专题04 平面直角坐标系中图形面积的求法（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题04 平面直角坐标系中图形面积的求法 目录 1 类型一、直接求图形的面积 1 类型二、利用补形或分割法求图形的面积 7 12 类型一、直接求图形的面积 三角形、矩形、平行四边形：直接用面积公式，需先通过坐标差计算边长和垂直距离。 例1．如图，在平面直角坐标系中，梯形ABCD的边BC平行于x轴，AB垂直于x轴．已知点，，，则梯形ABCD的面积为__________． 【答案】15 【分析】本题考查了梯形面积的计算与坐标的应用，掌握利用坐标求线段长度，结合梯形面积公式计算是解题的关键． 先确定梯形各顶点的坐标，利用坐标求出梯形的上底、下底和高的长度，再代入梯形面积公式计算． 【详解】解：∵垂直于轴，， ∴； 到的距离为：； 由，得； 梯形的高为的长度，即； 梯形面积公式：， 代入得：． 故答案为：． 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中，，，，，． (1)求证：； (2)求证：；（提示：过点A作于点F，作的延长线于点E，） (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)128 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的坐标特点、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能准确灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据四边形的内角和可求得，再结合已知可得，则根据直角三角形性质即可证明结论；（2）过点A作于点F，作的延长线于点E，根据点的坐标可得，并可推出，利用角平分线的性质定理可得，则由可得，根据全等三角形对应边相等即可证得结论； （3）如图2：作轴于点G，利用已证结论并结合，则可证明，则可得，即可利用三角形面积之和求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：如图，在四边形中，， ， ， ， ， ， 又， ； （2）证明：如图，过点A作于点F，作的延长线于点E， ，，， ，， ， ， 又， ，即平分， 又，， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，作轴于点G， ， ， ， 在和中， ， ． ， ． 四边形的面积 ． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； 【答案】(1)，， (2)平行 (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、非负数的性质、坐标与图形性质、三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质得到、、，然后计算即可解答； （2）根据横坐标相同的两点构成的直线与y轴平行即可判断； （3）根据点到的距离为5以及点B、C的横坐标为4，可以求得m的值，然后根据m的值分两种情况求的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ，，， ，，． （2）解：由（1）可知：，， 点、点的横坐标相同， 平行于轴． （3）解：点到的距离为5，，， ， ， 解得：或， 点的坐标为或， 点的坐标为， ， 当时，； 当时，． 综上，的面积为或． 变式1-3．如图，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)请在图中标出点和点； (2)求出的面积： (3)若在轴上有一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，解题的关键是掌握坐标平面点的特征，灵活运用所学知识解决问题． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点C的坐标，再在坐标系中描出点A和点C即可； （2）根据求解即可； （3）根据题意可得，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点与点关于轴对称， ∴点C的坐标为， 如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，； （3）解：由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴点D的坐标为或． 类型二、利用补形或分割法求图形的面积 一、补形法实战步骤（以四边形ABCD为例） 坐标描点：设A(1,2)、B(4,5)、C(6,3)、D(3,0) 构造外接矩形： 取x_min=1, x_max=6；y_min=0, y_max=5 矩形面积=(6-1)×(5-0)=25 计算补入区域： 直角三角形①：(4-1)×(5-2)/2=4.5 直角三角形②：(6-4)×(5-3)/2=2 直角三角形③：(6-3)×(3-0)/2=4.5 直角三角形④：(3-1)×(2-0)/2=2 最终面积：25-(4.5+2+4.5+2)=12 二、分割法操作指南（以五边形为例） 选择分割方案： 方案一：连接不相邻顶点形成三角形组合 方案二：作水平/垂直线分割为梯形+三角形 坐标计算要点： 三角形面积公式：|(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2)/2| 梯形面积公式：(上底+下底)×高/2 易错警示： 避免重复计算重叠区域 注意坐标系中点的顺序（顺时针/逆时针影响正负） 例2．如图，已知点，，，则的面积为________． 【答案】18 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积． 如图，作矩形，根据，计算即可解决问题． 【详解】解：如图，作矩形， 则 ． 故答案为：． 变式2-1．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解； （2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，． ∵点，，，， ∴，，，，， ∴ ． （2）解：设， ∵三角形的面积等于四边形面积的一半，， ∴， 解得：或， ∴或． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是． (1)点A关于x轴对称的点C的坐标是______； (2)的面积是______； (3)如果点E在x轴上，且，那么点E的坐标是______． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案； （2）根据求解即可； （3）当点E在x轴正半轴上时，，当点E在x轴的负半轴上，且在直线下方时，，当点E在x轴的负半轴上，且在直线上方时，，据此分别建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴点A关于x轴对称的点C的坐标是； （2）解：由（1）可得， ∴； （3）解： 如图所示，当点E在x轴的正半轴上时，连接 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在x轴的负半轴上，且在直线下方时，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去）； 如图所示，当点E在x轴的负半轴上，且在直线上方时， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点E的坐标为或． 变式2-3．如图，已知点，，，求的面积． 【答案】3.5 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，能将的面积转化为与梯形的面积和减去的面积是解题的关键． 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，用与梯形的面积和减去的面积即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ，，， ，，，， ， ． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标系内有一点（不与点重合），使得与全等，这样的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定，全等三角形的判定及图形坐标特征是解题的关键． 画出图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示，满足条件的点有三个，分别为 故选：C 2．如图，，两点的坐标分别为，，是轴上一点，且三角形的面积为6，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质：能根据点的坐标表示它到两坐标轴的距离．也考查了三角形的面积公式． 根据三角形面积公式得到，求出的值，再写出点坐标． 【详解】解：由题意，得，解得， ①当点在点的上边时，， ②当点在点的下边时，， 故答案为：． 3．模型再现：如图1，在中，，，，，垂足分别为E，D，探究图中DE与BE，AD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，得到，，从而可以得出结论． (1)请你根据小王得到的结论填空：已知，，则________； (2)如图2，在中，，，过点B作，过点A作，垂足分别为E，D． ①猜想DE与BE，AD之间的数量关系，并说明理由； ②已知，，求四边形ADBE的面积； (3)如图3，在等腰中，，，则B点坐标为________，若点P（不与点B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为________． 【答案】(1)16 (2)①，理由见解析；②64 (3)；或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、线段和差： （1）根据线段之间的关系得到即可； （2）①通过证明得出线段关系，进而得出三者之间的关系； ②先求四个三角形的面积，则就是； （3）利用等腰三角形的性质得出，进而证明，求出点的坐标，再分三种情况讨论：当公共边为时，与全等；当为公共边时，且；当为公共边时，且． 【详解】（1）解：， ， ． 故答案为：． （2）解：①． 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ． ②，， ，， ． （3）解：如图所示，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图所示， 当公共边为时， 与全等，则是等腰直角三角形， ， 同理， ， ； 当为公共边时，且时， 同理可得， ， ； 当为公共边时，且时， 同理可得， ， ， ； 综上所述，的坐标为：或或． 故答案为：；或或． 4．在平面直角坐标系中，对点作如下变换：若，作点关于轴的对称点；若，作点关于轴的对称点，我们称这种变换为“变换”．例如：点作“变换”后的坐标为点作“变换”后的坐标为． (1)点作“变换”后的坐标为___________；点作“变换”后的坐标为___________； (2)已知点，，在所在直线下方作以为直角边的等腰直角三角形，若点是点作“变换”后对应的点，其中，求的值； (3)已知点，，，其中，且点，作“变换”后对应的点分为两点，，求的值． 【答案】(1) ； (2) (3) 【分析】本题考查点的对称变换及三角形面积计算． （1）直接根据YS变换规则求解； （2）先求点P变换后的点F，再根据等腰直角三角形的性质确定F点坐标，代入求解a和b，计算； （3）先求点A和B变换后的点M和N，再利用三角形面积公式建立方程求解m． 【详解】（1）解：点中作关于轴的对称点，得； 点中作关于y轴的对称点，得 （2）解：∵点且， ∴，作关于轴的对称点，得 等腰中，，，以为直角边，在下方，则为或 若F，则，，解得，，此时，且，符合变换规则，∴， 若，则，，解得，，但不满足， 故； （3）点中，作关于x轴的对称点，得 点中，作关于y轴的对称点，得 点 与横坐标相同，垂直， 到直线的水平距离为 解得 (因)， ． 5．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． (1)写出点A，B，C，D的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)，，， (2)14 【分析】（1）根据图形结合坐标系写出各点坐标即可； （2）利用长方形的面积减去四个顶点上三角形的面积即可． 【详解】（1）解：由平面直角坐标系可得， ，，，． （2）解：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，四边形的面积等，结合网格特点以及平面直角坐标系的特征确定点的坐标是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为； （2）解：． 7．如下图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，，求四边形ABCD的面积． 【答案】19 【分析】本题考查了平面直角坐标系中不规则图形的面积计算，掌握补形法和分割法是解题的关键，这两种方法也是坐标系中计算多边形面积的常用技巧． 用一个大矩形将四边形完全覆盖，先计算矩形面积，再减去矩形内三个直角三角形的面积，通过整体减部分得到四边形面积，或连接辅助线，将四边形分割为三个三角形，分别计算每个三角形的面积，再求和得到四边形面积． 【详解】解：如图①，作矩形， 则 ． 一题多解如图②，记AB交y轴于点E，连接CE， 则 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，两点的坐标分别为，，且 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，运动时间为秒． (1)求线段，的长； (2)点 在运动过程中，当的面积与的面积比为时，求的值； (3)在（2）中所确定的点 的情况下，过点作直线与直线垂直，垂足为，直线与轴交于点，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行计算、坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据非负数的性质列出方程组，解方程组分别求出、； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，判定根据全等三角形的性质得到点的坐标． 【详解】（1）解：，， ∴，解得， ∴， ∴； （2）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，运动时间为秒， ∴． 的面积与的面积比为， ∴． ∵， ∴． 当点在线段上时，， ∴； 当点在线段的延长线上时，， ∴． 综上所述，当△的面积与△的面积之比为时，的值为或； （3）解：由（2）知． 当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，同理，得到， ∴， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 9．在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即． (1)求点的“特征值”． (2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数的图象和性质，正确理解定义是解题的关键. ()由平面直角坐标系中，定义一种新运算即可求解； ()设点的坐标为，由，得到方程，进而得出，求出所有点与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【详解】（1）解：． （2）设，由题意可知，． 点在第二象限， ，， ， 即， 点在直线上． 令直线与轴，轴分别交于点，则有，， ，． ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．点C的坐标满足，连接和．按要求解相关点的坐标： (1)求点C的坐标； (2)若x轴上有一点D使得的面积为6，求点D的坐标； (3)平移线段得到线段（点C对应点P，点A对应点Q），且点P在线段上，当的面积为8时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点Q的坐标为 【分析】（1）利用非负数的性质即可求解； （2）设点D的坐标为，则得，由面积关系即可求解； （3）设点P的坐标为，过点C作轴于点E，由求得，利用平移的性质即可求得点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 即点C的坐标为； （2）解：设点D的坐标为，则得， ∵的面积为6， ∴， 即， 解得：或， ∴点D的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为，则， 如图，过点C作轴于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴点P的坐标为， ∵线段平移得到线段， ∴平移为向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标平移，非负数的性质，割补法求面积等知识，注意数形结合． 11．在平面直角坐标系中，已知，，，，于点E，于点F． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得：，，再证明可得，再结合点B的位置即可解答； （2）根据三角形的面积公式以及、即可证明结论． 【详解】（1）解：如图：∵于点E，于点F． ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)或 【分析】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标、三角形的面积等知识点，灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）先求出，再根据点C的坐标知点C到的距离为4，然后根据三角形的面积公式求解即可； （2）设点P坐标为，根据三角形面积公式得，再根据面积为面积的两倍时，然后解方程求得m的值，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，点C到的距离为4， ∴． （2）解：设点P坐标为，即，， ∵面积为面积的两倍 ∴，即，解得：， ∴点P坐标为或． 13．如图，已知，，且满足．点是线段中点，动点，分别在线段，上运动，且始终有． (1)请直接写出点的坐标； (2)请判断的形状并说明理由； (3)下列结论：①四边形周长为定值； ②四边形面积为定值； ③为定值．请选择一个正确的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3)①错误，证明见解析；②正确，证明见解析；③错误，证明见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四边形的内角和等知识点，证明是解题的关键． （1）由可得，即可确定点A的坐标； （2）如图：连接，先证明是等腰直角三角形，再证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （3）①四边形周长为,再根据不是定值，即可判断①错误；②根据，可得，即有即可证明②．③先说明，再根据不是定值即可判断③错误． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：等腰直角三角形，理由如下， 如图：连接， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， ∵点D是线段中点， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴等腰直角三角形； （3）解：①错误，理由如下： ∵， ∴, ∵， ∴四边形周长为, ∵的长度不是定值， ∴四边形周长不是定值。 ②正确，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积为定值9． ③错误，理由如下： 由（2）可知：为等腰直角三角形， ∴， ∴, ∵不是定值， ∴不为定值． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平面直角坐标系中图形面积的求法 目录 1 类型一、直接求图形的面积 1 类型二、利用补形或分割法求图形的面积 7 12 类型一、直接求图形的面积 三角形、矩形、平行四边形：直接用面积公式，需先通过坐标差计算边长和垂直距离。 例1．如图，在平面直角坐标系中，梯形ABCD的边BC平行于x轴，AB垂直于x轴．已知点，，，则梯形ABCD的面积为__________． 变式1-1．如图，在平面直角坐标系中，，，，，． (1)求证：； (2)求证：；（提示：过点A作于点F，作的延长线于点E，） (3)求四边形的面积． 变式1-2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中a、b、c满足关系式：． (1)求a、b、c的值； (2)请直接判断与y轴的位置关系； (3)若平面内有一点，且点到的距离为5，请求出的面积； 变式1-3．如图，在平面直角坐标系内，点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)请在图中标出点和点； (2)求出的面积： (3)若在轴上有一点，且，求点的坐标． 类型二、利用补形或分割法求图形的面积 一、补形法实战步骤（以四边形ABCD为例） 坐标描点：设A(1,2)、B(4,5)、C(6,3)、D(3,0) 构造外接矩形： 取x_min=1, x_max=6；y_min=0, y_max=5 矩形面积=(6-1)×(5-0)=25 计算补入区域： 直角三角形①：(4-1)×(5-2)/2=4.5 直角三角形②：(6-4)×(5-3)/2=2 直角三角形③：(6-3)×(3-0)/2=4.5 直角三角形④：(3-1)×(2-0)/2=2 最终面积：25-(4.5+2+4.5+2)=12 二、分割法操作指南（以五边形为例） 选择分割方案： 方案一：连接不相邻顶点形成三角形组合 方案二：作水平/垂直线分割为梯形+三角形 坐标计算要点： 三角形面积公式：|(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2)/2| 梯形面积公式：(上底+下底)×高/2 易错警示： 避免重复计算重叠区域 注意坐标系中点的顺序（顺时针/逆时针影响正负） 例2．如图，已知点，，，则的面积为________． 变式2-1．在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是． (1)点A关于x轴对称的点C的坐标是______； (2)的面积是______； (3)如果点E在x轴上，且，那么点E的坐标是______． 变式2-3．如图，已知点，，，求的面积． 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标系内有一点（不与点重合），使得与全等，这样的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，，两点的坐标分别为，，是轴上一点，且三角形的面积为6，则点的坐标为________． 3．模型再现：如图1，在中，，，，，垂足分别为E，D，探究图中DE与BE，AD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：先根据同角的余角相等得，再证明，得到，，从而可以得出结论． (1)请你根据小王得到的结论填空：已知，，则________； (2)如图2，在中，，，过点B作，过点A作，垂足分别为E，D． ①猜想DE与BE，AD之间的数量关系，并说明理由； ②已知，，求四边形ADBE的面积； (3)如图3，在等腰中，，，则B点坐标为________，若点P（不与点B重合）在坐标平面内，若与全等，则点P的坐标为________． 4．在平面直角坐标系中，对点作如下变换：若，作点关于轴的对称点；若，作点关于轴的对称点，我们称这种变换为“变换”．例如：点作“变换”后的坐标为点作“变换”后的坐标为． (1)点作“变换”后的坐标为___________；点作“变换”后的坐标为___________； (2)已知点，，在所在直线下方作以为直角边的等腰直角三角形，若点是点作“变换”后对应的点，其中，求的值； (3)已知点，，，其中，且点，作“变换”后对应的点分为两点，，求的值． 5．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，四边形ABCD是格点四边形（顶点为网格线的交点）． (1)写出点A，B，C，D的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标． (2)求的面积． 7．如下图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，，求四边形ABCD的面积． 8．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，两点的坐标分别为，，且 ，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向轴正方向运动，运动时间为秒． (1)求线段，的长； (2)点 在运动过程中，当的面积与的面积比为时，求的值； (3)在（2）中所确定的点 的情况下，过点作直线与直线垂直，垂足为，直线与轴交于点，请直接写出点的坐标． 9．在平面直角坐标系中，定义一种新运算：对于点，规定P的“特征值”为横坐标的绝对值的2倍与纵坐标的绝对值之和，即． (1)求点的“特征值”． (2)若点B在第二象限且满足“特征值”，求满足条件的所有点B与坐标轴围成的图形的面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．点C的坐标满足，连接和．按要求解相关点的坐标： (1)求点C的坐标； (2)若x轴上有一点D使得的面积为6，求点D的坐标； (3)平移线段得到线段（点C对应点P，点A对应点Q），且点P在线段上，当的面积为8时，求点Q的坐标． 11．在平面直角坐标系中，已知，，，，于点E，于点F． (1)求点B的坐标； (2)求证：． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)求的面积； (2)点P是y轴上一动点，当面积为面积的两倍时，求点P的坐标． 13．如图，已知，，且满足．点是线段中点，动点，分别在线段，上运动，且始终有． (1)请直接写出点的坐标； (2)请判断的形状并说明理由； (3)下列结论：①四边形周长为定值； ②四边形面积为定值； ③为定值．请选择一个正确的结论并说明理由． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $