第三单元易错易混专项06 长方体和正方体的体积（专项训练）-2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测（人教版）

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为人教版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 第三单元易错易混专项06 长方体和正方体的体积综合训练 一、选择题 1．在烘焙创意大赛中，李华用掉了一盒牛奶，大约（    ）。 A．10毫升 B．250毫升 C．250升 D．30升 2．1根长方体木料，它的横截面的面积是36立方分米，长是4米。5根这样的木料的体积是多少立方米？列式正确的是（    ）。 A．36×4×5 B．（36÷10）×4×5 C．（36÷100）×4×5 D．（36÷1000）×4×5 3．有甲、乙两个长方体水池，水池里都有部分水，它们的占地面积、水面高度和水池深度如下表。下面的说法错误的是（    ）。 水池 占地面积 水面高度 水池深度 甲水池 1.2m 1.5m 乙水池 1.5m 1.8m A．两个水池的容积相等 B．乙水池还能再装的水 C．甲水池里的水更多 D．甲水池还能再装的水 4．如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么这个正方体的体积就扩大到原来的（    ）倍，它的表面积扩大到原来的（    ）倍。 A．8，4 B．4，3 C．2，4 D．3，8 5．一个长8dm、宽6dm、高5dm的长方体纸盒，最多能装（    ）个棱长为2dm的正方体。 A．30 B．28 C．26 D．24 6．把3个大小相同的小正方体拼成一个高15cm的大长方体（如下图），表面积之和就减少了100cm2。原来1个小正方体的体积是（    ）cm3。 A．375 B．250 C．75 D．125 7．如下图，小华已经在这个长方体盒子里面摆了7个相同的小正方体，如果要摆满整个长方体盒子，还需要这样的小正方体（    ）个。 A．17 B．28 C．35 D．42 8．将12颗完全相同的玻璃球放入底面积是100平方厘米的长方体容器中，所有玻璃球都被水完全浸没。水面高度由7厘米上升至8.5厘米。每颗玻璃球的体积是（    ）立方厘米。 A．12.5 B．24 C．12 D．15.5 二、填空题 9．把一个长、宽、高分别是8分米、6分米、3分米的长方体锯成一个最大的正方体。这个正方体的体积是（ ）立方分米，剩下部分的体积是（ ）立方分米。 10．一个长方体水箱，从里面量长14厘米，宽10厘米，深16厘米。先往水箱里加水，使水面的高度到10厘米，然后将一块石头放入水中（石头完全浸没），水面比原来上升2.5厘米。这块石头的体积是（ ）立方厘米。 11．在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是（ ）cm3。 12．如图的几何体是由棱长1cm的小正方体拼成的。这个几何体的表面积是（ ）cm2；如果把它补搭成一个正方体，至少还需要补搭（ ）个小正方体。 13．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是10cm、8cm、6cm，正方体的棱长是（ ）cm。这个正方体的表面积是（ ） cm2，体积是（ ）cm3。 14．一个长方体，如果长增加2cm，体积增加80cm3；如果宽增加3cm，体积增加180cm3；如果高增加4cm，体积增加96cm3。这个长方体的长是（ ）cm、宽是（ ）cm、高是（ ）cm。 15．如图，乐乐将一条2cm长的线段向右平移6cm，它扫过的面积是（ ）cm2，接着把形成的面向上平移3cm，会形成一个长方体，长方体的体积是（ ）cm3。 16．一根长方体木料，长5m，横截面的面积是。这根木料的体积是（ ）。如果这根木料的横截面是正方形，要在这根木料的表面刷绿色油漆，要刷油漆（ ）。 三、计算题 17．计算图形的表面积和体积。 四、解答题 18．小雨先将一个长8分米、宽5分米、高2分米的长方体水缸装满水，然后把一根长3分米、宽2分米、高4分米的长方体铁棒立着（铁棒的底面与水缸的底面完全贴合）放到水缸中，水缸溢出的水的体积是多少立方分米？ 19．一块长方形纸板，长为30厘米，宽为20厘米，先在纸板的四个角分别剪掉一个边长为5厘米的小正方形，再折成一个无盖纸盒。这个纸盒所用的纸板是多少平方厘米？纸盒的容积是多少？（纸板的厚度忽略不计） 20．《九章算术》中记载了一种测量物体体积的方法——“载粟术”：将物体放入盛满粟米的容器中，溢出的粟米体积即为物体体积；古希腊数学家阿基米德在浴缸中发现：浸入液体的物体体积等于排开液体的体积。小明想用这样的方法测量一个土豆的体积，他先将850毫升的水倒入长方体容器中，量得的水深是8.5厘米，然后他将土豆完全浸没水中，这时水深10厘米。请你求出这个土豆的体积是多少立方厘米？ 21．有一根长6米的长方体木料，把它锯成相同的4段，表面积比原来增加了180平方厘米，原来的长方体木料的体积是多少立方厘米？ 22．如图是一个长方体容器，底面是边长为8厘米的正方形，水面的高度是6厘米。将一个长为6厘米、宽为5厘米的小长方体浸没在水中（水未溢出），水面上升了1.5厘米，这个小长方体的高是多少厘米？ 23．小明有一件长15厘米、宽12厘米、高7厘米的工艺品，他准备给它找一个长方体包装盒。 （1）一个体积是1.12立方分米长方体的包装盒，从里面量长16厘米，宽14厘米。能装下这个工艺品吗？说明理由。 （2）下图是新找的一个长方体包装盒。现在要按如图方式给这个包装盒系上彩带，接头处彩带长16厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 24．李叔叔是一名快递员，他接收到一件长35厘米、宽15厘米、高20厘米的近似长方体物品，现在要为它挑选一个合适的快递外包装。现有快递外包装尺寸如图：（单位：厘米） A．棱长20厘米                        B．长35厘米，宽10厘米，高20厘米 C． 长40厘米，宽20厘米，高21厘米       D．棱长50厘米 （1）我认为他应该选择（    ）最合适。（填字母） （2）这个快递外包装至少需要多大的纸板才能制作完成？（接口忽略不计） （3）装入这个物品后，还需要在空余的地方塞满填充物以避免在运输途中磕碰损坏，要准备多少立方厘米的填充物？ 25．米糕是一道非常受欢迎的传统糕点，不同地区有着不同的特色和制作方法。某米糕店有一款长方体硅胶米糕模具，模具被分成大小均匀的小方格（如图）。制作米糕时，将拌好的米糊倒入方格，大火蒸20分钟即可。 （1）如果忽略模具格子的厚度，米糕高度不超过模具高度，蒸好的一个米糕体积最大是多少立方厘米？ （2）每3个米糕并排装一个礼盒，如果每个礼盒用丝带系好并扎上蝴蝶结。蝴蝶结处需用丝带2分米，包装一盒至少要准备几分米的丝带？（礼盒厚度忽略不计） （3）如果将每4盒米糕拼成一个长方体装进一个纸箱里，先想一想怎样设计纸箱最节省材料，再算一算制作这样一个纸箱需要纸板多少平方分米？（盒子厚度忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $ 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为人教版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 第三单元易错易混专项06 长方体和正方体的体积综合训练 一、选择题 1．在烘焙创意大赛中，李华用掉了一盒牛奶，大约（    ）。 A．10毫升 B．250毫升 C．250升 D．30升 【答案】B 【分析】根据生活常识，一小瓶口服液大约是10毫升，一瓶矿泉水大约是500毫升，一盒牛奶大约250毫升。 【解答】根据分析，一盒牛奶大约250毫升。 2．1根长方体木料，它的横截面的面积是36立方分米，长是4米。5根这样的木料的体积是多少立方米？列式正确的是（    ）。 A．36×4×5 B．（36÷10）×4×5 C．（36÷100）×4×5 D．（36÷1000）×4×5 【答案】C 【分析】先将横截面面积的单位从平方分米换算为平方米，即（立方米），再根据长方体体积公式计算一根木料的体积，即（立方米），最后乘5，可得到5根木料的总体积，即（立方米），据此解答。 【解答】（立方米） 1根长方体木料体积：（立方米） 5根木料的总体积：（立方米） 5根这样的木料的体积是多少立方米，列式为。 故答案为：C 3．有甲、乙两个长方体水池，水池里都有部分水，它们的占地面积、水面高度和水池深度如下表。下面的说法错误的是（    ）。 水池 占地面积 水面高度 水池深度 甲水池 1.2m 1.5m 乙水池 1.5m 1.8m A．两个水池的容积相等 B．乙水池还能再装的水 C．甲水池里的水更多 D．甲水池还能再装的水 【答案】C 【分析】底面积×水池深度＝水池容积，分别算出两个水池容积； 底面积×水面高度＝水的体积，分别算出两个水池中水的体积； 底面积×（水池深度－水面高度）＝还能装水的体积，分别算出两个水池还能装水的体积； 算出相关数据后，进行对比，选出错误选项。 【解答】甲水池容积：（立方米）、乙水池容积：（立方米） 甲水池中水的体积：（立方米） 、乙水池中水的体积：（立方米） 甲水池还能再装水的体积：（立方米）、乙水池还能再装水的体积：（立方米） 两水池容积立方米立方米、两水池中水的体积：甲水池中的水的体积立方米＜乙水池中水的体积立方米。 故答案为：C 4．如果一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么这个正方体的体积就扩大到原来的（    ）倍，它的表面积扩大到原来的（    ）倍。 A．8，4 B．4，3 C．2，4 D．3，8 【答案】A 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，正方体表面积＝棱长×棱长×6，以及积的变化规律可知，一个正方体的棱长扩大到原来的若干倍，体积扩大到原来的倍数×倍数×倍数，表面积扩大到原来的倍数×倍数。 【解答】2×2×2＝8 2×2＝4 这个正方体的体积就扩大到原来的8倍，它的表面积扩大到原来的4倍。 故答案为：A 5．一个长8dm、宽6dm、高5dm的长方体纸盒，最多能装（    ）个棱长为2dm的正方体。 A．30 B．28 C．26 D．24 【答案】D 【分析】求长方体纸盒最多能装几个棱长为2dm的正方体，就是求长方体的长、宽、高里分别有几个2dm，用除法计算；再根据长方体的体积公式V＝abh，把长、宽、高最多能放正方体的个数相乘，即可求出正方体的总个数。 【解答】8÷2＝4（个） 6÷2＝3（个） 5÷2＝2（个）……1（dm） 4×3×2＝24（个） 最多能装24个棱长为2dm的正方体。 故答案为：D 6．把3个大小相同的小正方体拼成一个高15cm的大长方体（如下图），表面积之和就减少了100cm2。原来1个小正方体的体积是（    ）cm3。 A．375 B．250 C．75 D．125 【答案】D 【分析】根据题意，3个大小相同的小正方体拼成一个高15cm的大长方体，那么小正方体的棱长是（15÷3）cm；根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出1个小正方体的体积。 【解答】小正方体的棱长：15÷3＝5（cm） 小正方体的体积：5×5×5＝125（cm3） 原来1个小正方体的体积是125cm3。 故答案为：D 7．如下图，小华已经在这个长方体盒子里面摆了7个相同的小正方体，如果要摆满整个长方体盒子，还需要这样的小正方体（    ）个。 A．17 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】观察图形可知，这个长方体的长为4，宽为2，高为3，根据小正方体的数量＝长摆的数量×宽摆的数量×高摆的数量，求出小正方体总数量，再减去已摆的数量，即可计算出还需要的小正方体数量。 【解答】4×2×3－7 ＝8×3－7 ＝24－7 ＝17（个） 所以还需要这样的小正方体17个。 故答案为：A 8．将12颗完全相同的玻璃球放入底面积是100平方厘米的长方体容器中，所有玻璃球都被水完全浸没。水面高度由7厘米上升至8.5厘米。每颗玻璃球的体积是（    ）立方厘米。 A．12.5 B．24 C．12 D．15.5 【答案】A 【分析】因为所有玻璃球都被水完全浸没，所以上升的水的体积就是12颗完全相同的玻璃球的体积，根据长方体的体积＝底面积×高求出上升的水的体积，再除以12就是每颗玻璃球的体积。 【解答】100×（8.5－7）÷12 ＝100×1.5÷12 ＝150÷12 ＝12.5（立方厘米） 所以每颗玻璃球的体积是12.5立方厘米。 故答案为：A 二、填空题 9．把一个长、宽、高分别是8分米、6分米、3分米的长方体锯成一个最大的正方体。这个正方体的体积是（ ）立方分米，剩下部分的体积是（ ）立方分米。 【答案】27 117 【分析】①正方体的棱长与长方体的最小棱长相等；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长； ②长方体的体积＝长×宽×高；剩下部分的体积＝长方体的体积－正方体的体积。 【解答】3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方分米） 8×6×3－27 ＝48×3－27 ＝144－27 ＝117（立方分米） 10．一个长方体水箱，从里面量长14厘米，宽10厘米，深16厘米。先往水箱里加水，使水面的高度到10厘米，然后将一块石头放入水中（石头完全浸没），水面比原来上升2.5厘米。这块石头的体积是（ ）立方厘米。 【答案】350 【分析】石头的体积等于它完全浸没后排开的水的体积。水箱是长方体，底面积由长和宽相乘得到，水面上升的高度已知，因此石头的体积可以通过底面积乘上升的高度计算。 【解答】＝140（平方厘米） ＝350（立方厘米） 所以，这块石头的体积是350立方厘米。 11．在一个长10cm、宽10cm、高15cm的长方体容器中加入一些水后，测量一块石头的体积，石头的体积是（ ）cm3。 【答案】500 【分析】石头的体积＝长方体容器的长×宽×（原来水的高度－拿出石块后水面的高度＋原来没有水的高度）。 【解答】15－3＝12（厘米） 10×10×（12－10＋3） ＝10×10×（2＋3） ＝10×10×5 ＝100×5 ＝500（立方厘米） 12．如图的几何体是由棱长1cm的小正方体拼成的。这个几何体的表面积是（ ）cm2；如果把它补搭成一个正方体，至少还需要补搭（ ）个小正方体。 【答案】48 10 【分析】几何体是由棱长1cm的小正方体拼成的，那么每个小正方体的一个面的面积是1×1＝1cm2。观察该几何体：从左面和后面看到的面的数量相同，各有8个面；前面和右面看到的面的数量相同，各有8个面；上面和下面看到的面的数量相同，各有8个面。所以几何体的表面积为（8＋8＋8）×2×1＝24×2×1＝48cm2。 观察几何体可知，补搭成的正方体的棱长至少为3cm，那么几何体包含正方体的个数为3×3×3＝27（个）。几何体最上层有3个，中间层有6个，最下层有8个，总共3＋6＋8＝17个。所以至少还需要补搭27－17＝10个小正方体。 【解答】1×1＝1（cm2） 几何体从左面和后面看各有8个面；前面和右面看各有8个面；上面和下面看各有8个面。 （8＋8＋8）×2×1 ＝24×2×1 ＝48×1 ＝48（cm2） 3×3×3＝27（个） 几何体最上层有3个，中间层有6个，最下层有8个。 3＋6＋8＝17（个） 27－17＝10（个） 这个几何体的表面积是48cm2；如果把它补搭成一个正方体，至少还需要补搭10个小正方体。 13．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是10cm、8cm、6cm，正方体的棱长是（ ）cm。这个正方体的表面积是（ ） cm2，体积是（ ）cm3。 【答案】8 384 512 【分析】已知一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，先根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体的棱长总和，也是正方体的棱长总和； 再根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出它的棱长； 根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算，求出它的表面积和体积。 【解答】（10＋8＋6）×4 ＝24×4 ＝96（cm） 96÷12＝8（cm） 8×8×6 ＝64×6 ＝384（cm2） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（cm3） 填空如下： 正方体的棱长是（8）cm。这个正方体的表面积是（384）cm2，体积是（512）cm3。 14．一个长方体，如果长增加2cm，体积增加80cm3；如果宽增加3cm，体积增加180cm3；如果高增加4cm，体积增加96cm3。这个长方体的长是（ ）cm、宽是（ ）cm、高是（ ）cm。 【答案】6 4 10 【分析】如果长增加2cm，体积增加80cm3；增加部分体积等于长是2cm，宽等于原长方体的宽，高等于原长方体的高的长方体；根据体积＝长×宽×高，体积÷2＝宽×高；80÷2＝40cm2，求出宽与高的积。 如果宽增加3cm，体积增加180cm3，增加部分体积是宽是3cm，长等于原长方体的长，高等于原长方体的高的长方体，用体积÷2，即180÷3＝60cm2，求出长与高的积。 如果高增加4cm，体积增加96cm3，增加部分体积等于高等于4cm，长等于原来长方体的长，宽等于原来长方体的宽的长方体，用体积÷4，即96÷4＝24cm2，求出长与宽的乘积。 再根据长×高×长×宽＝60×24；化为长×长×（高×宽）＝60×24；则长×长＝60×24÷（高×宽），即化为60×24÷40，据此求出长方体的长，进而求出宽和高。 【解答】80÷2＝40（cm2） 宽×高＝40（cm2） 180÷3＝60（cm2） 长×高＝60（cm2） 96÷4＝24（cm2） 长×宽＝24（cm2） 长×高×长×宽＝60×24 长×长×（高×宽）＝60×24 长×长＝60×24÷（高×宽） 60×24÷40 ＝1440÷40 ＝36 36＝6×6，所以长是6cm。 24÷6＝4（cm） 宽是4cm。 40÷4＝10（cm） 高是10cm。 一个长方体，如果长增加2cm，体积增加80cm3；如果宽增加3cm，体积增加180cm3；如果高增加4cm，体积增加96cm3。这个长方体的长是6cm、宽是4cm、高是10cm。 15．如图，乐乐将一条2cm长的线段向右平移6cm，它扫过的面积是（ ）cm2，接着把形成的面向上平移3cm，会形成一个长方体，长方体的体积是（ ）cm3。 【答案】12 36 【分析】线段长2cm，向右平移6cm，扫过的图形是一个长方形，长方形的长为6cm，宽为2cm，然后根据“长方形面积＝长×宽”计算出扫过的面积为6×2＝12cm2；平移形成的长方形面积为12cm2，接着把这个长方形向上平移3cm形成长方体，此时长方体的底面积就是这个长方形的面积12cm2，高为3cm，再根据“长方体体积＝底面积×高”计算出该长方体的体积为12×3＝36cm3。 【解答】6×2＝12（cm2） 因此，扫过的面积是12cm2。 12×3＝36（cm3） 因此，该长方体的体积是36cm3。 16．一根长方体木料，长5m，横截面的面积是。这根木料的体积是（ ）。如果这根木料的横截面是正方形，要在这根木料的表面刷绿色油漆，要刷油漆（ ）。 【答案】0.45 6.18 【分析】根据长方体体积＝底面积×高，用木料的横截面×木料的高（也就是木料的长），即可求出木料的体积；根据正方形面积＝边长×边长，据此求出截面的边长，也就是木料的长和宽，再根据正方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答，注意单位名数的换算。 【解答】9dm2＝0.09m2 0.09×5＝0.45（m3） 9＝3×3，所以木料的长是3dm，宽是3dm。 3dm＝0.3m （0.3×0.3＋0.3×5＋0.3×5）×2 ＝（0.09＋1.5＋1.5）×2 ＝（1.59＋1.5）×2 ＝3.09×2 ＝6.18（m2） 一根长方体木料，长5m，横截面的面积是9dm2。这根木料的体积是0.45m3。如果这根木料的横截面是正方形，要在这根木料的表面刷绿色油漆，要刷油漆6.18m2。 三、计算题 17．计算图形的表面积和体积。 【答案】表面积是1700平方厘米；体积是4000立方厘米 【分析】由于长方体与正方体粘合在一起，所以求这个组合图形的表面积时，长方体求出表面积，正方体只求4个面的面积，然后合并起来就是该图形的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4。 这个组合图形的体积等于长方体与正方体的体积之和。长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【解答】表面积：（20×10＋20×15＋10×15）×2＋10×10×4 ＝（200＋300＋150）×2＋10×10×4 ＝650×2＋10×10×4 ＝1300＋400 ＝1700（平方厘米） 体积：20×10×15＋10×10×10 ＝3000＋1000 ＝4000（立方厘米） 四、解答题 18．小雨先将一个长8分米、宽5分米、高2分米的长方体水缸装满水，然后把一根长3分米、宽2分米、高4分米的长方体铁棒立着（铁棒的底面与水缸的底面完全贴合）放到水缸中，水缸溢出的水的体积是多少立方分米？ 【答案】12立方分米 【分析】溢出的水的体积＝铁棒长×宽×水缸高。 【解答】3×2×2＝12（立方分米） 答：水缸溢出的水的体积是12立方分米。 19．一块长方形纸板，长为30厘米，宽为20厘米，先在纸板的四个角分别剪掉一个边长为5厘米的小正方形，再折成一个无盖纸盒。这个纸盒所用的纸板是多少平方厘米？纸盒的容积是多少？（纸板的厚度忽略不计） 【答案】500平方厘米；1000立方厘米 【分析】无盖纸板的面积＝长方形纸板的面积－4个小正方形的面积； 纸盒的容积＝纸盒的长×纸盒的宽×纸盒的高，纸盒的长＝长方形纸板的长－5×2，纸盒的宽＝长方形纸板的宽－5×2，纸盒的高为5cm。 【解答】30×20－5×5×4 ＝600－25×4 ＝600－100 ＝500（平方厘米） （30－5×2）×（20－5×2）×5 ＝（30－10）×（20－10）×5 ＝20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 答：这个纸盒所用的纸板是500平方厘米，纸盒的容积是1000立方厘米。 20．《九章算术》中记载了一种测量物体体积的方法——“载粟术”：将物体放入盛满粟米的容器中，溢出的粟米体积即为物体体积；古希腊数学家阿基米德在浴缸中发现：浸入液体的物体体积等于排开液体的体积。小明想用这样的方法测量一个土豆的体积，他先将850毫升的水倒入长方体容器中，量得的水深是8.5厘米，然后他将土豆完全浸没水中，这时水深10厘米。请你求出这个土豆的体积是多少立方厘米？ 【答案】150立方厘米 【分析】根据阿基米德的发现：浸入液体的物体体积等于排开液体的体积。将土豆完全浸没水中，上升的水的体积就是土豆的体积，把850毫升化为850立方厘米，根据长方体的体积＝底面积×高，用850除以8.5求出长方体容器的底面积，再乘上升的水的高度（10－8.5）厘米，就是排开水的体积，也就是土豆的体积。 【解答】850毫升＝850立方厘米 850÷8.5×（10－8.5） ＝100×1.5 ＝150（立方厘米） 答：这个土豆的体积是150立方厘米。 21．有一根长6米的长方体木料，把它锯成相同的4段，表面积比原来增加了180平方厘米，原来的长方体木料的体积是多少立方厘米？ 【答案】18000立方厘米 【分析】根据题意，把一根长方体木料锯成4段，需锯3次，每锯一次增加2个面，则锯3次增加3×2＝6个面；用增加的表面积除以6，求出一个面的面积； 根据长方体的体积公式V＝Sh，用一个面的面积乘木料原来的长度，即是原来木料的体积。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【解答】6米＝600厘米 （4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 180÷6＝30（平方厘米） 30×600＝18000（立方厘米） 答：原来的长方体木料的体积是18000立方厘米。 22．如图是一个长方体容器，底面是边长为8厘米的正方形，水面的高度是6厘米。将一个长为6厘米、宽为5厘米的小长方体浸没在水中（水未溢出），水面上升了1.5厘米，这个小长方体的高是多少厘米？ 【答案】3.2厘米 【分析】已知长方体容器底面是边长为8厘米的正方形，将小长方体浸没在水中（水未溢出），水面上升了1.5厘米，根据“长方体体积＝长 ×宽×高”计算出上升的水的体积，即为小长方体的体积；已知小长方体长6厘米、宽5厘米，根据“长方形面积＝长×宽”计算出小长方体的底面积，最后根据“长方体体积＝底面积×高”，用小长方体的体积除以底面积计算出小长方体的高。 【解答】8×8×1.5 ＝64×1.5 ＝96（立方厘米） 96÷（6×5） ＝96÷30 ＝3.2（厘米） 答：这个小长方体的高是3.2厘米。 23．小明有一件长15厘米、宽12厘米、高7厘米的工艺品，他准备给它找一个长方体包装盒。 （1）一个体积是1.12立方分米长方体的包装盒，从里面量长16厘米，宽14厘米。能装下这个工艺品吗？说明理由。 （2）下图是新找的一个长方体包装盒。现在要按如图方式给这个包装盒系上彩带，接头处彩带长16厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 【答案】（1）装不下 （2）108厘米 【分析】（1）体积单位是立方分米，需先换算为立方厘米，根据1立方分米＝1000立方厘米。装下的判断标准：不仅要比较体积，更要保证包装盒的长、宽、高分别大于或等于工艺品的长、宽、高，因此需要先通过长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，推导出高＝体积÷长÷宽，求出包装盒的内部高度。 （2）彩带长度构成：十字交叉方式包含2条长、2条宽、4条高的长度，再加上接头处的16厘米。 【解答】（1）1.12立方分米＝1.12×1000＝1120立方厘米 1120÷16÷14 ＝70÷14 ＝5（厘米） 16＞15、14＞12、5＜7 答：因为包装盒内部高度5厘米小于工艺品高度7厘米，所以不能装下。 （2）2×16＋2×14＋4×8＋16 ＝32＋28＋32＋16 ＝60＋32＋16 ＝92＋16 ＝108（厘米） 答：一共需要108厘米的彩带。 24．李叔叔是一名快递员，他接收到一件长35厘米、宽15厘米、高20厘米的近似长方体物品，现在要为它挑选一个合适的快递外包装。现有快递外包装尺寸如图：（单位：厘米） A．棱长20厘米                        B．长35厘米，宽10厘米，高20厘米 C． 长40厘米，宽20厘米，高21厘米       D．棱长50厘米 （1）我认为他应该选择（    ）最合适。（填字母） （2）这个快递外包装至少需要多大的纸板才能制作完成？（接口忽略不计） （3）装入这个物品后，还需要在空余的地方塞满填充物以避免在运输途中磕碰损坏，要准备多少立方厘米的填充物？ 【答案】（1）C （2）4120平方厘米 （3）6300立方厘米 【分析】（1）要能装下长35厘米、宽15厘米、高20厘米的物品，外包装的长、宽、高需分别大于等于物品的长、宽、高。A包装棱长20厘米，20＜35，装不下，排除。B包装宽10＜15，装不下，排除。C包装长40＞35，宽20＞15，高21＞20，能装下。D包装棱长50厘米，虽然能装下，但过于大，浪费空间，不是最合适的。 （2）外包装所需纸板面积（即表面积），外包装是长40厘米、宽20厘米、高21厘米的长方体，根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2（其中a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式计算即可。 （3）填充物体积等于外包装体积减去物品体积。外包装长40厘米，宽20厘米，高21厘米，根据长方体体积公式V＝abh，外包装体积为：40×20×21＝16800（立方厘米）。物品长35厘米、宽15厘米、高20厘米，体积为35×15×20＝10500（立方厘米）。填充物体积就是用16800减10500计算得出。 【解答】（1）A包装棱长20厘米，20＜35，排除。B包装宽10＜15，排除。C包装长40＞35，宽20＞15，高21＞20，能装下。D包装棱长50厘米，虽然能装下，但过于大，浪费空间。 我认为他应该选择C最合适。 （2）（40×20＋40×21＋20×21）×2 ＝（800＋840＋420）×2 ＝2060×2 ＝4120（平方厘米） 答：至少需要4120平方厘米的纸板。 （3）40×20×21＝16800（立方厘米） 35×15×20＝10500（立方厘米） 16800－10500＝6300（立方厘米） 答：要准备6300立方厘米的填充物。 25．米糕是一道非常受欢迎的传统糕点，不同地区有着不同的特色和制作方法。某米糕店有一款长方体硅胶米糕模具，模具被分成大小均匀的小方格（如图）。制作米糕时，将拌好的米糊倒入方格，大火蒸20分钟即可。 （1）如果忽略模具格子的厚度，米糕高度不超过模具高度，蒸好的一个米糕体积最大是多少立方厘米？ （2）每3个米糕并排装一个礼盒，如果每个礼盒用丝带系好并扎上蝴蝶结。蝴蝶结处需用丝带2分米，包装一盒至少要准备几分米的丝带？（礼盒厚度忽略不计） （3）如果将每4盒米糕拼成一个长方体装进一个纸箱里，先想一想怎样设计纸箱最节省材料，再算一算制作这样一个纸箱需要纸板多少平方分米？（盒子厚度忽略不计） 【答案】（1）125立方厘米 （2）8分米 （3）8平方分米 【分析】（1）由图可知该模具长25厘米、宽15厘米、高5厘米，长分5格，每格长25÷5＝5厘米，宽分3格，每格长15÷3＝5厘米，因此每小格是棱长5厘米的正方体；然后根据“正方体的体积（容积）＝棱长×棱长×棱长”计算出正方体方格的容积，即一个米糕的体积。 （2）用丝带系礼盒，丝带的长度由2个长、2个宽、4个高以及蝴蝶结的长度组成。已知每3个米糕并排装一个礼盒，即将3个棱长5厘米的正方体拼成1个长方体，则该长方体的长为5×3＝15厘米，宽为5厘米，高为5厘米，先统一单位，15厘米＝1.5分米，5厘米＝0.5分米，然后用“长×2＋宽×2＋高×4＋蝴蝶结长度”计算出丝带的长度。 （3）要使设计的纸箱最节省材料，即拼成的大长方体表面积最小，当长方体的长、宽、高数值接近时，表面积最小，即需把4个小长方体按2×2层叠，大长方体的长为15厘米，宽为5×2＝10厘米，高为5×2＝10厘米，然后根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出该长方体的表面积，即纸箱需要纸板的面积，最后统一单位，将平方厘米换算为平方分米（1平方分米＝100平方厘米）。 【解答】（1）25÷5＝5（厘米） 15÷3＝5（厘米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 答：蒸好的一个米糕体积最大是125立方厘米。 （2）5×3＝15（厘米） 15厘米＝1.5分米 5厘米＝0.5分米 1.5×2＋0.5×2＋0.5×4 ＝3＋1＋2 ＝4＋2 ＝6（分米） 6＋2＝8（分米） 答：包装一盒至少要准备8分米的丝带。 （3）5×2＝10（厘米） 5×2＝10（厘米） （15×10＋15×10＋10×10）×2 ＝（150＋150＋100）×2 ＝（300＋100）×2 ＝400×2 ＝800（平方厘米） 800平方厘米＝8平方分米 答：制作这样一个纸箱需要纸板8平方分米。 学科网（北京）股份有限公司 $