第三单元易错易混专项08 运用长方体和正方体的表面积解决问题一-2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测（人教版）

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为人教版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 第三单元易错易混专项08 运用长方体和正方体的表面积解决问题一 1．光华街口装了一个新的长方体铁皮邮箱，长50cm，宽40cm，高78cm。做这个邮箱至少需要多少平方厘米的铁皮？ 2．学校要粉刷新教室。已知教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗的面积是12.6平方米。如果每平方米需要花18元粉刷费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ 3．一根3米长的铁皮通风管，它的横截面是边长为50厘米的正方形（如图），如果工厂要做50根这样的通风管，需要多少平方米的铁皮？ 4．小红用3个长方体积木搭成下面的立体图形，这个立体图形前后面的面积一共是多少？上面的面积是多少？左右面的面积一共是多少？ 5．一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）。门窗的面积是23平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 6．有一个养鱼池长35米、宽15米，深1.8米，它的占地面积是多少平方米？现在要把周围和地面铺上瓷砖，铺瓷砖的面积是多少平方米？ 7．一个无盖的长方体纸箱，从里面量长15分米，宽3分米，深4分米，这个纸箱的占地面积是多少？做两个这样的纸箱至少要用多少平方米纸板？ 8．刘阿姨家的客厅长8米，宽6米，高3米。刘阿姨要粉刷客厅的墙壁和天花板，平均每平方米用涂料0.3千克，除去门窗面积22平方米，粉刷客厅一共需要涂料多少千克？ 9．有3种不同长度的小棒。 用橡皮泥和这些小棒，你能搭出几种不同形状的长方体或正方体？请用你喜欢的方式表述，并求出表面积。 10．一个纸盒，正好能放进两个完全一样的长方体（如下图，单位：dm），这个纸盒的表面积是多少平方分米？请画图说明你的结论。 11．要用铁丝围成一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体框架。 （1）至少需要多长的铁丝？ （2）若将这个框架用包装纸包装成封闭的纸箱，至少需要多大面积的包装纸？ 12．星光小学生物小组做了一个昆虫箱（如下图），昆虫箱的上、下、左、右面是木板，前、后面是纱网。制作这样一个昆虫箱至少需要木板和纱网各多少平方厘米？（木板厚度忽略不计） 13．学校小图书室长88分米，宽32分米，高3米。学校计划先给图书室铺地砖，然后粉刷图书室的四壁。 （1）若选用正方形地砖铺满整个图书室（正好铺满且无切割），你建议学校采购的正方形地砖最大边长是多少分米？ （2）请计算出图书室要粉刷的四壁的面积是多少？（门窗面积忽略不计） 14．有一批A、B、C、D四种不同规格的纸板（数量足够多），从中选六张做成长方体（包括正方体），怎么选，使做成的长方体表面积最大，最大的表面积是多少平方厘米？ 15．有两根同样长的铁丝，小明用其中的一根做成了一个长方体框架，小刚用另一根做成了一个正方体框架。小明做的长方体框架的长、宽、高分别是6厘米、5厘米、4厘米。 （1）小刚做的正方体框架的棱长是多少厘米？ （2）如果把这两个框架都贴上塑料膜，哪个用的塑料膜多？ 16．在5月的第二个星期日是母亲节。母亲节这天，张亮为妈妈买了礼物，他按下面的方法给礼品盒扎丝带，打结处用去丝带20厘米。 （1）扎这个礼品盒用去丝带多少厘米？ （2）制作这样一个礼品盒，至少需要纸板多少平方厘米？（接缝处忽略不计） 17．如下图，母亲节到了，可可为妈妈准备了一份礼物，她准备用彩带装饰礼品盒，蝴蝶结部分的彩带长4分米。 （1）她至少要准备多长的彩带？ （2）如果把这个长方体礼品盒的前、后、左、右四个面称为侧面，那么，长方体礼品盒的侧面积可以用“底面周长×高”计算吗？请以上图的长方体为例，写出你的思考过程。 18．水立方位于北京奥林匹克公园内，它与一墙之隔的鸟巢一起被称为2008年北京奥运会两大标志性建筑物。在水立方内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是65米，深是3米。 （1）在内壁沿池底向上2米处画一条水位线，水位线的全长是（    ）米。 （2）如果用瓷砖贴水池的四周和底面，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 19．把8个棱长为1厘米的正方体摆成一个长方体。 （1）怎样摆长方体的表面积最大？表面积最大是多少平方厘米？ （2）怎样摆长方体的表面积最小？表面积最小是多少平方厘米？ 20．为更好落实县教体局提出的“六项关键工作”，某小学完善班级读书角，每班需要做3个简易书架（如图）。每班至少需要多少平方分米的木料？ 21．一款硅胶手机外壳的形状近似于长方体，尺寸如图，做一个这样的手机外壳（5个面）大约需要多少平方厘米的硅胶？（手机壳上的孔窗大小忽略不计）    22．有一幢长方体建筑物（如图）。 （1）如果在这幢长方体建筑物的四周装彩灯（地面的四边不装），一捆长125米的彩灯线够用吗？ （2）为了创建卫生城市，工人师傅要粉刷这幢建筑物的四周，已知门窗的总面积是125平方米，如果每平方米需要费用12元，粉刷这幢建筑物需要花费多少钱？    23．课间休息，小明和小红玩起搭框架的数学游戏。 （1）搭立体图形。 （2）摆平面图形。 长度为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米的木棍各一根（不许折断，不得重复使用相同长度的木根。可首尾相连），从中取出若干根组成正方形，有几种不同的拼法？ 24．为方便市民在暑期“快乐戏水、消暑降温”，东方游泳馆新建了一个长20米，宽10米，深2米的游泳池。请你帮忙算一算。 （1）要在它的四周和底面贴边长为2分米的正方形瓷砖，共需要多少块这样的瓷砖？ （2）如果每块瓷砖4.5元，铺完这个游泳池需要多少钱？ 25．竹编是我国传统手艺中最为古老的一种。制作竹编的工艺复杂，工序繁多，用竹量大。据了解，做一个如图的竹编收纳箱，每平方分米用竹量约4千克。 （1）制作这样一个收纳箱，一共需要用多少千克竹子？ （2）王老师要用这个收纳箱来装棱长为0.8分米的礼品盒，最多可以装多少盒？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为人教版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 第三单元易错易混专项08 运用长方体和正方体的表面积解决问题一 1．光华街口装了一个新的长方体铁皮邮箱，长50cm，宽40cm，高78cm。做这个邮箱至少需要多少平方厘米的铁皮？ 【答案】18040平方厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此求出铁皮的面积即可。 【解答】（50×40＋50×78＋40×78）×2 ＝9020×2 ＝18040（平方厘米） 答：做这个邮箱至少需要18040平方厘米的铁皮。 【点睛】本题考查长方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体的表面积计算公式。 2．学校要粉刷新教室。已知教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗的面积是12.6平方米。如果每平方米需要花18元粉刷费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ 【答案】2635.2元 【分析】要求花的钱数，就要求出需要粉刷的面积，粉刷的面积是四壁和天花板面积再减去门窗的面积。然后再乘18元即可解答。 【解答】[9×7＋（9×3＋7×3）×2－12.6]×18 ＝[63＋（27＋21）×2－12.6]×18 ＝[63＋48×2－12.6]×18 ＝[63＋96－12.6]×18 ＝146.4×18 ＝2635.2（元） 答：粉刷这个教室需要花费2635.2元钱。 【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 3．一根3米长的铁皮通风管，它的横截面是边长为50厘米的正方形（如图），如果工厂要做50根这样的通风管，需要多少平方米的铁皮？ 【答案】300平方米 【分析】把单位统一，都化成米，通风管只有侧面没有底面，底面周长乘通风管的长度就是通风管的表面积，再乘50即为所求。 【解答】50厘米＝0.5米 （平方米） 答：需要300平方米的铁皮。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体的表面积公式及应用，关键是明白：通风管只有侧面没有底面。 4．小红用3个长方体积木搭成下面的立体图形，这个立体图形前后面的面积一共是多少？上面的面积是多少？左右面的面积一共是多少？ 【答案】5280cm2，900cm2，900cm2 【分析】前后面的面积＝（长45cm宽30cm的长方形面积＋长30cm宽28cm的长方形面积＋长30cm宽15cm的长方形面积）×2；上面的面积＝长30cm宽10cm的长方形面积×3；左右面的面积＝长45cm宽10cm的长方形面积×2；依此列式计算即可求解。 【解答】前后面的面积： （45×30＋30×28＋30×15）×2 ＝（1350＋840＋450）×2 ＝2640×2 ＝5280（cm2） 上面的面积：30×10×3＝900（cm2） 左右面的面积：45×10×2＝900（cm2） 答：这个立体图形前后面的面积一共是5280cm2，上面的面积是900cm2，左右面的面积一共是900cm2。 【点睛】考查了不规则立体图形的表面积，本题采用相加法：将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积。 5．一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）。门窗的面积是23平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 【答案】2248元 【分析】根据题意，粉刷教室的墙壁和天花板，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积；最后用粉刷面积乘每平方米的涂料费即可。 【解答】15×8＋15×4×2＋8×4×2 ＝120＋120＋64 ＝240＋64 ＝304（平方米） 304－23＝281（平方米） 8×281＝2248（元） 答：粉刷这间教室需要涂料费2248元。 【点睛】关键是先弄清长方体缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 6．有一个养鱼池长35米、宽15米，深1.8米，它的占地面积是多少平方米？现在要把周围和地面铺上瓷砖，铺瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】525平方米；705平方米 【分析】首先明确铺瓷砖的是5个面，缺少上面，它的占地面积等于这个长方体的底面积，根据长方形的面积公式：，求出占地面积； 再根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式确定这5个面的总面积即可。 【解答】（平方米） （平方米） 答：它的占地面积是525平方米，铺瓷砖的面积是705平方米。 【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 7．一个无盖的长方体纸箱，从里面量长15分米，宽3分米，深4分米，这个纸箱的占地面积是多少？做两个这样的纸箱至少要用多少平方米纸板？ 【答案】45平方分米；3.78平方米 【分析】纸箱的占地面积是长方体的底面积；算出长方体的5个面的面积就是纸板的面积，再算出做两个这样的纸箱需要用的纸板面积。 【解答】15×3＝45（平方分米） （15×3＋15×4×2＋3×4×2）×2 ＝189×2 ＝378（平方分米） ＝3.78（平方米） 答：这个纸箱的占地面积是45平方分米；做两个这样的纸箱至少要用3.78平方米纸板。 【点睛】本题考查长方体的表面积，解答本题的关键是掌握长方体的表面积计算公式。 8．刘阿姨家的客厅长8米，宽6米，高3米。刘阿姨要粉刷客厅的墙壁和天花板，平均每平方米用涂料0.3千克，除去门窗面积22平方米，粉刷客厅一共需要涂料多少千克？ 【答案】33千克 【分析】需要粉刷的面积是客厅墙壁和天花板5个面的面积，再减去门窗的面积，最后乘每平方米需要涂料的质量，据此解答。 【解答】8×6＋（8×3＋6×3）×2－22 ＝8×6＋（24＋18）×2－22 ＝8×6＋42×2－22 ＝48＋84－22 ＝132－22 ＝110（平方米） 110×0.3＝33（千克） 答：粉刷客厅一共需要涂料33千克。 【点睛】本题主要考查长方体表面积公式的实际应用，计算时需要弄清粉刷的面积。 9．有3种不同长度的小棒。 用橡皮泥和这些小棒，你能搭出几种不同形状的长方体或正方体？请用你喜欢的方式表述，并求出表面积。 【答案】搭出4种；表面积见详解 【分析】根据长方体、正方体的特征来作答；正方体的棱长都相等，根据不同的棱长来进行分类。长方体根据相交于一个顶点的三条棱的不同而不同来分类。再根据长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2和正方体的表面积公式：S＝6a2求出即可。 【解答】（1）可以选择12根6厘米的小棒，组成棱长为6厘米的正方体。 6×6×6＝216（平方厘米） （2）可以选择8根6厘米的小棒，4根4厘米的小棒，组成长方体。 （6×6＋6×4＋6×4）×2 ＝（36＋24＋24）×2 ＝84×2 ＝168（平方厘米） （3）可以选择8根6厘米的小棒，4根3厘米的小棒，组成长方体。 （6×6＋6×3＋6×3）×2 ＝（36＋18＋18）×2 ＝72×2 ＝144（平方厘米） （4）可以选择4根6厘米的小棒，4根4厘米的小棒，4根3厘米的小棒，组成长方体。 （6×4＋6×3＋4×3）×2 ＝（24＋18＋12）×2 ＝54×2 ＝108（平方厘米） 答：能搭出4种不同形状的立方体。它们的表面积分别是216平方厘米、168平方厘米、144平方厘米、108平方厘米。 【点睛】本题考查了长方体和正方体的特征，正方体12条棱的长度都相等。再根据长方体和正方体的表面积公式解决问题。 10．一个纸盒，正好能放进两个完全一样的长方体（如下图，单位：dm），这个纸盒的表面积是多少平方分米？请画图说明你的结论。 【答案】164dm2；158dm2；148dm2 画图见详解 【分析】 有这样三种情况满足题意，再根据长方体的表面积计算公式进行解答即可。 【解答】（1） 纸盒的长、宽、高分别是：10dm，3dm，4dm。 表面积： （dm2） （2） 纸盒的长、宽、高分别是：5dm，3dm，8dm。 表面积： (dm2) （3） 纸盒的长、宽、高分别是：5dm，6dm，4dm。 表面积： (dm2) 答：这个纸盒的表面积是164dm2或158dm2或148dm2。 【点睛】本题考查长方体的表面积，解答本题的关键是掌握题中的三种情况。 11．要用铁丝围成一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体框架。 （1）至少需要多长的铁丝？ （2）若将这个框架用包装纸包装成封闭的纸箱，至少需要多大面积的包装纸？ 【答案】（1）48cm（2）94cm2 【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，求至少需要多少厘米的铁丝就是求长方体的棱长和是多少，用（长＋宽＋高）×4列式计算；求需要多大面积的包装纸，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，进行解答即可。 【解答】（1）（5＋4＋3）×4 ＝12×4 ＝48（cm） 答：至少需要48cm的铁丝。 （2）（5×4＋5×3＋3×4）×2 ＝（20＋15＋12）×2 ＝47×2 ＝94（cm2） 答：至少需要94cm2的包装纸。 【点睛】此题主要考查长方体的特征及棱长总和、表面积的计算方法。 12．星光小学生物小组做了一个昆虫箱（如下图），昆虫箱的上、下、左、右面是木板，前、后面是纱网。制作这样一个昆虫箱至少需要木板和纱网各多少平方厘米？（木板厚度忽略不计） 【答案】木板：2600平方厘米；纱网：2100平方厘米 【分析】由题意可知，木板的面积＝长方体的上面的面积＋下面的面积＋左面的面积＋右面的面积；纱网的面积＝长方体前面的面积＋后面的面积，据此代入数值进行计算即可。 【解答】35×20×2＋20×30×2 ＝700×2＋600×2 ＝1400＋1200 ＝2600（平方厘米） 35×30×2 ＝1050×2 ＝2100（平方厘米） 答：制作这样一个昆虫箱至少需要2600平方厘米的木板，2100平方厘米的纱网。 【点睛】本题考查长方体的表面积，明确木板和纱网都是哪几个面是解题的关键。 13．学校小图书室长88分米，宽32分米，高3米。学校计划先给图书室铺地砖，然后粉刷图书室的四壁。 （1）若选用正方形地砖铺满整个图书室（正好铺满且无切割），你建议学校采购的正方形地砖最大边长是多少分米？ （2）请计算出图书室要粉刷的四壁的面积是多少？（门窗面积忽略不计） 【答案】（1）8分米 （2）72平方米 【分析】（1）若要正方形地砖铺满图书室，说明地砖边长必须是地面长边的因数，又是地面短边的因数，因此88和32的最大公因数就是地砖的最大边长。 （2）粉刷图书室的四壁，粉刷面积即为前后左右四面的面积和。 【解答】（1）88＝2×2×2×11 32＝2×2×2×2×2 88和32的最大公因数是：2×2×2＝8 答：学校采购的正方形地砖最大边长是8分米。 （2）88分米＝8.8米，32分米＝3.2米 8.8×3×2＋3.2×3×2 ＝（8.8＋3.2）×3×2 ＝12×3×2 ＝72（平方米） 答：图书室要粉刷的四壁的面积是72平方米。 【点睛】本题考查用求公因数的方法解决铺地砖问题，能够铺满地面无切割的方砖边长，应是长与宽的所有公因数，注意题目问法，是求所有适合的方砖边长，还是求方砖的最大边长。 14．有一批A、B、C、D四种不同规格的纸板（数量足够多），从中选六张做成长方体（包括正方体），怎么选，使做成的长方体表面积最大，最大的表面积是多少平方厘米？ 【答案】210平方厘米 【分析】尽可能选面积最大的长方形，第一个面积是5×8＝40（平方厘米），第二个面积是3×5＝15（平方厘米），第三个是8×3＝24（平方厘米），第四个面积是5×5＝25（平方厘米），根据题意，可以选A长方形纸板4张，D长方形纸板2张，拼成一个长是8厘米，宽是5厘米，高是5厘米的长方体，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【解答】5×8＝40（平方厘米） 3×5＝15（平方厘米） 8×3＝24（平方厘米） 5×5＝25（平方厘米） 40＞25＞24＞15 可以选A长方形纸板4张，D长方形纸板2张，拼成一个长是8厘米，宽是5厘米，高是5厘米的长方体。 （40＋40＋25）×2 ＝105×2 ＝210（平方厘米） 答：最大的表面积是210平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 15．有两根同样长的铁丝，小明用其中的一根做成了一个长方体框架，小刚用另一根做成了一个正方体框架。小明做的长方体框架的长、宽、高分别是6厘米、5厘米、4厘米。 （1）小刚做的正方体框架的棱长是多少厘米？ （2）如果把这两个框架都贴上塑料膜，哪个用的塑料膜多？ 【答案】（1）5厘米 （2）正方体 【分析】（1）根据题意，用两根同样长的铁丝，分别做成了长方体、正方体框架，已知长方体框架的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝的长度，同时也是正方体框架的棱长总和；再根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体框架的棱长。 （2）求这两个框架用塑料膜的面积，就是求正方体、长方体的表面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可，再比较大小，面积越大，用塑料膜就越多。 【解答】（1）铁丝的长度： （6＋5＋4）×4 ＝15×4 ＝60（厘米） 正方体的棱长： 60÷12＝5（厘米） 答：小刚做的正方体框架的棱长是5厘米。 （2）正方体的表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 长方体的表面积： （6×5＋6×4＋5×4）×2 ＝（30＋24＋20）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 150＞148 答：正方体框架用的塑料膜多。 【点睛】（1）分析出铁丝的长度等于长方体、正方体的棱长总和，然后灵活运用长方体、正方体的棱长总和公式是解题的关键； （2）明确求正方体、长方体框架用的塑料膜，就是求正方体、长方体的表面积，运用正方体、长方体的表面积公式列式计算。 16．在5月的第二个星期日是母亲节。母亲节这天，张亮为妈妈买了礼物，他按下面的方法给礼品盒扎丝带，打结处用去丝带20厘米。 （1）扎这个礼品盒用去丝带多少厘米？ （2）制作这样一个礼品盒，至少需要纸板多少平方厘米？（接缝处忽略不计） 【答案】（1）72厘米 （2）312平方厘米 【分析】（1）从图中可知，扎这个礼品盒用去丝带的长度＝两条长＋两条宽＋4条高＋打结处丝带的长度。 （2）求制作这样一个礼品盒，至少需要纸板的面积，就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【解答】（1）12×2＋8×2＋3×4＋20 ＝24＋16＋12＋20 ＝72（厘米） 答：扎这个礼品盒用去丝带72厘米。 （2）（12×8＋12×3＋8×3）×2 ＝（96＋36＋24）×2 ＝156×2 ＝312（平方厘米） 答：至少需要纸板312平方厘米。 【点睛】本题考查长方体棱长总和、表面积公式的灵活运用，关键是结合图形，分析出给礼品盒扎丝带时的包装方法。 17．如下图，母亲节到了，可可为妈妈准备了一份礼物，她准备用彩带装饰礼品盒，蝴蝶结部分的彩带长4分米。 （1）她至少要准备多长的彩带？ （2）如果把这个长方体礼品盒的前、后、左、右四个面称为侧面，那么，长方体礼品盒的侧面积可以用“底面周长×高”计算吗？请以上图的长方体为例，写出你的思考过程。 【答案】（1）40分米； （2）可以；思考过程见详解。 【分析】（1）通过观察图形发现：彩带的长＝长×2＋宽×2＋高×4＋结的长。把长7分米、宽3分米、高4分米、蝴蝶结4分米，代入上式计算即可。 （2）前面的面积＝长×高，右面的面积＝宽×高，后面的面积＝长×高，左面的面积＝宽×高，长方体的侧面积＝长×高＋宽×高＋长×高＋宽×高，根据乘法分配律则有：长方体的侧面积＝（长＋宽＋长＋宽）×高＝（长＋宽）×2×高＝底面周长×高。 【解答】（1）7×2＋3×2＋4×4＋4 ＝14＋6＋16＋4 ＝40（分米） 答：她至少要准备40分米长的彩带。 （2）7×4＋3×4＋7×4＋3×4 ＝（7＋3＋7＋3）×4 ＝（7＋3）×2×4 ＝10×2×4 ＝80（平方分米） （7＋3）×2分米是底面周长，4分米是高，即长方体的侧面积＝底面周长×高。 答：长方体礼品盒的侧面积可以用“底面周长×高”计算，这个礼品盒的侧面积是80平方分米。 【点睛】计算彩带的长时要明确长、宽、高的条数；长方体的4个侧面的宽相同，都是长方体的高。 18．水立方位于北京奥林匹克公园内，它与一墙之隔的鸟巢一起被称为2008年北京奥运会两大标志性建筑物。在水立方内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽是65米，深是3米。 （1）在内壁沿池底向上2米处画一条水位线，水位线的全长是（    ）米。 （2）如果用瓷砖贴水池的四周和底面，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】（1）230 （2）3940平方米 【分析】（1）根据题意，在内壁沿池底向上2米处画一条水位线，那么水位线的全长是2条长与2条宽的长度之和，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2即可求解。 （2）如果用瓷砖贴水池的四周和底面，即贴瓷砖的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是贴瓷砖的面积。 【解答】（1）（50＋65）×2 ＝115×2 ＝230（米） 水位线的全长是230米。 （2）50×65＋50×3×2＋65×3×2 ＝3250＋300＋390 ＝3940（平方米） 答：贴瓷砖的面积是3940平方米。 【点睛】本题考查长方形的周长、长方体的表面积公式的灵活运用，求贴瓷砖的面积时，要弄清缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 19．把8个棱长为1厘米的正方体摆成一个长方体。 （1）怎样摆长方体的表面积最大？表面积最大是多少平方厘米？ （2）怎样摆长方体的表面积最小？表面积最小是多少平方厘米？ 【答案】（1）把8个棱长为1厘米的正方体摆成一个长为8厘米，宽为1厘米，高为1厘米的长方体的表面积最大，表面积最大是34平方厘米。 （2）把8个棱长为1厘米的正方体摆成一个长为4厘米，宽为1厘米，高为2厘米的长方体表面积最小，表面积最小是28平方厘米。 【分析】根据正方体拼组长方体的方法，可以将8分解质因数，8＝2×2×2，所以8可以写成：2×4，8×1，两种情况，继而分析即可。 【解答】8＝2×2×2 所以8可以写成：2×4或8×1 即用8个棱长为1厘米的正方体组成棱长分别为1厘米、2厘米、4厘米的长方体或者棱长分别为8厘米、1厘米、1厘米的长方体。 （1）（8×1＋8×1＋1×1）×2 ＝（8＋8＋1）×2 ＝17×2 ＝34（平方厘米） 答：把8个棱长为1厘米的正方体摆成一个长为8厘米，宽为1厘米，高为1厘米的长方体的表面积最大，表面积最大是34平方厘米。 （2）（4×1＋4×2＋1×2）×2 ＝（4＋8＋2）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 答：把8个棱长为1厘米的正方体摆成一个长为4厘米，宽为1厘米，高为2厘米的长方体表面积最小，表面积最小是28平方厘米。 【点睛】抓住正方体拼组成长方体的方法，将8分解成几个数乘积的形式，是解决本题的关键。 20．为更好落实县教体局提出的“六项关键工作”，某小学完善班级读书角，每班需要做3个简易书架（如图）。每班至少需要多少平方分米的木料？ 【答案】729平方分米 【分析】看图，这个简易书架一共由6个面组成，每个面都是长方形，据此结合“长方形面积＝长×宽”求出各个面的面积，再相加即可求出每个简易书架需要的木料，再将其乘3求出3个简易书架至少需要多少平方分米的木料。 【解答】120×30×3＋75×30×2＋120×75 ＝10800＋4500＋9000 ＝24300（平方厘米） 24300平方厘米＝243平方分米 243×3＝729（平方分米） 答：每班至少需要729平方分米的木料。 【点睛】本题考查了长方体的表面积，明确是求哪几个面的面积是解题关键。 21．一款硅胶手机外壳的形状近似于长方体，尺寸如图，做一个这样的手机外壳（5个面）大约需要多少平方厘米的硅胶？（手机壳上的孔窗大小忽略不计）    【答案】112平方厘米 【分析】观察这个近似长方体的硅胶手机外壳，长为60毫米，宽为10毫米，高为125毫米，这个长方体缺少一个正面，根据长方体的表面积公式：S＝a×b×2＋a×h＋b×h×2，先统一单位，再代入到公式中，即可得解。 【解答】60毫米＝6厘米 10毫米＝1厘米 125毫米＝12.5厘米 6×1×2＋6×12.5＋1×12.5×2 ＝12＋75＋25 ＝112（平方厘米） 答：大约需要112平方厘米的硅胶。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的表面积公式求解。 22．有一幢长方体建筑物（如图）。 （1）如果在这幢长方体建筑物的四周装彩灯（地面的四边不装），一捆长125米的彩灯线够用吗？ （2）为了创建卫生城市，工人师傅要粉刷这幢建筑物的四周，已知门窗的总面积是125平方米，如果每平方米需要费用12元，粉刷这幢建筑物需要花费多少钱？    【答案】（1）不够用 （2）10500元 【分析】（1）如果在这幢长方体建筑物的四周装彩灯（地面的四边不装），一共是2条长、 2条宽、4条高，求出总长度再与125米比较即可。 （2）粉刷四周的面即2个长×高、2个宽×高的和，减去门窗面积再乘粉刷单价即可求出总价。 【解答】（1）12×2＋8×2＋25×4 ＝24＋16＋100 ＝40＋100 ＝140（米） 140＞125 答：一捆长125米的彩灯线不够用。 （2）（12×25×2＋8×25×2－125）×12 ＝（600＋400－125）×12 ＝875×12 ＝10500（元） 答：粉刷这幢建筑物需要花费10500元。 【点睛】此题考查了求长方体棱长和以及表面积的方法，要熟练掌握。 23．课间休息，小明和小红玩起搭框架的数学游戏。 （1）搭立体图形。 （2）摆平面图形。 长度为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米、7厘米、8厘米、9厘米的木棍各一根（不许折断，不得重复使用相同长度的木根。可首尾相连），从中取出若干根组成正方形，有几种不同的拼法？ 【答案】（1）正方体框架；24平方厘米 （2）9种 【分析】（1）当棱长和相同时，正方体的表面积大于长方体的表面积，本题要求纸的面积最多实质就是求正方体的表面积，而正方体的12条棱－样长，即正方体的棱长是24÷12＝2 （厘米）再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6就可以求出纸的面积； （2）9根木棍的总长度为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45厘米。因为11×4＜45＜12×4，所以组成的正方形边长最大不能超过11厘米，因为各根木棍的长度不相等，所以在正方形的4条相等的边中，至少有3条边是由2根或更多根木棍连成的。由此可见，至少要取出7根木棍，其中至少有1根木棍的长度大于或等于7厘米。这样，所组成的正方形的边长取值范围是从7厘米到11厘米。 【解答】（1）24÷12＝2（厘米） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 答：正方体的框架用的纸最多，面积是24平方厘米。 （2）边长7厘米：7＝1＋6＝2＋5＝3＋4； 边长8厘米：8＝1＋7＝2＋6＝3＋5； 边长9厘米：9＝1＋8＝2＋7＝3＋6，9＝1＋8＝2＋7＝4＋5，9＝1＋8＝3＋6＝4＋5，9＝2＋7＝3＋6＝4＋5，9＝1＋8＝2＋7＝3＋6＝4＋5； 边长10厘米：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6； 边长11厘米：11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6 答：共有9种不同的拼法。 【点睛】本题关键是理解围成正方体时表面积最大，所以掌握正方体的特征和正方体的表面积计算很重要。 24．为方便市民在暑期“快乐戏水、消暑降温”，东方游泳馆新建了一个长20米，宽10米，深2米的游泳池。请你帮忙算一算。 （1）要在它的四周和底面贴边长为2分米的正方形瓷砖，共需要多少块这样的瓷砖？ （2）如果每块瓷砖4.5元，铺完这个游泳池需要多少钱？ 【答案】（1）8000块 （2）36000元 【分析】（1）根据题意可知，求出长方体四周和底面的面积和，再除以每块瓷砖的面积即可解答。 （2）用瓷砖的总数乘每块瓷砖的单价即可解答。 【解答】（1）20×10＋20×2×2＋10×2×2 ＝200＋40×2＋20×2 ＝200＋80＋40 ＝280＋40 ＝320（平方米） 320平方米＝32000平方分米 32000÷（2×2） ＝32000÷4 ＝8000（块） 答：共需要8000块这样的瓷砖。 （2）8000×4.5＝36000（元） 答：铺完这个游泳池需要36000元。 【点睛】熟练掌握长方体的表面积公式是解题的关键。 25．竹编是我国传统手艺中最为古老的一种。制作竹编的工艺复杂，工序繁多，用竹量大。据了解，做一个如图的竹编收纳箱，每平方分米用竹量约4千克。 （1）制作这样一个收纳箱，一共需要用多少千克竹子？ （2）王老师要用这个收纳箱来装棱长为0.8分米的礼品盒，最多可以装多少盒？ 【答案】（1）815.36千克 （2）350盒 【分析】（1）计算制作收纳箱所需竹子的重量，先求出收纳箱的表面积，再根据每平方分米用竹量计算总用竹量。收纳箱是长方体，长方体表面积公式为：S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高）。已知长为8分米，宽为5.6分米，高为4.2分米，把数据代入公式计算即可得出做这样一个收纳箱需要多少平方分米的竹子，再乘4即可得出需要用多少千克竹子。 （2）分别用收纳箱的长（8分米）、宽（5.6分米）、高（4.2分米）除以礼品盒的棱长（0.8分米）得出长、宽、高能容纳礼品盒的数量，再将三者相乘得到可装礼品盒的总数量。 【解答】（1）（8×5.6＋8×4.2＋5.6×4.2）×2 ＝（44.8＋33.6＋23.52）×2 ＝（78.4＋23.52）×2 ＝101.92×2 ＝203.84（平方分米） 203.84×4＝815.36（千克） 答：一共需要用815.36千克竹子。 （2）长方向：8÷0.8＝10（盒） 宽方向：5.6÷0.8＝7（盒） 高方向：4.2÷0.8＝5.25（盒） 由于礼品盒个数为整数，所以高方向最多装5盒。 10×7×5＝350（盒） 答：最多可以装350盒。 学科网（北京）股份有限公司 $