第09讲 二元一次方程组的概念与解法（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年（人教版）七年级数学下册同步讲义与测试

第09讲 二元一次方程组的概念与解法（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】二元一次方程 1. 定义： 含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式， 含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫作二元一次方程 . 2. 二元一次方程应满足的条件识别二元一次方程的方法 化简前  整式方程 化简后  (1)只含有两个未知数； (2) 含有未知数的项的次数都是 1 是整式方程 该项次数是1 该项次数是1 示例： 4x+2y=10 是二元一次方程.含有两个未知数 3. 二元一次方程的一般形式：ax+by=c(a，b，c是常数，且a≠0，b≠ 0). 【知识点02】二元一次方程组 1. 二元一次方程组：方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 说明：未知数的个数与未知项的次数是对化简后的方程而言的. 2. 二元一次方程组应满足的条件 形式 两个方程，方程都是整式方程 未知数的个数 一共有两个未知数 未知项的次数 一次 【知识点03】二元一次方程的解 1. 二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解 . 特别说明： 二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示，如x=2，y=3 是二元一次方程x+y=5 的一组解，可写为 2. 判断一组数值是不是二元一次方程的解的方法 判断一组数值是不是二元一次方程的解，只需将这组数值分别代入方程的左、右两边 . 若左边 = 右边，则这组数值是这个方程的解； 若左边≠ 右边， 则这组数值不是这个方程的解 . 【知识点04】二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解 . 2. 判断一组数值是不是二元一次方程组的解的方法 将这组数值分别代入方程组中的每一个方程中进行检验，若满足每一个方程，则这组数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这组数值就不是这个方程组的解 . 【知识点05】用代入消元法解二元一次方程组 1. 消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为一元一次方程 . 先求出一个未知数，然后再求另一个未知数 . 这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想 . 2. 代入消元法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解 .这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 3.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为y=ax＋b( 或x=ay＋b)(a，b 是常数，a ≠ 0)的形式 一般选未知数系数比较简单的方程变形 ②代入 把y=ax＋b( 或x=ay＋b)代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方程只能代入另一个方程(或另一个方程变形后的方程) ③求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号 ④回代 把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为  的形式. 用“｛” 将未知数的值联立起来可代入原方程组进行检验 【知识点06】用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法. 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤具体 做法 目的 注意事项 ①变形 根据同一个未知数的系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 使某一个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数 (1)选择消元对象：在两个方程中，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单；(2)把某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘 ②加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 (1) 把两个方程相加(减)时，一定要把两个方程的两边分别相加(减)；(2)应用减法消元时，注意符号的变化 ③求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 ④回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 回代时选择系数较简单的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为 ， 的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 【题型一】二元一次方程的定义 例1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是二元一次方程，则________，________． 【答案】 1 1 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的定义，核心是明确二元一次方程需满足：含有两个未知数，且每个含未知数的项的次数均为1．先根据的项的次数为1列出关于的方程，求解得到的值；再将的值代入的项的次数为1的方程中，求解得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴，即，解得； 且，即，解得； 故答案为：，． 变式2．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，其中都是常数，且，请你探究：是否存在一个二元一次方程，其解分别为与，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由． 【答案】存在，这个二元一次方程为 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程解的定义，理解方程解的意义是解题的关键．观察和，可得它们的结构是相同的，再结合方程解的定义即可完成解答． 【详解】解：和中字母系数相同，常数项也相同， 两个等式可以统一表示为， 这个二元一次方程为． 【题型二】二元一次方程的解 例2．（2026七年级下·北京·专题练习）学校计划用元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程与实际问题，关键是根据等量关系列方程，求方程的特殊解；设购买种奖品个，种奖品个，根据总费用列出二元一次方程，再结合、为正整数求符合条件的解的个数即可. 【详解】解：设购买种奖品个，种奖品个， ∵总费用为元， ∴， 化简得：， ∴， ∵为正整数，为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有种购买方案， 故选：A． 变式1．（2026七年级下·北京·专题练习）已知，是二元一次方程的一个解，则的值为______ 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程的解，解题关键是将方程的解代入二元一次方程． 将方程的解代入二元一次方程，建立关于的方程并求解． 【详解】解：将代入方程得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是二元一次方程（a为常数）的一组解，求a的值． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程（a为常数）的一组解， ∴， ∴． 【题型三】判断是否是二元一次方程组 例3．（24-25七年级下·全国·单元测试）在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 变式1．（22-23七年级下·河南洛阳·期中）解二元一次方程组的基本思想是通过______将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解． 【答案】消元 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据解二元一次方程组的基本思想是化二元为一元． 【详解】解：解二元一次方程组的基本思想是通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解． 故答案为：消元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的基本思想． 变式2．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 【题型四】判断是否是二元一次方程组的解 例4．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 【答案】③ 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键；通过分别验证每组解代入二元一次方程组中，看方程组是否成立即可． 【详解】解：①把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ②把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解； ③把代入方程组得： ，， ∴是方程组的解； ④把代入方程组得： ， ∴不是方程组的解． 变式1．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）写出一个解为的二元一次方程组为________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 【答案】(1)不是 (2)是 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】（1）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． （2）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． 【详解】（1）把代入方程组， 发现不满足， 所以不是原方程组的解； （2）把代入方程组， 发现适合每一方程， 所以是原方程组的解． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解方程组的解的定义是解题的关键． 【题型五】已知二元一次方程组的解求参数 例5．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是满足方程组中每个方程未知数的值是解题的关键． 将已知的a、b值代入方程组得到关于x、y的方程组，再通过方程变形求出的值． 【详解】解：∵关于a、b二元一次方程组的解是， ∴，化简得：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得． ∴的值为3． 故选B． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）方程组的解为则被遮盖的■表示的数为________． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，关键是利用方程组的解满足每个方程的性质，通过设未知数建立等式求解．观察题目结构，假设第二个方程右边的被遮盖数与解中的被遮盖数为同一个数，先代入第二个方程求出的值，再将和代入第一个方程即可求出■表示的数． 【详解】解：设第二个方程右边的数和解中的值均为， ∵方程组的解为， ∴将，代入第二个方程， 得，解得； 将，代入第一个方程， 得； 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·山东德州·月考）已知是关于，的方程组的解，则的值． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求出，，再整体代入计算即可． 【详解】解：把代入， 得， ②①得，即， ②①得，即， 所以． 【题型六】代入消元法 例6．（2026七年级下·河北·专题练习）用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了代入法解方程组．代入法解方程组时，优先选择系数为的未知数进行变形，可避免分数运算，简化计算．观察方程组，方程②中的系数为，最适合变形． 【详解】解：∵方程②中，的系数为，变形时无需引入分数，计算简便， ∴由②移项得，此变形最合适， 对比其他选项，A、B、C变形后均含有分数，计算相对繁琐， 故选：D． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组时，如果先消去x，可以将方程①变形为________；如果先消去y，可以将方程②变形为________． 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查代入法解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．消去某个未知数需将该未知数用另一个未知数表示，据此解答即可． 【详解】解：如果先消去x，由方程① ， 移项得 ； 如果先消去y，由方程② ， 移项得 ， 即． 故答案为 ，． 变式2．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期末）解方程组： 【答案】 【知识点】代入消元法 【分析】利用代入法解二元一次方程组，解决问题的关键是消元．首先由①得到③，把③代入②得到关于的一元一次方程求出，再把代入③求出即可． 【详解】解： ， 由①得③， 把③代入②，得， 解得， 把代入③得，， ∴方程组的解为： ． 【题型七】加减消元法 例7．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期末）二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】直接通过消元法解二元一次方程组求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得： 把代入得：， 解得： 原方程组的解为． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组则的值为________． 【答案】2 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的整体加减消元法，解题关键是观察方程系数的特征，通过两式直接相减构造出的表达式，从而简化计算． 通过观察两个方程的系数特点，可直接将两式相减，整体求出的值． 【详解】解：方程组 ： ∴． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）解二元一次方程组： 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： ，得： ， 解得：； 把代入②，得： ， 解得：； ∴方程组的解为：． 【题型八】二元一次方程组的特殊解法 例8．（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选D． 变式1．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）若方程组的解为，则方程组的解为______． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了用换元法求二元一次方程组的解，把方程组变形为：，再根据方程组的解为，由此可得，进而得出答案． 【详解】解：将方程组整理， 可得：， 方程组的解为， 方程组的解为， 整理可得：， 故答案为：． 变式2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解： 由①，得：．③ 把③代入②，得：，解得：． 把代入③，得，解得：． ∴原方程组的解为． 【题型九】二元一次方程组的错解复原问题 例9．（23-24七年级下·全国·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 变式1．（24-25七年级下·重庆·期末）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 【答案】 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可． 【详解】解：由题意知：将代入②得，， ， 将代入①得，， 方程组是， 得， ， ， 将代入得， ， ， 原方程组的解是． 故答案为： 变式2．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 【题型十】构造二元一次方程组求解 例10．（2026七年级下·全国·专题练习）若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·四川遂宁·月考）请写出一个解是的二元一次方程组（不含）______． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解，该题是开放题，注意方程组的解的定义．根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用，代换即可． 【详解】解：的解是， 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】根据一次函数中自变量与函数值的对应关系，将两组、的值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，再求解该方程组得到、的值．本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握利用待定系数法求解一次函数解析式（即通过建立方程组求解未知系数）是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解这个方程组得 【题型十一】已知二元一次方程组的解的情况求参数 例11．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键． 首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可． 【详解】解：令方程组， ①－②，得：， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组，其中，则的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查已知二元一次方程组的解的情况求参数． 通过将两个方程相减，得到的表达式，再根据，即可得的取值范围． 【详解】解：， 得， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：已知满足，且，求m的值． 小亮同学说：“先解关于的方程组，将用含m的式子表示出来，再代入，可求出m的值．” 小明同学观察后说：“方程组中含有字母m，解方程组可能比较麻烦．但中不含字母m，可以先解方程组，再将的值代入，求出m的值．” 请你用一种比较简单的方法，求出m的值． 【答案】4 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查解二元一次方程组，小明的方法比较简单，先解方程组，再将的值代入，即可求出m的值． 【详解】解：采用小明的方法． ，得：， 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 解得． 【题型十二】方程组相同解问题 例12．（24-25七年级下·山东泰安·期中）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，先求出的解，再将解代入中求出a，b，即可求解． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， ∴， 故选：D． 变式1．（23-24七年级下·山东德州·月考）与有相同的解，则______，______． 【答案】 2 1 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题考查了同解方程组．先求出两个方程组的公共解，即解方程组和，得到，；然后将，代入和，得到关于，的方程组，解之即可． 【详解】解：解方程组，得． 将，代入和， 得． 解此方程组，相加得，； 代入 得， ． 故答案为：；． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知方程组和方程组有相同的解，求a，b的值． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解的定义，掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组得到x、y的值，再把x、y的值代入方程组求解即可得到答案． 【详解】解：解方程组，得． 所以， 解得：． 一、单选题 1．下列哪一组x，y的值不是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解需使方程左右两边相等，因此将每组、的值代入方程验证即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、当，时，，故A是方程的解，不符合题意； B、当，时，，故B是方程的解，不符合题意； C、当，时，，故C不是方程的解，符合题意； D、当，时，，故D是方程的解，不符合题意； 故选：C． 2．已知是二元一次方程的一组解，则a的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】把x与y代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入方程得：， 移项合并得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】题目主要考查二元一次方程的解及解一元一次方程，理解题意，熟练掌握运用方程解法是解题关键． 3．用代入消元法解方程组时，将②代入①正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据代入消元法的步骤解答即可． 【详解】将②代入①得， 即， 故选C． 【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式． 4．已知x，y满足，则x-y的值为（    ） A．3 B．-3 C．5 D．0 【答案】A 【分析】用第二个方程减去第一个方程即可解答. 【详解】解：∵ ∴3x-4y-（2x-3y）=8-5 x-y=3. 故选A. 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组以及求代数式的值，掌握整体法成为解答本题的关键. 5．关于的方程组的解为且，则为（   ） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组的解得出，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴的解为， 将两式相加，得， 即， 所以 故选：A． 6．已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程组的定义可知x,y满足4个方程,则先解和组成的方程组求出x、y,然后再把x,y代入另外两个方程求出a,b即可． 【详解】解:根据条件方程组与有相同的解, 可得: ，解得： 把代入和可得,得即. 故选D ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 7．已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；③x，y都为非负整数的解有3对；④若，则．正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程（组的解，熟练掌握解二元一次方程（组的方法是解题的关键．①把代入方程组，求出方程组的解，即可得出的值，然后把代入方程中得出的值，比较即可；②解方程组得到、的值，然后求出的值，如果的值为0，则，互为相反数，否则不是；③根据②中即可得出方程组的非负整数解，从而判断即可；④根据②的证明可知，得到，结合即可求出的值． 【详解】解：①.当时，关于，的方程组为， 解得， ， 当时，， 当时，方程组的解也是的解，正确； ②.， 得，， 解得， 把代入得，， ， 无论取何值，，的值不可能是互为相反数，正确； ③.由②得， 原方程组的非负整数解是，，，，共4对，错误； ④.得，， ， ， 解得，正确； 正确的有①②④， 故选：C． 8．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，先解方程组得到解为，，然后逐一验证三个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； 结论③：，为定值，正确； ∴①②③都正确； 故选：D． 9．已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有对． 正确的有几个（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程x+y=2a+1即可求解； ②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解； ③根据试值法求二元一次方程x+y=3的自然数解即可得结论． 【详解】解：①将a=1代入原方程组，得 解得， 将x=3，y=0，a=1代入方程x+y=2a+1的左右两边， 左边x+y=3，右边2a+1=3， 当a=1时，方程组的解也是x+y=2a+1的解；故①正确； ②解原方程组，得， 若x，y是互为相反数，则x+y=0， 即2a+1+2-2a=0，方程无解． 无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；故②正确； ③∵x+y=2a+1+2-2a=3， ∴x、y为自然数的解有，，，． ∴x、y为自然数的解有4对，故③正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键是用含字母的式子表示方程组的解． 10．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程（组），由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可确定（3）正确；根据，得出或，可确定（4）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，可确定（5）正确． 【详解】解：， ， 解得，故（1）正确； ， ， ， ， ，故（2）正确； 、均取整数， ，，， ∴，，（舍去），（舍去），（舍去），（舍去） ∴m，n有2组整数解，故（3）正确； ∵，无论取何值时，的值均不变， ， ∴或，故（4）不正确； ， ， ， 对任意有理数、都成立， ，故（5）正确； 综上所述：（1）（2）（3）（5）正确， 故选：C． 二、填空题 11．方程是二元一次方程，则m=_____，_____． 【答案】 4 【分析】二元一次方程要求含有两个未知数，未知数的次数是1，可得，解方程可得结果． 【详解】由题可知：， 解得：． 故答案为： ，4． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 12．已知，满足方程组，则的值为______． 【答案】3 【分析】将方程组两方程相加即可求出答案． 【详解】解：， ①②得：， 则． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，关键是注意观察，找出解决问题的简便方法． 13．如图是一个三阶幻方，图中每行、每列、每条对角线上的数字之和相等，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据题意列方程求出a、b、c、d的值代入计算即可． 【详解】依题意得，解得． 故填7． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，正确理解题意，列出方程是解决本题的关键． 14．已知关于、的方程组的解满足方程，则_____． 【答案】4 【分析】①+②可得，然后列出关于a的方程求解即可． 【详解】解： ①+②得：， 则， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 15．若方程组与的解相同，则__________，__________． 【答案】 【分析】本题考查同解方程组的求解，核心是利用“同解方程组的解相同”这一关键条件．解题思路：先解不含参数的方程组得到公共解、，再将、代入含参数的方程组，转化为关于、的二元一次方程组，最后求解该方程组得到、的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵两个方程组的解相同， ∴将，代入，得， 解得， 故答案为：，． 16．若是二元一次方程的一组解，则的值为___________． 【答案】2023 【分析】本题主要考查了代数式求值的知识、二元一次方程的知识，整体代入的思想是解答的关键． 把和的值代入方程即可求出与的关系式，然后再求值． 【详解】解：把代入可得： ， ． 故答案为：． 17．若方程的解为，则方程组的解为_________． 【答案】 【分析】设，可得，从而可求，即可求解． 【详解】解：设， 方程组可化为： ， 方程的解为， ， ， 解得：； 故答案：． 【点睛】本题考查了整体换元法，同解方程组，掌握解法是解题的关键． 18．已知关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 2 … 关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】此题考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，解题的关键是能通过两个表格将关于x，y的二元一次方程组变为，解方程组即可得出答案． 【详解】解：∵从第一个表格中可知，当时，，时，， ∴， 解得：， 把代入得： ， 整理得：， ∵从第二个表格中可知，当时，，时，， ∴， 解得：， 把代入得： ， 整理得：， ①和②组成方程组， 解得： 故答案为：． 三、解答题 19．解方程组：． 【答案】． 【分析】先整理方程组，再利用加减消元的方法求解即可． 【详解】解：方程组整理得：， ②﹣①得：y＝4， 把y＝4代入②得：x＝12， 则方程组的解为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法、代入消元法是关键． 20．是否存在m，使方程是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【详解】解：存在． ∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，，，解得． 故当时，方程是关于x，y的二元一次方程． 21．对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 【答案】同意他的结论，理由见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用代入消元法解二元一次方程组得到，，即可证明结论． 【详解】解：同意他的结论，理由如下： 由①得，③ 将代入②， ∵， ∴可解得 将代入③得， ∴ 22．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，方程的解的概念，掌握将方程变形为指定形式，利用方程的解求参数是解题的关键． （1）将方程变形为的形式，通过系数化得到和的值，从而确定相伴系数对； （2）根据相伴系数对写出方程形式，再将已知解代入方程，解出的值，最后代入得到具体的二元一次方程． 【详解】（1）解：∵方程可变形为 ∴其“相伴系数对”为 （2）方程的“相伴系数对”为， 该方程为． 是该方程的一个解， ， 解得， 这个二元一次方程是． 23．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用以及解二元一次方程组．关键在于理解“看错系数但解对另一个方程”的核心逻辑：当看错某个方程的系数时，所得的解仍满足另一个未被看错系数的方程． （1）小鑫看错方程②的，因此解满足方程①，代入可得到关于、的方程；小童看错方程①的，因此解满足方程②，代入可得到关于的方程，联立这两个方程即可求解正确的、； （2）将求得的、代入原方程组，得到标准的二元一次方程组，再通过代入消元法求解方程组的解． 【详解】（1）解：∵小鑫看错了方程②中的，解得， ∴该解满足方程①，将代入①得：，化简得③； ∵小童看错了①中的，解得， ∴该解满足方程②，将代入②得：，即， 解得； 将代入③得：，解得； 故正确的； （2）解：将代入原方程组，得， 由①得③， 将③代入②得：，解得； 将代入③得：； ∴原方程组的正确解为． 24．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． （1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． 【详解】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组 解得 把代入方程与中， 得 解得 （2）解：由（1）得 25．阅读以下材料： 解方程组：； 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②得： (1)请你替小亮补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可； （2）由①得代入②得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】（1）解：， 由①得， 将③代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：； （2）解：， 整理得：， 把③代入④得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， 故原方程组的解是：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 26．定义：已知三个互不相等的实数a、b、c，若满足任意两数之差的绝对值中有两个相等，则称a、b、c为“幸福三数组”； (1)以下三组数中为“幸福三数组”的有 ； ①、1、2；②3、、 5；③5、 2、 ； (2)实数a与二元一次方程组 的解构成“幸福三数组”，求a的值； (3)已知数轴上三点A、B、C所对应的数分别为x、m、n为“幸福三数组”，且 （为正整数），若关于x的一元一次方程 的解为整数，求m的所有可能的值． 【答案】(1)5、 2、 (2)或或； (3)m的所有可能的值为，，，1，3，0，6，2，12，21； 【分析】本题考查解一元一次方程，数轴上两点之间距离关系． （1）根据幸福三数组的定义求解即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再根据“幸福三数组”的定义求解即可； （3）根据题意针对三点分情况讨论，可分为6种情况，再分别列出方程正确解答后比较的数值，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：由题意得： ∴不是幸福三数组； ∴3、、 5不是幸福三数组； ∴5、 2、 是幸福三数组； （2）解： 得：，解得： 把代入①得： ∵a与二元一次方程组 的解构成“幸福三数组”， ∴或或， 解得：或3；或1； ∴三个数分别为或或或或 ∵幸福三数组互不相同， ∴或或； （3）解：解得： 由题意得：， ∵数轴上三点A、B、C所对应的数分别为x、m、n为“幸福三数组”， ∴或， ∴有或或或或， ∵幸福三数组互不相同， ∴当时，，此时三个数分别为， 同理可得：也不符合题意 ∴有，，三种情况符合题意， 当时，，∵x为整数，∴或3； 时，，，∴或3， 时，，，∴或6 当时，，，∴ 时，，，∴或 当时，，，∵x为整数，∴或3或7； 时，，，，或6 时，，，，或0 时，，，，或21 综上：m的所有可能的值为，，，1，3，0，6，2，12，21； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 二元一次方程组的概念与解法（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】二元一次方程 1. 定义： 含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式， 含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫作二元一次方程 . 2. 二元一次方程应满足的条件识别二元一次方程的方法 化简前  整式方程 化简后  (1)只含有两个未知数； (2) 含有未知数的项的次数都是 1 是整式方程 该项次数是1 该项次数是1 示例： 4x+2y=10 是二元一次方程.含有两个未知数 3. 二元一次方程的一般形式：ax+by=c(a，b，c是常数，且a≠0，b≠ 0). 【知识点02】二元一次方程组 1. 二元一次方程组：方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 说明：未知数的个数与未知项的次数是对化简后的方程而言的. 2. 二元一次方程组应满足的条件 形式 两个方程，方程都是整式方程 未知数的个数 一共有两个未知数 未知项的次数 一次 【知识点03】二元一次方程的解 1. 二元一次方程的解： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解 . 特别说明： 二元一次方程的解都是成对的两个数，一般要用大括号联立表示，如x=2，y=3 是二元一次方程x+y=5 的一组解，可写为 2. 判断一组数值是不是二元一次方程的解的方法 判断一组数值是不是二元一次方程的解，只需将这组数值分别代入方程的左、右两边 . 若左边 = 右边，则这组数值是这个方程的解； 若左边≠ 右边， 则这组数值不是这个方程的解 . 【知识点04】二元一次方程组的解 1. 二元一次方程组的解： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解 . 2. 判断一组数值是不是二元一次方程组的解的方法 将这组数值分别代入方程组中的每一个方程中进行检验，若满足每一个方程，则这组数值就是这个方程组的解；只要不满足其中任何一个方程，则这组数值就不是这个方程组的解 . 【知识点05】用代入消元法解二元一次方程组 1. 消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为一元一次方程 . 先求出一个未知数，然后再求另一个未知数 . 这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想 . 2. 代入消元法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解 .这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 3.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意事项 ①变形 用含一个未知数的式子表示另一个未知数 变形为y=ax＋b( 或x=ay＋b)(a，b 是常数，a ≠ 0)的形式 一般选未知数系数比较简单的方程变形 ②代入 把y=ax＋b( 或x=ay＋b)代入另一个没有变形的方程 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 变形后的方程只能代入另一个方程(或另一个方程变形后的方程) ③求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号 ④回代 把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为  的形式. 用“｛” 将未知数的值联立起来可代入原方程组进行检验 【知识点06】用加减消元法解二元一次方程组 1. 加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法. 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤具体 做法 目的 注意事项 ①变形 根据同一个未知数的系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数 使某一个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数 (1)选择消元对象：在两个方程中，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单；(2)把某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘 ②加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程 (1) 把两个方程相加(减)时，一定要把两个方程的两边分别相加(减)；(2)应用减法消元时，注意符号的变化 ③求解 解消元后的一元一次方程 求出一个未知数的值 ④回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 回代时选择系数较简单的方程 ⑤写解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为 ， 的形式 用“｛”将未知数的值联立起来 【题型一】二元一次方程的定义 例1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若是二元一次方程，则________，________． 变式2．（24-25七年级下·全国·假期作业）已知，其中都是常数，且，请你探究：是否存在一个二元一次方程，其解分别为与，若存在，请你写出这个二元一次方程；若不存在，请你说明理由． 【题型二】二元一次方程的解 例2．（2026七年级下·北京·专题练习）学校计划用元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 变式1．（2026七年级下·北京·专题练习）已知，是二元一次方程的一个解，则的值为______ 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若是二元一次方程（a为常数）的一组解，求a的值． 【题型三】判断是否是二元一次方程组 例3．（24-25七年级下·全国·单元测试）在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（22-23七年级下·河南洛阳·期中）解二元一次方程组的基本思想是通过______将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解． 变式2．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【题型四】判断是否是二元一次方程组的解 例4．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列哪组的值是方程组的解？ ①        ②        ③        ④ 变式1．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）写出一个解为的二元一次方程组为________． 变式2．（2023七年级下·浙江·专题练习）请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： (1) (2) 【题型五】已知二元一次方程组的解求参数 例5．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（24-25七年级下·全国·课后作业）方程组的解为则被遮盖的■表示的数为________． 变式2．（24-25七年级下·山东德州·月考）已知是关于，的方程组的解，则的值． 【题型六】代入消元法 例6．（2026七年级下·河北·专题练习）用代入法解方程组，下列最合适的变形是（   ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组时，如果先消去x，可以将方程①变形为________；如果先消去y，可以将方程②变形为________． 变式2．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期末）解方程组： 【题型七】加减消元法 例7．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期末）二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程组则的值为________． 变式2．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）解二元一次方程组： 【题型八】二元一次方程组的特殊解法 例8．（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）若方程组的解为，则方程组的解为______． 变式2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 【题型九】二元一次方程组的错解复原问题 例9．（23-24七年级下·全国·期中）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·重庆·期末）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为___________ 变式2．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【题型十】构造二元一次方程组求解 例10．（2026七年级下·全国·专题练习）若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 变式1．（24-25七年级下·四川遂宁·月考）请写出一个解是的二元一次方程组（不含）______． 变式2．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【题型十一】已知二元一次方程组的解的情况求参数 例11．（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．－1 B．7 C．1 D．2 变式1．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程组，其中，则的取值范围是__________． 变式2．（25-26七年级下·全国·课后作业）某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：已知满足，且，求m的值． 小亮同学说：“先解关于的方程组，将用含m的式子表示出来，再代入，可求出m的值．” 小明同学观察后说：“方程组中含有字母m，解方程组可能比较麻烦．但中不含字母m，可以先解方程组，再将的值代入，求出m的值．” 请你用一种比较简单的方法，求出m的值． 【题型十二】方程组相同解问题 例12．（24-25七年级下·山东泰安·期中）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·山东德州·月考）与有相同的解，则______，______． 变式2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知方程组和方程组有相同的解，求a，b的值． 一、单选题 1．下列哪一组x，y的值不是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 2．已知是二元一次方程的一组解，则a的值是（　　） A．1 B． C．2 D． 3．用代入消元法解方程组时，将②代入①正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知x，y满足，则x-y的值为（    ） A．3 B．-3 C．5 D．0 5．关于的方程组的解为且，则为（   ） A．1 B． C．0 D．2024 6．已知关于，的方程组与有相同的解，则，的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x，y的方程组给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数；③x，y都为非负整数的解有3对；④若，则．正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 8．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9．已知关于，的方程组给出下列结论： ①当时，方程组的解也是的解； ②无论取何值，，的值不可能是互为相反数； ③，都为自然数的解有对． 正确的有几个（    ） A． B． C． D． 10．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．方程是二元一次方程，则m=_____，_____． 12．已知，满足方程组，则的值为______． 13．如图是一个三阶幻方，图中每行、每列、每条对角线上的数字之和相等，则的值为_______． 14．已知关于、的方程组的解满足方程，则_____． 15．若方程组与的解相同，则__________，__________． 16．若是二元一次方程的一组解，则的值为___________． 17．若方程的解为，则方程组的解为_________． 18．已知关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 2 … 关于x，y的二元一次方程的解如表： x … 0 1 … y … 4 1 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是______． 三、解答题 19．解方程组：． 20．是否存在m，使方程是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 21．对于关于x，y的二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论k、b为何值，方程组的解x，y的值一定相等．你同意他的结论吗？请说明理由． 22．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 23．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得． (1)求正确的的值． (2)求原方程组的正确解． 24．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 25．阅读以下材料： 解方程组：； 小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下： 解：由①得③，将③代入②得： (1)请你替小亮补全完整的解题过程； (2)请你用这种方法解方程组：． 26．定义：已知三个互不相等的实数a、b、c，若满足任意两数之差的绝对值中有两个相等，则称a、b、c为“幸福三数组”； (1)以下三组数中为“幸福三数组”的有 ； ①、1、2；②3、、 5；③5、 2、 ； (2)实数a与二元一次方程组 的解构成“幸福三数组”，求a的值； (3)已知数轴上三点A、B、C所对应的数分别为x、m、n为“幸福三数组”，且 （为正整数），若关于x的一元一次方程 的解为整数，求m的所有可能的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $