专题05 函数图象信息题（压轴题专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题05 函数图象信息题 目录 1 类型一、一次函数图象与字母系数的关系 1 类型二、动点问题中判断函数图象 3 类型三、从函数图像中获取信息 5 9 类型一、一次函数图象与字母系数的关系 一次函数的标准形式为 y = kx + b（k ≠ 0），其中 k 为斜率（决定直线的倾斜方向和程度），b 为截距（决定直线与y轴的交点位置）。理解并掌握 k 和 b 的几何意义，是解决相关问题的核心。 一、 字母系数的几何意义解析 斜率 k 的几何意义： 决定直线的倾斜方向： k > 0：直线从左向右呈上升趋势，函数值 y 随 x 的增大而增大。 k < 0：直线从左向右呈下降趋势，函数值 y 随 x 的增大而减小。 决定直线的倾斜程度： |k| 越大，直线越陡峭，越靠近 y 轴。 |k| 越小，直线越平缓，越靠近 x 轴。 特别地，k = 0 时，函数退化为常数函数 y = b，图象是平行于 x 轴的直线。 截距 b 的几何意义： b 表示直线与 y 轴交点的纵坐标，即交点为 (0, b)。 b > 0：直线交 y 轴于正半轴。 b = 0：直线经过原点，此时函数为正比例函数。 b < 0：直线交 y 轴于负半轴。 二、 常见题型与解题策略 题型一：根据 k、b 的符号判断图象位置 策略：采用“象限定位法”。 第一步定走向：由 k 的符号确定直线是上升（一三象限趋势）还是下降（二四象限趋势）。 第二步定交点：由 b 的符号确定直线与 y 轴交于正半轴还是负半轴。 第三步画草图：结合前两步，快速画出直线可能经过的象限草图，与选项对比。 口诀速记：“k正一三负二四，b正上移负下移”（指相对于过原点的直线）。 题型二：根据图象位置判断 k、b 的符号 策略：观察图象特征，逆向推理。 判断 k：观察从左到右的趋势。若上升，则 k > 0；若下降，则 k < 0。 判断 b：找到直线与 y 轴的交点。若交点在 x 轴上方，则 b > 0；若在原点，则 b = 0；若在 x 轴下方，则 b < 0。 题型三：比较同一坐标系中不同直线 k、b 的大小 比较 k 的大小： 对于上升直线（k>0）：直线越陡，|k|越大，k值越大。 对于下降直线（k<0）：直线越陡，|k|越大，但 k 值本身越小（负数比较，绝对值大的反而小）。 技巧：想象用一把直尺从左向右“爬坡”，坡度越陡，|k|越大。 比较 b 的大小：直接看直线与 y 轴交点的纵坐标，位置越高，b 值越大。 题型四：根据 k、b 的关系式（如 k+b, k-b）判断图象 策略：寻找特殊点。 令 x = 1，则 y = k + b，即直线过点 (1, k+b)。通过判断该点与 x 轴、y 轴或其他参考线的位置关系来解题。 令 x = -1，则 y = -k + b，即直线过点 (-1, -k+b)。 将题目中的关系式转化为点的坐标，是解决此类问题的关键。 例1．已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 变式1-2．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．若，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 类型二、动点问题中判断函数图象 核心解题策略与步骤 策略一：分段分析，界点优先 划分阶段：仔细读题，根据动点的运动路径、速度或图形结构的变化，确定整个运动过程分为几个阶段。通常以动点到达关键位置为界。 找出临界点：计算每个临界点对应的自变量 x 的值（时间或位置）。 分段推理：对每个阶段，分析所求量 y 如何随 x 变化，推导或判断其函数关系类型。 策略二：几何直观与极限思想 趋势判断：思考在某个阶段内，随着动点移动，y 是持续增大、减小，还是先增后减/先减后增。这决定了图象在该段是单调上升/下降，还是有“顶点”。 速度判断：对于面积、长度问题，若 y 的变化速率恒定，则为一次函数（直线）；若变化速率本身在变（如越来越快或越来越慢），则为二次函数（抛物线）。 极限思考：想象动点无限接近临界点时，y 值会趋近于多少，这有助于判断图象在该点的走向是平滑连接还是出现尖角。 例2．某容器的截面如图所示，如果以固定的流量向这个空的容器注水，直至注满，下列图象中能大致表示水面高度与注水时间s之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．新情境  端午假期，小明早晨从家出发出门晨练，他不间断地匀速跑了后回家．已知小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数关系图象如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（    ）． A．B． C． D． 变式2-2．向如图所示的空容器内注水，注满为止，则水面高度关于注水量的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．老师组织学生们去生态园郊游，从学校出发沿如图所示的行程匀速去生态园．设他们与学校的距离为s（单位：m），所用时间为t（单位：min）．下列选项中的图象，可能表示s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 类型三、从函数图像中获取信息 一、 图象信息要素全解析 在观察一个函数图象时，应系统性地关注以下要素，这构成了解题的信息基础： 坐标系与基本量： 横轴（x轴）与纵轴（y轴）：明确自变量和因变量分别代表什么（如时间、距离、价格、数量等）。 原点、单位长度与刻度：确保读数准确，避免比例误判。 图象的“静态”特征——点： 与坐标轴的交点： 与x轴交点（零点）：纵坐标y=0，即方程 f(x)=0 的解。 与y轴交点：横坐标x=0，即函数值 f(0) 的值。 特殊点： 顶点（最值点）：图象的最高点（最大值点）或最低点（最小值点）。关注其横坐标（取得最值的x值）和纵坐标（最值本身）。 端点：图象在给定观察范围内的起点和终点。 拐点或尖点：函数增减趋势发生改变或导数不存在（图象出现“尖角”）的点。 已知坐标的点：题目可能直接标出某些点的坐标，这些点是建立函数关系或进行计算的直接依据。 图象的“动态”特征——线： 变化趋势（单调性）： 上升（递增）：图象从左向右看呈上升趋势，表示函数值随自变量增大而增大。 下降（递减）：图象从左向右看呈下降趋势，表示函数值随自变量增大而减小。 水平（恒定）：图象平行于x轴，表示函数值为常数。 变化快慢（陡缓程度）： 图象越陡峭，表示函数值随自变量变化的速度越快（绝对值较大的导数）。 图象越平缓，表示函数值随自变量变化的速度越慢。 对称性： 关于y轴对称：偶函数特征，满足 f(-x) = f(x)。 关于原点对称：奇函数特征，满足 f(-x) = -f(x)。 关于直线 x=a 对称：具有轴对称性。 周期性：图象有规律地重复出现。 图象的“范围”特征——域： 定义域：图象在x轴方向上投影的区间，即所有有图象存在的x的取值范围。 值域：图象在y轴方向上投影的区间，即所有有图象存在的y的取值范围。 二、 核心解题策略与步骤 策略一：有序观察，分层提取 遵循“点→线→域”的观察顺序。先找关键点（交点、顶点、端点），再判断整体趋势（增减区间），最后确定范围（定义域、值域）。避免信息遗漏。 策略二：结合坐标，定量计算 求函数值：对于给定的x值，过该点作x轴的垂线与图象相交，交点的纵坐标即为对应的f(x)值。 求自变量值：对于给定的y值，过该点作y轴的垂线与图象相交，交点的横坐标即为使f(x)等于该y值的x值（可能有多个）。 求方程的解：方程 f(x)=a 的解，即直线 y=a 与图象交点的横坐标。 求不等式的解集： f(x) > a：对应图象在直线 y=a 上方部分所对应的x的范围。 f(x) < a：对应图象在直线 y=a 下方部分所对应的x的范围。 策略三：比较大小，利用趋势 比较函数值大小：在图象上找到对应点的位置，位置越高，函数值越大。需注意所在的单调区间。 比较自变量大小：对于相同的函数值，根据单调性判断。在增函数区间，函数值大的自变量大；在减函数区间，函数值大的自变量小。 策略四：分析实际情景，理解图象意义 对于应用题中的图象，必须将图象特征翻译回实际情境。 斜率/变化率：可能代表“速度”、“速率”、“单价”、“工作效率”等。 与x轴交点：可能代表“出发时刻”、“相遇时刻”、“盈亏平衡点”等。 与y轴交点：可能代表“初始量”、“固定成本”等。 顶点：可能代表“最大利润”、“最高温度”、“最远距离”等。 水平线段：可能代表“静止”、“暂停”、“价格不变”等状态。 例3．喜迎“十五运”，跟着赛事游河源！2025年11月8日，河源“媒体+”赋能农文旅的生动实践——以“乐跑埔前遇见美好”为主题的河源市首届“村跑”在源城区埔前镇举行．为了参加此次村跑，大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．图中的折线表示从开始到第二次相遇结束时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．如图中的图象（折线）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（）和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了；    ②汽车共行驶了； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；    ④汽车自出发后至之间的行驶速度为． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3-2．如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 变式3-3．莲都城区某一天气温（简称气温）随时间变化如图所示． 请观察图象，解答下列问题： (1)气温y（）是时间t（）的函数吗？为什么？ (2)求当时的函数值，并说明函数值的实际意义． (3)这一天内，有几次气温为15（）？ 1．年月日，跑遍辽宁·沈阳和河半程马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示，则下列判断错误的是（    ） A．起跑后小时以内，乙在甲的前面 B．起跑后小时，甲和乙相遇 C．乙比甲先到达终点 D．甲、乙都跑了千米 2．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图（图中为一折线），则这个容器的形状为（   ） A． B． C． D． 3．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A．B． C． D． 4．如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 5．如图，我国古代发明了利用水流作动力取水灌田的筒车，它是我国古代劳动人民智慧的结晶．筒车中的转轮可以抽象成一个圆，圆上一点离水面的高度与旋转时间之间的关系如图所示，①是关于的一次函数；②筒车半径为；③筒车旋转一周所需时间为；④在筒车转动一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于，以上说法正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 6．为丰富校园文化，某校开展形式多样的课后活动．一天，初中三个年级共40人，参加室内篮球活动，其中七年级的人数比八年级人数的3倍多2．设八年级参加活动的有人，九年级参加活动的有人，选取7组数对在坐标系中描点，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 7．某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图像能大致表示水的深度和注水时间之间关系的是（   ） A． B． C． D． 8．小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（    ） A．B．C． D． 9．乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（   ） A．．B．C．D． 10．甲、乙两人准备在一段长为的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别是、，起跑前乙在起点，甲在乙前面处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到终点的过程中，甲、乙两人之间的距离与时间的函数图象是（   ） A． B． C． D． 11．某游泳池的横断面如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把游泳池蓄满水，下面的图象能大致表示水的深度（米）和注水时间（分）之间关系的是（   ） A． B． C． D． 12．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①两车出发后相遇；②A，B两地相距；③快车比慢车早到达目的地；④快车的速度为，慢车的速度为，其中正确的说法是_______ ． 13．下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． (1)这一变化过程中，自变量是_______； (2)晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 14．如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系． 15．已知A，B两地之间是一条笔直的路，甲骑摩托车从A地到B地，乙开车从B地到A地．两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系如图所示． (1)甲骑摩托车的速度为 ；乙开车的速度为 ； (2)求乙到达目的地时两人相距多远？ 16．如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答，在这一天中： (1)气温是不是时间t（时）的函数？ (2)什么时候的气温最高，最高是多少？什么时候的气温最低，最低是多少？ (3)什么时候的气温处于上升趋势？ (4)什么时候的气温是？ 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数图象信息题 目录 1 类型一、一次函数图象与字母系数的关系 1 类型二、动点问题中判断函数图象 4 类型三、从函数图像中获取信息 8 12 类型一、一次函数图象与字母系数的关系 一次函数的标准形式为 y = kx + b（k ≠ 0），其中 k 为斜率（决定直线的倾斜方向和程度），b 为截距（决定直线与y轴的交点位置）。理解并掌握 k 和 b 的几何意义，是解决相关问题的核心。 一、 字母系数的几何意义解析 斜率 k 的几何意义： 决定直线的倾斜方向： k > 0：直线从左向右呈上升趋势，函数值 y 随 x 的增大而增大。 k < 0：直线从左向右呈下降趋势，函数值 y 随 x 的增大而减小。 决定直线的倾斜程度： |k| 越大，直线越陡峭，越靠近 y 轴。 |k| 越小，直线越平缓，越靠近 x 轴。 特别地，k = 0 时，函数退化为常数函数 y = b，图象是平行于 x 轴的直线。 截距 b 的几何意义： b 表示直线与 y 轴交点的纵坐标，即交点为 (0, b)。 b > 0：直线交 y 轴于正半轴。 b = 0：直线经过原点，此时函数为正比例函数。 b < 0：直线交 y 轴于负半轴。 二、 常见题型与解题策略 题型一：根据 k、b 的符号判断图象位置 策略：采用“象限定位法”。 第一步定走向：由 k 的符号确定直线是上升（一三象限趋势）还是下降（二四象限趋势）。 第二步定交点：由 b 的符号确定直线与 y 轴交于正半轴还是负半轴。 第三步画草图：结合前两步，快速画出直线可能经过的象限草图，与选项对比。 口诀速记：“k正一三负二四，b正上移负下移”（指相对于过原点的直线）。 题型二：根据图象位置判断 k、b 的符号 策略：观察图象特征，逆向推理。 判断 k：观察从左到右的趋势。若上升，则 k > 0；若下降，则 k < 0。 判断 b：找到直线与 y 轴的交点。若交点在 x 轴上方，则 b > 0；若在原点，则 b = 0；若在 x 轴下方，则 b < 0。 题型三：比较同一坐标系中不同直线 k、b 的大小 比较 k 的大小： 对于上升直线（k>0）：直线越陡，|k|越大，k值越大。 对于下降直线（k<0）：直线越陡，|k|越大，但 k 值本身越小（负数比较，绝对值大的反而小）。 技巧：想象用一把直尺从左向右“爬坡”，坡度越陡，|k|越大。 比较 b 的大小：直接看直线与 y 轴交点的纵坐标，位置越高，b 值越大。 题型四：根据 k、b 的关系式（如 k+b, k-b）判断图象 策略：寻找特殊点。 令 x = 1，则 y = k + b，即直线过点 (1, k+b)。通过判断该点与 x 轴、y 轴或其他参考线的位置关系来解题。 令 x = -1，则 y = -k + b，即直线过点 (-1, -k+b)。 将题目中的关系式转化为点的坐标，是解决此类问题的关键。 例1．已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象性质判断出的取值范围，继而根据一次函数的性质进行判断即可. 【详解】解：∵一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数（）的图象经过二、三、四象限． 变式1-1．一次函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】首先判断出y随x的增大而减小，结合一次函数与y轴交于正半轴，进而求解． 【详解】解：∵一次函数中一次项系数， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，， ∴一次函数与y轴交于正半轴， ∴一次函数的图象大致是： ． 变式1-2．已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，由函数图象的位置可得，，然后，根据系数的正负性判断函数的图象的位置即可． 【详解】解：由一次函数图象的位置可知，， ∴，． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． ∴选项D的图象符合要求． 变式1-3．若，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键是掌握一次函数中、的符号对图象的影响：当时，直线从左到右呈下降趋势；当时，直线与轴的交点在轴正半轴． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴直线从左到右呈下降趋势，由此排除选项A、B； ∵， ∴直线与轴的交点在轴正半轴，由此排除选项C； 选项D中直线的特征完全符合的条件， 故选：D． 类型二、动点问题中判断函数图象 核心解题策略与步骤 策略一：分段分析，界点优先 划分阶段：仔细读题，根据动点的运动路径、速度或图形结构的变化，确定整个运动过程分为几个阶段。通常以动点到达关键位置为界。 找出临界点：计算每个临界点对应的自变量 x 的值（时间或位置）。 分段推理：对每个阶段，分析所求量 y 如何随 x 变化，推导或判断其函数关系类型。 策略二：几何直观与极限思想 趋势判断：思考在某个阶段内，随着动点移动，y 是持续增大、减小，还是先增后减/先减后增。这决定了图象在该段是单调上升/下降，还是有“顶点”。 速度判断：对于面积、长度问题，若 y 的变化速率恒定，则为一次函数（直线）；若变化速率本身在变（如越来越快或越来越慢），则为二次函数（抛物线）。 极限思考：想象动点无限接近临界点时，y 值会趋近于多少，这有助于判断图象在该点的走向是平滑连接还是出现尖角。 例2．某容器的截面如图所示，如果以固定的流量向这个空的容器注水，直至注满，下列图象中能大致表示水面高度与注水时间s之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图象，需注意的知识点为：高度增加先慢后快，函数图象的坡度将先缓后陡． 高度表示容器中水面上升高度；按不同的时间段，判断的变化． 【详解】解：容器的底面积先大后小，故水位上升速度先慢后快， 图象表现为先缓后陡， D选项的图象符合题意． 故选：D． 变式2-1．新情境  端午假期，小明早晨从家出发出门晨练，他不间断地匀速跑了后回家．已知小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数关系图象如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（    ）． A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从图象上获取信息，掌握好相关知识是关键． 结合图象变化的规律判断对应的路线即可． 【详解】解：从图象可知，小明离家距离变化规律为线性递增，保持不变，线性递减，最后返回起点，由此判断选项． 对于选项A：没有返回起点，故A错误； 对于选项B：符合图象变化规律，故B正确； 对于选项C：没有返回起点，故C错误； 对于选项D：圆弧段变化为非线性，且没有保持不变的部分，故D错误． 故选：B． 变式2-2．向如图所示的空容器内注水，注满为止，则水面高度关于注水量的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据容器各部分的大小与高度不同，每部分的粗细不同得到用时的不同．可得水面高度随注水量变化而分三个阶段，再进一步分析即可. 【详解】解：最下段的容器最粗，第二段容器较粗，第三段最细， ∴最下段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长缓慢，用时最长，且图象为线段， 第二段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第一段快，且图象为曲线， 第三段的函数图象水面高度随注水量的增大而增长较第二段快，用时最小，图象为线段， ∴A符合题意． 故选：A． 变式2-3．老师组织学生们去生态园郊游，从学校出发沿如图所示的行程匀速去生态园．设他们与学校的距离为s（单位：m），所用时间为t（单位：min）．下列选项中的图象，可能表示s与t之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图像，熟练掌握根据题干信息判断大致图像是解题的关键； 根据题干信息判断大致图像． 【详解】解：A、老师组织学生们去生态园郊游，从学校出发先步行到离学校的凉亭，然后在凉亭休息了，再步行，最终到离凉亭的生态园，选项A与上述分析一致，符合题意； B、他们距离学校越来越远，值也随之增大，选项B总路程是减小的，不符合题意； C、最终值为，代表他们最终回到了学校，与题干“去生态园”不符，不符合题意； D、中间在凉亭休息一段时间，此时与学校的距离不变，图像为平行与轴的线段，选项D没有体现出休息阶段，不符合题意； 故选： A． 类型三、从函数图像中获取信息 一、 图象信息要素全解析 在观察一个函数图象时，应系统性地关注以下要素，这构成了解题的信息基础： 坐标系与基本量： 横轴（x轴）与纵轴（y轴）：明确自变量和因变量分别代表什么（如时间、距离、价格、数量等）。 原点、单位长度与刻度：确保读数准确，避免比例误判。 图象的“静态”特征——点： 与坐标轴的交点： 与x轴交点（零点）：纵坐标y=0，即方程 f(x)=0 的解。 与y轴交点：横坐标x=0，即函数值 f(0) 的值。 特殊点： 顶点（最值点）：图象的最高点（最大值点）或最低点（最小值点）。关注其横坐标（取得最值的x值）和纵坐标（最值本身）。 端点：图象在给定观察范围内的起点和终点。 拐点或尖点：函数增减趋势发生改变或导数不存在（图象出现“尖角”）的点。 已知坐标的点：题目可能直接标出某些点的坐标，这些点是建立函数关系或进行计算的直接依据。 图象的“动态”特征——线： 变化趋势（单调性）： 上升（递增）：图象从左向右看呈上升趋势，表示函数值随自变量增大而增大。 下降（递减）：图象从左向右看呈下降趋势，表示函数值随自变量增大而减小。 水平（恒定）：图象平行于x轴，表示函数值为常数。 变化快慢（陡缓程度）： 图象越陡峭，表示函数值随自变量变化的速度越快（绝对值较大的导数）。 图象越平缓，表示函数值随自变量变化的速度越慢。 对称性： 关于y轴对称：偶函数特征，满足 f(-x) = f(x)。 关于原点对称：奇函数特征，满足 f(-x) = -f(x)。 关于直线 x=a 对称：具有轴对称性。 周期性：图象有规律地重复出现。 图象的“范围”特征——域： 定义域：图象在x轴方向上投影的区间，即所有有图象存在的x的取值范围。 值域：图象在y轴方向上投影的区间，即所有有图象存在的y的取值范围。 二、 核心解题策略与步骤 策略一：有序观察，分层提取 遵循“点→线→域”的观察顺序。先找关键点（交点、顶点、端点），再判断整体趋势（增减区间），最后确定范围（定义域、值域）。避免信息遗漏。 策略二：结合坐标，定量计算 求函数值：对于给定的x值，过该点作x轴的垂线与图象相交，交点的纵坐标即为对应的f(x)值。 求自变量值：对于给定的y值，过该点作y轴的垂线与图象相交，交点的横坐标即为使f(x)等于该y值的x值（可能有多个）。 求方程的解：方程 f(x)=a 的解，即直线 y=a 与图象交点的横坐标。 求不等式的解集： f(x) > a：对应图象在直线 y=a 上方部分所对应的x的范围。 f(x) < a：对应图象在直线 y=a 下方部分所对应的x的范围。 策略三：比较大小，利用趋势 比较函数值大小：在图象上找到对应点的位置，位置越高，函数值越大。需注意所在的单调区间。 比较自变量大小：对于相同的函数值，根据单调性判断。在增函数区间，函数值大的自变量大；在减函数区间，函数值大的自变量小。 策略四：分析实际情景，理解图象意义 对于应用题中的图象，必须将图象特征翻译回实际情境。 斜率/变化率：可能代表“速度”、“速率”、“单价”、“工作效率”等。 与x轴交点：可能代表“出发时刻”、“相遇时刻”、“盈亏平衡点”等。 与y轴交点：可能代表“初始量”、“固定成本”等。 顶点：可能代表“最大利润”、“最高温度”、“最远距离”等。 水平线段：可能代表“静止”、“暂停”、“价格不变”等状态。 例3．喜迎“十五运”，跟着赛事游河源！2025年11月8日，河源“媒体+”赋能农文旅的生动实践——以“乐跑埔前遇见美好”为主题的河源市首届“村跑”在源城区埔前镇举行．为了参加此次村跑，大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．图中的折线表示从开始到第二次相遇结束时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、分别根据速度路程时间求出两人的速度，当时，计算两人的路程之差即可；B、当时，小磊刚好到达乙地，此时大龙已在返回的途中，求出此时大龙离开乙地的距离即可；C、二人第一次相遇时路程之和等于甲、乙两地之间距离的2倍，据此列关于c的一元一次方程并求解即可；D、当时，小磊在返回甲地途中与大龙相遇，此时大龙第二次从甲地出发前往乙地途中，此时二人的路程之和等于甲、乙两地之间距离的4倍，据此列关于d的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：大龙的速度为米/分，小磊的速度为米/分， 米， ，故A正确； 米， ，故B正确； 根据题意，得， 解得，故C错误； 根据题意，得， 解得，故D正确． 变式3-1．如图中的图象（折线）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离（）和行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车在行驶途中停留了；    ②汽车共行驶了； ③汽车回来时的平均速度是去时的2倍；    ④汽车自出发后至之间的行驶速度为． 其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数图象得到路程、速度、时间之间的关系，分别分析每一个选项即可． 【详解】解：，故汽车在行驶途中停留了，①正确； ，故汽车共行驶了，②正确； 汽车去时的平均速度为，汽车回来时的速度为，故汽车回来时的平均速度是去时的2倍，③正确； ，④正确， ∴正确的有4个． 变式3-2．如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 【答案】/ 【分析】设乙出发后经过x小时追上甲，根据乙追上甲时两人的路程相等列方程，求解即可． 【详解】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在段的速度是， 乙的速度为， ∴， 解得， ∴乙出发后经过追上甲． 变式3-3．莲都城区某一天气温（简称气温）随时间变化如图所示． 请观察图象，解答下列问题： (1)气温y（）是时间t（）的函数吗？为什么？ (2)求当时的函数值，并说明函数值的实际意义． (3)这一天内，有几次气温为15（）？ 【答案】(1)气温y（）是时间t（h）的函数，理由见解析 (2)时的函数值为20，函数值的实际意义为10时的时候气温为 (3)一天内有4次气温为 【分析】（1）根据图象和函数的定义即可得出答案； （2）根据图象结合题意可得答案； （3）根据图象可得判断即可． 【详解】（1）解：气温y（）是时间t（）的函数， 理由：根据图象可知，对于每一时间t都对应一个气温y，符合函数的定义，所以气温y（）是时间t（）的函数； （2）解：由图象得出当时的函数值为20，函数值的实际意义为10时的时候气温为； （3）解：根据图象可知，一天内有4次气温为． 【点睛】此题为函数图象与实际结合的题型，关键是要培养从图形中找信息的能力． 1．年月日，跑遍辽宁·沈阳和河半程马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示，则下列判断错误的是（    ） A．起跑后小时以内，乙在甲的前面 B．起跑后小时，甲和乙相遇 C．乙比甲先到达终点 D．甲、乙都跑了千米 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象获取信息，逐项判断即可得解，解决本题的关键是数形结合的思想的运用． 【详解】解：A选项：由图象可知，起跑后1小时内，甲所跑路程大于乙所跑路程，所以起跑后小时内，甲在乙的前面，故A选项错误； B选项：由图象可知，起跑后小时，甲和乙相遇，故B选项正确； C选项：由图象可知，甲到达终点的时间比乙到达终点的时间多，故C正确； D选项：由图象可知，甲、乙都跑了20.09千米，故D正确． 故选：A． 2．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图（图中为一折线），则这个容器的形状为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为匀速地向一个容器内注水，函数图象的走势是稍陡、稍平、陡， 所以水面高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关，从下到上依次是稍粗、粗、细． 所以这个容器的形状是B项中的图形． 3．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象．由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号是关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； B、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； C、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A 4．如果实数a，b满足，，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用，得到，，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 【详解】解：∵实数a，b满足，， ∴，， ∴， ∴函数的图象经过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴下方． 故选：B． 5．如图，我国古代发明了利用水流作动力取水灌田的筒车，它是我国古代劳动人民智慧的结晶．筒车中的转轮可以抽象成一个圆，圆上一点离水面的高度与旋转时间之间的关系如图所示，①是关于的一次函数；②筒车半径为；③筒车旋转一周所需时间为；④在筒车转动一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于，以上说法正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查了函数的图象，解题的关键是从实际问题中抽象出函数模型，难度不大． 利用函数图象即可求解． 【详解】解：根据图象可得不是关于的一次函数，故①错误； 从图象可以看出，转轮旋转一周需要的时间是；转轮的最高点离水面，最低点离水面，所以转轮的直径为，则半径为，故②错误，③正确； 从图象可以看出，在筒车转动一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于，故④正确； 故选：B． 6．为丰富校园文化，某校开展形式多样的课后活动．一天，初中三个年级共40人，参加室内篮球活动，其中七年级的人数比八年级人数的3倍多2．设八年级参加活动的有人，九年级参加活动的有人，选取7组数对在坐标系中描点，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，图象是直线，且递减，解答即可 【详解】解：根据题意，得，选A． 7．某蓄水池的横断面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把水蓄满蓄水池，下面的图像能大致表示水的深度和注水时间之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系为先快后慢． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，每一段h随t的增大而增大，增大的速度是先快后慢． 故选C． 8．小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还．”如果用纵轴y表示父亲与儿子离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据题目中的语句得到父亲与儿子离家距离的变化过程是解答本题的关键．由题意得，父亲离家的距离在这个过程中分为 3 段，从家到车站，距离变远，即随的增大而增大；在车站等待的时候，距离不变，即图象与轴平行；父子一起回家，距离变近，即随的增大而减小．父亲先到车站，那么离家的距离将不再变化，说明父亲行走的函数图象肯定先与轴平行．儿子离家的距离也分为 3 段，从学校到车站，距离变近，即随的增大而减小；在车站与父亲“细端详”，停留了一小段时间，即图象与轴平行；父子一起回家，距离变近，即随的增大而减小，即可解答． 【详解】解：根据题意可知，父亲离家的距离在这个过程中分为3段，先远后不变最后到家；儿子离家的路程也分为3段，先离家越来越近，再停止，最后到家． 故选：A． 9．乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（   ） A．．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图形，行程问题，分析清楚时间与路程的关系是解本题的关键． 乌龟是匀速行走的，图象为线段．兔子是：跑停跑，图象由三条折线组成；最后乌龟先到达终点． 【详解】解：根据题意得：虚线一直增加且倾斜程度小于实线； 实线有三个阶段，1、跑了一段，增加；2、睡了一觉，不变，水平线；3、当它醒来时，跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点；只有D选项符合题意． 故选：D． 10．甲、乙两人准备在一段长为的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别是、，起跑前乙在起点，甲在乙前面处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到终点的过程中，甲、乙两人之间的距离与时间的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象与实际结合的问题，求得相遇的时间、全程时间以及最后甲乙的距离是解题的关键． 甲在乙前面，而乙的速度大于甲，则此过程为乙先追上甲后再超过甲，全程时间以乙跑的时间计算，算出相遇时间判断图象即可． 【详解】解： 甲、乙跑步的速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面200米处，则乙要追上甲，所需时间为， 全程乙跑完后计时结束， 则计时结束后甲乙的距离 由上述分析可看出，B选项函数图象符合． 故选：B． 11．某游泳池的横断面如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把游泳池蓄满水，下面的图象能大致表示水的深度（米）和注水时间（分）之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力，要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型，结合实际意义画出正确的图象．首先看图可知，随着的增大而增大，再根据游泳池的横断面上宽下窄可知，深水区随着的增大速度大于浅水区，从而得解． 【详解】解：观察图形可知：水的深度（米）与注水时间（分）之间的关系分为两段，每一段随着的增大而增大，故排除A、D选项， 根据游泳池的横断面上宽下窄可知：深水区随着的增大速度大于浅水区，故排除B选项，只有C选项符合题意． 故选：C ． 12．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列说法：①两车出发后相遇；②A，B两地相距；③快车比慢车早到达目的地；④快车的速度为，慢车的速度为，其中正确的说法是_______ ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据时，，时，可判断①，②；根据函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地，据此根据速度等于路程除以时间求出两车的速度，即可判断③④． 【详解】解：∵时，， ∴A，B两地相距，故结论②正确，符合题意； ∵时，， ∴两车出发后相遇，故结论①正确，符合题意； 由函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地， ∴快车比慢车早到达目的地，故结论③错误，不符合题意； ，， ∴快车的速度为，慢车的速度为，故结论④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 13．下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． (1)这一变化过程中，自变量是_______； (2)晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 【答案】(1)时间 (2)80，15 【分析】（1）通过图象可得知自变量； （2）晶体有一定的熔点，表现在图象上，晶体熔化有一段图象是水平的，对应的温度就是晶体的熔点. 【详解】（1）解：由图可知，在这个变化过程中，时间是主动变化的量，温度随时间变化，所以自变量是时间； （2）解：对于晶体来说，熔化要吸热，在熔化的过程中，晶体温度不变， 由图象知，晶体在熔化过程中吸热，但温度保持不变，这个过程就是晶体的熔化过程，它对应的纵坐标的值，就是晶体的熔点， 从图中可知，该物质从第10分钟开始熔化，到第25分钟完全熔化完，所以熔化过程经历了； 14．如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系． 【答案】（2） 【分析】本题考查函数图象的识别，根据题意，可知随的增大而减小，且变化均匀，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度， ∴随的增大而匀速地减小，图象（2）适合表示与的对应关系． 故答案为：（2）． 15．已知A，B两地之间是一条笔直的路，甲骑摩托车从A地到B地，乙开车从B地到A地．两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系如图所示． (1)甲骑摩托车的速度为 ；乙开车的速度为 ； (2)求乙到达目的地时两人相距多远？ 【答案】(1)60，90 (2) 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息． （1）用路程除以时间可得甲骑摩托车的速度，由图象求出两人速度和，即得到乙开车的速度； （2）用乙到达目的地所需的时间乘以甲的速度列式即可得求解． 【详解】（1）解：甲骑摩托车的速度为， 由图象可知，两人出发后相遇，故两人速度和为， ∴乙开车的速度为； 故答案为：60，90； （2）解：， ∴乙到达目的地时两人相距． 16．如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答，在这一天中： (1)气温是不是时间t（时）的函数？ (2)什么时候的气温最高，最高是多少？什么时候的气温最低，最低是多少？ (3)什么时候的气温处于上升趋势？ (4)什么时候的气温是？ 【答案】(1)气温是时间t（时）的函数 (2)14时的气温最高，是；4时的气温最低，是 (3)4时到14时的气温处于上升趋势 (4)8时、22时的气温是 【分析】（1）由函数的定义即可得出答案； （2）分别观察图象的最高点和最低点，即可得出答案； （3）气温不断上升，即图像呈上升趋势，即可得出答案； （4）找到y轴上的，其对应的x轴数据即气温是的时间； 【详解】（1）解：在气温T随时间t的变化过程中有两个变量T和t，并且对于t的每一个值，变量T都有唯一的值与它对应，符合函数的定义，所以气温是时间t（时）的函数． （2）解：最高气温：图象的最高点出现在时，对应的温度为． 最低气温：图象的最低点出现在时，对应的温度为． （3）解：从图中可以看出，在4时到14时之间，图象呈上升趋势，因此4时到14时的气温处于上升趋势． （4）解：在处画一条水平线，与图象交于两点，对应的时间为时和时． 因此，8时和22时的气温是． 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $