线； 所以与共线反向，则，且， ，解得．    故选：D. 9．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是___________. 【答案】13 【解题思路】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， ， 当且仅当，即时取等. 故答案为：13. 10．（2025高一·全国·专题练习）根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 【答案】(1)梯形 (2)平行四边形 (3)四边形是夹角为的菱形 【解题思路】（1）利用向量线性运算的几何意义及梯形的概念求解即可； （2）利用向量线性运算的几何意义及平行四边形的概念求解即可； （3）解法1：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，再根据向量的加法运算得，即可判断四边形是夹角为的菱形； 解法2：根据平行四边形法则得四边形是平行四边形，根据向量的几何意义得是的角平分线且，即可判断． 【解答过程】（1）因为，所以且， 即四边形是梯形． （2）因为，即，所以， 所以四边形是平行四边形． （3）解法1：因为，根据平行四边形法则，四边形首先是平行四边形． 又因为，所以， 即，所以， 即，所以四边形是夹角为的菱形，如图． 解法2：因为，根据平行四边形法则，四边形是平行四边形． ，分别为与和同向的单位向量， 它们的和在的角平分线上． 又因为的几何意义是与同向的单位向量为与和同向的单位向量之和， 所以是的角平分线且，即四边形是夹角为的菱形． 题型3 平面向量基本定理 11．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【解答过程】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D. 12．（24-25高一下·福建泉州·月考）四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用平面向量基本定理逐项判断即可. 【解答过程】对于A选项，由，，，则， ，故A错误； 对于C选项，由，，所以， 则 ，故C正确； 对于D选项，，故D错误. 对于B选项，由C知，又， 相加得，故B错误. 故选：C. 13．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，，令，，利用平面向量基本定理确定点的位置即可求解作答. 【解答过程】如图，令，， 于是， 而，并且不共线，因此，解得， 令，， 则， 从而，解得，因此点是线段的中点， 所以，所以. 故选：C. 14．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最小值为___________． 【答案】 【解题思路】利用向量的共线运算及平面向量基本定理找到的关系，再用代换法求最小值即可. 【解答过程】因为点为线段的中点，，所以，， 所以， 又因为在线段上， 所以有且， 根据平面向量基本定理可知：， 所以有，且，即， 则， 当且仅当，即，时取等号， 故答案为：. 15．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． (1)用，表示． (2)求． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用向量基本定理得到； （2），利用向量数量积运算法则得到，并得到，，利用向量余弦夹角公式得到； （3）由向量基本定理得到，由向量共线定理的推论得到，得到答案. 【解答过程】（1） （2）， ， 其中 ， ， ； （3）， 三点共线，∴设，即， 故， ∴，， ， . 题型4 向量坐标运算的几何应用 16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】先通过已知求出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解即可. 【解答过程】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以，解得，所以， 又，所以，所以，， 所以． 故选：C． 17．（24-25高一下·江西赣州·期末）勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，某同学绘制的赵爽弦图，在正方形和中，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影数量为 【答案】C 【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐一判断各个选项即可求解. 【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，，所以在上的投影数量为，而，故D错误. 故选：C. 18．（24-25高一下·山东青岛·期中）在直角梯形ABCD中，已知，点是BC边上的中点，点是CD边上一个动点．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】建立平面直角坐标系，设，，求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数配方法求最值可得答案. 【解答过程】以为原点，、所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则， 设，，则，， 所以， 因为，所以. 故选：A. 19．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）已知点，， (1)若A，B，C三点共线，求实数k的值； (2)若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求得，，再根据共线向量列方程即可求解； （2）根据题意列方程求得点的坐标以及的值，进一步根据向量夹角的余弦的坐标公式即可求解. 【解答过程】（1）因为A，B，C三点共线，所以，共线，即， 又，，则有，所以； （2）设，因为四边形为矩形，所以，， 又，，， 得， 则，，， 则，，则， 综上，向量与夹角的余弦值为. 20．（24-25高一下·北京·期中）如图所示，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是AB和BC的中点． (1)求证：（用向量法证明）； (2)设，求的值． (3)若点P（不与点E重合）为正方形ABCD边上的动点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的坐标表示推理得证. （2）利用向量线性运算的坐标表示，结合相等向量列式求解. （3）按点的不同位置设出其坐标，利用数量积的坐标表示列式求出范围. 【解答过程】（1）以直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， ，， 所以. （2）由（1）知，， 由，得，解得， 所以. （3）由（1）知， 当在线段上时，设，，； 当在线段上时，设，， ； 当在线段上时，设，，； 当在线段上时，设，， ， 所以的取值范围是. 题型5 用向量解决夹角、线段长度问题 21．（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【解答过程】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 22．（24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【解答过程】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 23．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【解答过程】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 ， ， 故选：D． 24．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【解答过程】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 25．（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【解题思路】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【解答过程】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 题型6 向量与几何最值 26．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围. 【解答过程】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 27．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【解题思路】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【解答过程】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系. 则 ， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是8. 故选：C. 28．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】设夹角为，分析可得，当，则，当时，以为原点，、分别为轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算在线段（除）上、在线段上运动和在线段（除）上运动时，的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案. 【解答过程】设的夹角为， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，G到AF的距离为， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C. 29．（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图，在梯形中，，，，在线段BC上（含端点），则的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】利用可求得，建立平面直角坐标系设得出的面积表达式，结合二次函数性质求得结果. 【解答过程】由，可得， 则 ， 可得， 又，所以， 过点作，垂足为，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立平面直角坐标系，如下图所示： 则，所以，； 设，则， 可得， 所以 ， 显然当时，取得最小值为，当时，取得最大值15； 因此的取值范围为. 故答案为：. 30．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解答过程】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 题型7 正、余弦定理判定三角形形状 31．（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解题思路】利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由此可得出结论. 【解答过程】因为，所以， 由正弦定理得， 整理得， 因为，所以，故，故，所以为直角三角形． 故选：A． 32．（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解题思路】方法一：利用正弦两角和差公式进行化简得到，再结合题意讨论即可求解； 方法二 ：利用正弦定理及余弦定理进行化简可得，再结合题意讨论即可求解； 【解答过程】方法一  ，， ， ， ，或， 又由可知，，， ，为直角三角形．故A正确. 方法二 ：记的内角所对的边分别为，由正弦定理、余弦定理及题设条件可得，且， 化简得，，即， 为直角三角形.故A正确. 故选：A. 33．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解题思路】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 34．（24-25高一下·江苏·月考）在中，角的对边分别为，若，，则的形状是___________． 【答案】等边三角形 【解题思路】由正弦定理边化角得到，再结合即可求解. 【解答过程】由， 可得：， 即，又， 所以，即， 又， 所以， 所以的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形. 35．（24-25高一下·重庆南岸·期中）的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 【解题思路】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的和角公式化简，进而求出角的大小；（2）利用余弦定理化简已知等式，得到边与的关系，结合已知边的值求出边，最后根据余弦定理求出，进而判断形状. 【解答过程】（1）已知，由正弦定理将边化为角可得， 即， 可得， 因为，所以，则， 那么， 因为是三角形内角，所以，等式两边同时除以可得， 即， 又因为，所以； （2）已知，由余弦定理，代入可得：，即， 化简得，所以，又，则，   由余弦定理，已知，，， 则，所以， 因为，且，所以是等腰直角三角形. 题型8 三角形面积的最值或范围问题 36．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值. 【解答过程】 因为，， 所以. 又因为， 所以，. 根据等面积法可得：，即， 整理得. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 则，解得：，此时，时等号成立. 故. 故选：D. 37．（24-25高三上·江苏盐城·月考）在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值． 【解答过程】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号， 因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 38．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由余弦定理结合条件，得，再由余弦定理结合基本不等式求得的最小值，进而得到的最大值，再求的面积的最大值即可. 【解答过程】在中， 又∵，∴ 故 ， ∵,∴, 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为． 故选：B. 39．（24-25高一下·江苏徐州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为____________. 【答案】 【解题思路】由题意得，结合余弦定理、基本不等式有的最大值为12，结合三角形面积公式即可得解. 【解答过程】由题意，所以， 而，解得， 由余弦定理有， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最大值为12，所以的面积的最大值为. 故答案为：. 40．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解； （2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解. 【解答过程】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及，可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 题型9 证明三角形中的恒等式或不等式 41．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)见解析 (2) 【解题思路】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式，即可证明； （2）首先根据正弦定理边化角，再结合（1）的结论，以及三角恒等变换，化简 ，再结合基本不等式求最值. 【解答过程】（1）由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以 ， 所以的最大值为. 42．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)16. 【解题思路】（1）应用正弦边角关系及三角恒等变换、三角形内角和性质化简已知条件为，即可证； （2）应用余弦定理及，进而得，结合已知（1）结论求边长，即可得. 【解答过程】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 43．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）根据已知得，再应用余弦边角关系求角； （2）根据已知及（1）得，应用正弦边角关系易得，再应用三角形内角关系及和角正弦公式可得，变形整理即可证. 【解答过程】（1）由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； （2）因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以，故. 44．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）由正弦值得，再应用余弦定理列方程求得，最后应用三角形面积公式求面积； （2）由（1）及二倍角余弦公式得，再应用余弦定理求得，结合三角形内角的性质即可证. 【解答过程】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 45．（2025·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）分别在，，中，利用正弦定理即可得证； （2）设，则，，在，中，利用正弦定理即可得证. 【解答过程】（1）如图．在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以， 所以． （2）因为， 所，所以． 由可知，均为锐角． 由（1）知，． 设，则，． 由，得． 在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 所以． 题型10 求三角形中的边长或周长的最值或范围 46．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C. 47．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 48．（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用余弦定理、正弦定理，三角形面积的正弦表示以及三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】由题意得：，得：， 又，得：， 由余弦定理得：，化简得：， 由正弦定理得: ， 因为：，则：， 又因为正弦函数在上单调递增，所以：，即：， 则：， 因为为锐角三角形，则：，解得：，则：， 所以： ， 令：，则函数在上单调递增， 故，故D项正确. 故选：D. 49．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】由正弦定理边角互化结合余弦定理可得，则，然后由和差化积公式结合三角函数性质可得答案. 【解答过程】因为，所以， 由正弦定理得, 则由余弦定理得，又，所以. 则. 因，则，由和差化积公式得： . 因，则，. 从而，则. 故答案为：. 50．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到求解； （2）由正弦定理和三角恒等变换公式，有，根据为锐角三角形，求得的范围，结合三角函数的性质求解. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，可得，所以， 所以，可得. （2）由正弦定理可得， 所以， 则 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 可得，所以，则， 即，所以的周长， 所以的周长的取值范围为. 题型11 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 51．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求的取值范围. 【解答过程】因为，故， 由正弦定理可得，而为三角形内角，故， 故，而为三角形内角，故为锐角， 故，故，故即， 故（为外接圆半径），故， 因为，，所以，则. 故 ， 其中，且， 由锐角三角形可得，故， 故， 因为，且，故，则，， 所以时，，取得最大值. 当时，， 当时，， 故， 故选：C. 52．（24-25高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】化简为，结合余弦定理可求解；根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可． 【解答过程】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：B. 53．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）. 【解题思路】（Ⅰ）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （Ⅱ）由（1）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解. 【解答过程】（Ⅰ）由题意，函数， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是，. （Ⅱ）由（1）可得，因为，可得， 由正弦定理可知，所以，， 由及为锐角三角形，解得， 则 . 因为，可得，所以， 所以. 54．（24-25高一下·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）根据图形求出最小正周期可求得，代入点可求得； （2）根据求得，根据面积求出，即可由余弦定理求得. 【解答过程】解：（1）据图象可得，故， 由得：． 由得：． 由知，， ，解得， ； （2），， ，， ，， 由题意得的面积为，解得， 由余弦定理得，解得：. 55．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且 .已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用余弦定理和面积公式即可得到角的值. （2）先利用数量积公式得到的解析式，进而得到边的值.利用正弦定理将边换成角，然后利用三角函数知识求解的取值范围. 【解答过程】（1）由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. （2）由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 题型12 距离、高度、角度测量问题 56．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔塔高时，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在中，利用正弦定理求，再在直角中，求即可. 【解答过程】如图： 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理可得： （）. 因为平面，平面，所以， 又，所以为等腰直角三角形，且. 所以 . 故选：C. 57．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度， 【解答过程】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C. 58．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【解题思路】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【解答过程】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以，故， 此时灯塔C位于渔船的北偏东方向. 故选：D. 59．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为__________米． 【答案】 【解题思路】应用正弦定理求，再由即可求塔高. 【解答过程】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米. 故答案为：. 60．（24-25高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【解题思路】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【解答过程】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量及其应用全章12大重点题型归纳（必考60题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 向量共线定理及其应用 1．（24-25高一下·四川泸州·月考）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 3．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知两个不共线的向量，，且，，，若A，B，D三点共线，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知向量不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为___________． 5．（23-24高一下·甘肃白银·月考）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 题型2 向量线性运算的几何应用 6．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·山西·月考）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 8．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知点是内一点，满足，则实数为（   ） A．2 B． C．4 D． 9．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是___________. 10．（2025高一·全国·专题练习）根据下列各小题的条件，试判断四边形的形状． (1)； (2)； (3)且． 题型3 平面向量基本定理 11．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 12．（24-25高一下·福建泉州·月考）四边形中，，，，，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知中，D，E分别为线段AB，BC上的点，直线AE，CD交于点P，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最小值为___________． 15．（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，已知，，，，点为边的中点，，相交于点． (1)用，表示． (2)求． (3)若，求的值． 题型4 向量坐标运算的几何应用 16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 17．（24-25高一下·江西赣州·期末）勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，某同学绘制的赵爽弦图，在正方形和中，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影数量为 18．（24-25高一下·山东青岛·期中）在直角梯形ABCD中，已知，点是BC边上的中点，点是CD边上一个动点．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·湖北宜昌·期末）已知点，， (1)若A，B，C三点共线，求实数k的值； (2)若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值． 20．（24-25高一下·北京·期中）如图所示，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是AB和BC的中点． (1)求证：（用向量法证明）； (2)设，求的值． (3)若点P（不与点E重合）为正方形ABCD边上的动点，直接写出的取值范围． 题型5 用向量解决夹角、线段长度问题 21．（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 23．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 25．（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型6 向量与几何最值 26．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 28．（2025高一下·江苏南京·专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 29．（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图，在梯形中，，，，在线段BC上（含端点），则的取值范围为__________. 30．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 题型7 正、余弦定理判定三角形形状 31．（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 32．（24-25高一下·河南安阳·期末）在中，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 33．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 34．（24-25高一下·江苏·月考）在中，角的对边分别为，若，，则的形状是___________． 35．（24-25高一下·重庆南岸·期中）的内角的对边分别为，已知 (1)求角的大小； (2)若，，判断三角形形状． 题型8 三角形面积的最值或范围问题 36．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 37．（24-25高三上·江苏盐城·月考）在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·江苏徐州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为____________. 40．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 题型9 证明三角形中的恒等式或不等式 41．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 42．（25-26高三上·河北保定·月考）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 43．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 44．（2025·北京东城·一模）在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 45．（2025·全国·模拟预测）在中，点D，E都是边BC上且与B，C不重合的点，且点D在B，E之间，． (1)求证：． (2)若，求证：． 题型10 求三角形中的边长或周长的最值或范围 46．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是__________. 50．（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期中）锐角三角形的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求的周长的取值范围. 题型11 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 51．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 52．（24-25高一下·四川成都·期中）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 54．（24-25高一下·四川巴中·期末）已知函数的部分图象如图所示．    （1）求函数的解析式； （2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求． 55．（24-25高一下·天津武清·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且 .已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 题型12 距离、高度、角度测量问题 56．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，某同学为了测量长江对岸的武汉龟山电视塔塔高时，选取与龟山电视塔塔底B在同一水平面内蛇山上两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 57．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25高一下·浙江温州·期中）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 59．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为__________米． 60．（24-25高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $