精品解析：2026年陕西咸阳市彩虹学校九年级中考模拟考试（一）数学试题

试题类型：A 陕西省九年级模拟•数学（一） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】需根据倒数的概念计算出的倒数即可得到答案． 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数， 又 ， 的倒数是． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形和中心对称图形的定义，准确地理解相关概念是解题的关键．根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：对于A选项：图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 对于B选项：图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 对于C选项：图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； 对于D选项：图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 3. 中国脑机接口进入“8电极”时代，在医疗健康领域为患者带来了有效的治疗手段，研究表明人脑的神经元数量约为8600000个，数据8600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，要求满足，n为整数，只需确定a和n的值即可． 【详解】解：8600000用科学记数法表示为． 4. 如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据邻补角可得，结合得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 6. 若一次函数的图象向下平移3个单位长度后经过点，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用一次函数图象的平移规律得到平移后的解析式，再将已知点代入即可求出k的值． 【详解】解：∵一次函数向下平移3个单位长度， ∴平移后所得函数的解析式为 ， ∵平移后的图象经过点， ∴将代入得，， 解得． 7. 如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点，利用等腰三角形“三线合一”性质证明且为中点，求出的长；再根据三角形中位线定理证明，进而推出为中点，最后利用的中位线性质求出的长． 【详解】解：如图，延长交于点 平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为的中点 ，， 为的中点，为的中点， 是的中位线 ， ，即 ， 为的中点， ， ∴，即， 为的中点 ， 在中，为的中点，为的中点 ， 是的中位线 ． 8. 已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线要求二次项系数不为0，抛物线与轴恒有1个交点，要使总交点数为3，则抛物线与轴需要有2个不同交点，利用一元二次方程根的判别式求解范围，结合选项得出结果． 【详解】是抛物线， 二次项系数满足，即，排除选项； 当时，代入得， 抛物线与轴恒有个交点， 要使抛物线与坐标轴共三个交点，需抛物线与轴有2个不同交点； 即一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得； 综上可得a的范围是且； 结合选项可知，只有选项的4符合要求． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：__________． 【答案】a(a+1) 【解析】 【分析】提取a即可因式分解. 【详解】 a(a+1) 故填：a(a+1). 【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法因式分解. 10. 如图，正五边形的边长为3，对角线相交于点，则四边形的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式可求出正五边形各内角度数，继而证明四边形是菱形，即可求解周长． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴ 则， ∴， ∴， ∴， ∴；同理可证， ∴四边形为平行四边形，而， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形的周长为． 11. 我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母所表示的数是______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可． 【详解】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”，可知三行、三列、两对角线上的三个数之和都等于15， ∴第一列第三个数为：15-2-5=8， ∴m=15-8-3=4． 故答案为4 【点睛】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键． 12. 如图，是⊙O的直径，点、在⊙O上，，则_______． 【答案】##124度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．先利用圆周角定理求出，然后利用邻补角定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，正比例函数的图象与双曲线交于，两点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出和，再联立方程组求解即可； 【详解】解：在双曲线上， ， ， 在正比例函数上， ， ， 正比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得：或， 两个函数的交点为，， ． 14. 如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点，平分，且点在边上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，过点G作于点H，证明，再推出，可得，解得即可解答． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， ，即， ， ， ， E为的中点， ， ， 如图，过点G作于点H． ， ，则， ，， ， ． ，平分， ， ， ，即， 解得， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式的基本性质对不等式进行变形，求出不等式的解集． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算乘方、乘法及绝对值，最后算加减即可. 【详解】解：原式 . 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先通分算括号内的，然后算分式的除法即可. 【详解】解：原式 . 18. 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的外部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】以为圆心，的长画弧交于点，连接，等边对等角结合三角形的内角和定理，得到，利用尺规作图作，再以为圆心，的长为半径，画弧，进而确定点的位置即可. 【详解】解：如图，点即为所求； 或 19. 已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E，求证：AB=DE. 【答案】 证明：∵AC∥BE， ∴∠C=∠DBE． 在△ABC和△DEB中， ∵∠C=∠DBE，BC=EB，∠ABC=∠E， ∴△ABC≌△DEB， ∴AB=DE． 【解析】 【详解】试题分析：先利用平行线的性质得到∠C=∠DBE，再根据“ASA”可证明△ABC≌△DEB，然后根据全等三角形的性质即可得到结论． 试题解析：略 20. 某校开展主题为“逐梦九天”的航天科普活动，设置了五个科普小组，分别探索“载人航天”“探月工程”“火星探测”“北斗导航”“空间站建设”（分别记作）五大航天领域，现有五张背面完全相同的不透明卡片，在卡片正面绘制如图所示的图案． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“探月工程”的概率为______． （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的科普方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组科普方向不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）理解题意，得一共有五张卡片，卡片内容是“探月工程”的有一张，运用概率公式进行计算，即可作答． （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“探月工程”的有一张， ∴将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张， 抽到的卡片内容是“探月工程”的概率为； 【小问2详解】 解：依题意得，列表如下： 小博 小秦 由表格可得，共有25种等可能出现的结果，其中这两个小组科普方向不同的情况有20种， ∴这两个小组科普方向不同的概率为． 21. 某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取两处（点在同一条直线上），测得地面上两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和，请根据他们的测量数据，求旗杆的高．（参考数据：，，，，，） 【答案】旗杆的高为 【解析】 【分析】由题意得，，然后根据锐角三角函数列出等式，得到，最后由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵在中，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 答：旗杆的高为． 22. 在陕西省绿化委员会办公室的倡导下，某校九年级组织共青团员前往渭河生态区开展义务植树活动．现将学生分为甲、乙两个小组，共需完成400棵银杏树苗的栽植任务，要求5小时内全部种完，甲组植树过程中由于树苗搬运车出故障，中途停工1个小时进行维修，修好后提高栽植效率，直到与乙组共同完成任务为止，设甲、乙两个小组植树的时间为（单位：小时），甲组植树数量为（单位：棵），乙组植树数量为（单位：棵），、与之间的函数关系如图所示． （1）求甲组提高效率后，与之间的函数关系式． （2）完成任务后，乙组共植树多少棵？ 【答案】（1） （2）210棵 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）当时，，作差求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把和分别代入解析式，得， 解得， 故与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意，当时，， 故完成任务后，乙组共植树． 23. 2026年3月14日是第七个国际数学日，主题是“数学与希望”，旨在强调数学在社会发展中的积极作用．某校在当天开展了趣味数学知识大赛活动，并在比赛结束后从成绩（满分100分，均不低于60分，单位：分）中随机抽取部分成绩，整理后绘制了如下统计图．其中A组有20个成绩，从低到高分别为90，90，91，92，93，93，94，94，95，95，95，96，96，96，96，96，97，97，98，99． 根据以上信息，解答下列问题： （1）A组20个成绩的平均数为______分． （2）本次抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的A组成绩的中位数为______． （3）学校决定给本次比赛成绩90分及以上的学生发放奖章，该校共有400名学生参加比赛，请估计本次比赛获得奖章的人数． 【答案】（1） （2）50；95 （3）160 【解析】 【分析】（1）直接利用平均数公式计算即可； （2）由A组人数除以其百分比即可得到总数据的个数，再利用中位数的含义求解中位数即可； （3）由总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：A组20个成绩的平均数为： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为， A组20个成绩的中位数为分； 【小问3详解】 解：学校决定给本次比赛成绩90分及以上的学生发放奖章，该校共有400名学生参加比赛，请估计本次比赛获得奖章的人数为（人）． 24. 如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接． （1）求证：为的直径． （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由为边上的中线，且满足可得，即，即可证明结论； （2）连接，在中计算出的长，再证明即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为边上的中线，且满足， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵都在上， ∴为的直径． 【小问2详解】 解：∵的半径为3，为的直径， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， 如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 25. 某广场的一座遮阳棚截面示意图如图所示，其中为遮阳棚的主杆部分，曲线与为遮阳棚伞盖部分，与所在曲线可近似看作两条关于对称的抛物线．与所在抛物线的最高点到主杆的距离均为，到地面的距离均为，主杆的高度为，以为原点，所在直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系． （1）分别求出与所在抛物线的表达式． （2）若伞盖两端之间的水平距离为，求伞盖端点（或点）到地面的距离． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得两条抛物线的顶点坐标分别为，，且都过点，代入抛物线的表达式，解答即可； （2）根据伞盖两端之间的水平距离为，得到点B的横坐标为5，到点A的横坐标为，代入表达式求函数值即可； 【小问1详解】 解：根据题意，得所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 不妨设抛物线的表达式为， 故， 解得， 故所在抛物线的表达式为． 根据题意，得所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 不妨设抛物线的表达式为， 故， 解得， 故所在抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵伞盖两端之间的水平距离为， ∴到点A的横坐标为， ∵抛物线的表达式为， ∴（米）， 故伞盖端点到地面的距离为． 26. 问题提出 （1）边长为3的等边三角形外接圆的半径的长为______． 问题探究 （2）如图①，，射线，点从点出发沿着的方向移动，连接，过点作，求点到的距离的最大值． 问题解决 （3）如图②，已知一片空旷区域的边界为，某农业实验小组需要在空旷区域内规划一片试验田，其具体实施方案与相关数据如下： ①在边界上选取一点，连接，则四边形为选取的试验田； ②连接，在上找一点，连接，使得的度数始终为； ③已知，，，，边界的长度足够长，四边形划分为，，三个部分． 请根据以上方案及数据找出点的位置，使划分的面积最小．说明理由并求出此时的长． 【答案】（1）（2）4（3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合三角形外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，进行求解即可； （2）取的中点，连接，作，根据斜大于直，得到，即可得出结果； （3）易得，为定值，根据，得到当的面积最大时，的面积最小，作的外接圆，连接，作，得到，进而得到当三点共线时，最大，此时点G、F重合，根据，得到当即最大时，的面积最大，此时的面积最小，证明为等边三角形，作，求出的长，进而求出的长即可. 【详解】解：（1）如图，为边长为3的等边的外接圆，则垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，即边长为3的等边三角形外接圆的半径的长为； （2）取的中点，连接，作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴求点到的距离的最大值为4； （3）∵，，，， ∴，为定值， ∵， ∴当的面积最大时，的面积最小， 作的外接圆，连接，作， 则， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最大，此时点F、G重合， ∵， ∴当即最大时，的面积最大，此时的面积最小，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 作，则， 在中，， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试题类型：A 陕西省九年级模拟•数学（一） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 6 D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国脑机接口进入“8电极”时代，在医疗健康领域为患者带来了有效的治疗手段，研究表明人脑的神经元数量约为8600000个，数据8600000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 若一次函数的图象向下平移3个单位长度后经过点，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：__________． 10. 如图，正五边形的边长为3，对角线相交于点，则四边形的周长为______． 11. 我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将1～9这九个数字填入的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中，字母所表示的数是______. 12. 如图，是⊙O的直径，点、在⊙O上，，则_______． 13. 如图，正比例函数的图象与双曲线交于，两点，则点的坐标为______． 14. 如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点，平分，且点在边上，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式：． 16. 计算：． 17. 化简：． 18. 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的外部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E，求证：AB=DE. 20. 某校开展主题为“逐梦九天”的航天科普活动，设置了五个科普小组，分别探索“载人航天”“探月工程”“火星探测”“北斗导航”“空间站建设”（分别记作）五大航天领域，现有五张背面完全相同的不透明卡片，在卡片正面绘制如图所示的图案． （1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“探月工程”的概率为______． （2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的科普方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组科普方向不同的概率． 21. 某校九年级数学兴趣小组开展“测量学校操场旗杆”的实践活动，其中一个设计方案如图所示，旗杆垂直于水平地面，在地面上选取两处（点在同一条直线上），测得地面上两点的距离为，分别在点和点处测得旗杆顶端的仰角为和，请根据他们的测量数据，求旗杆的高．（参考数据：，，，，，） 22. 在陕西省绿化委员会办公室的倡导下，某校九年级组织共青团员前往渭河生态区开展义务植树活动．现将学生分为甲、乙两个小组，共需完成400棵银杏树苗的栽植任务，要求5小时内全部种完，甲组植树过程中由于树苗搬运车出故障，中途停工1个小时进行维修，修好后提高栽植效率，直到与乙组共同完成任务为止，设甲、乙两个小组植树的时间为（单位：小时），甲组植树数量为（单位：棵），乙组植树数量为（单位：棵），、与之间的函数关系如图所示． （1）求甲组提高效率后，与之间的函数关系式． （2）完成任务后，乙组共植树多少棵？ 23. 2026年3月14日是第七个国际数学日，主题是“数学与希望”，旨在强调数学在社会发展中的积极作用．某校在当天开展了趣味数学知识大赛活动，并在比赛结束后从成绩（满分100分，均不低于60分，单位：分）中随机抽取部分成绩，整理后绘制了如下统计图．其中A组有20个成绩，从低到高分别为90，90，91，92，93，93，94，94，95，95，95，96，96，96，96，96，97，97，98，99． 根据以上信息，解答下列问题： （1）A组20个成绩的平均数为______分． （2）本次抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的A组成绩的中位数为______． （3）学校决定给本次比赛成绩90分及以上的学生发放奖章，该校共有400名学生参加比赛，请估计本次比赛获得奖章的人数． 24. 如图，在中，为边上的中线，且满足，点在边上，以为直径的与相切于点，与分别交于点，连接． （1）求证：为的直径． （2）若的半径为3，，求的长． 25. 某广场的一座遮阳棚截面示意图如图所示，其中为遮阳棚的主杆部分，曲线与为遮阳棚伞盖部分，与所在曲线可近似看作两条关于对称的抛物线．与所在抛物线的最高点到主杆的距离均为，到地面的距离均为，主杆的高度为，以为原点，所在直线为轴，水平地面为轴建立平面直角坐标系． （1）分别求出与所在抛物线的表达式． （2）若伞盖两端之间的水平距离为，求伞盖端点（或点）到地面的距离． 26. 问题提出 （1）边长为3的等边三角形外接圆的半径的长为______． 问题探究 （2）如图①，，射线，点从点出发沿着的方向移动，连接，过点作，求点到的距离的最大值． 问题解决 （3）如图②，已知一片空旷区域的边界为，某农业实验小组需要在空旷区域内规划一片试验田，其具体实施方案与相关数据如下： ①在边界上选取一点，连接，则四边形为选取的试验田； ②连接，在上找一点，连接，使得的度数始终为； ③已知，，，，边界的长度足够长，四边形划分为，，三个部分． 请根据以上方案及数据找出点的位置，使划分的面积最小．说明理由并求出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $