解三角形：外接圆问题、三角形解的数量、面积公式、边角互化、三角形形状问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形：外接圆问题、三角形解的数量、面积公式、边角互化、三角形形状问题讲义 解三角形：外接圆问题、三角形解的数量、面积公式、边角互化、三角形形状问题 讲义 考点目录 外接圆问题 三角形解的数量问题 三角形面积公式 边角互化问题 三角形形状问题 考点一 外接圆问题 【知识点解析】 1.由正弦定理可知,其中为外接圆的半径. 2.证明： 在中，角、、所对的边分别为、 、. 记点为外接圆的圆心，外接圆半径为，. 由圆周角定理得. 过作， 由垂径定理得，. 在中，由三角函数的定义得,即 化简得. 同理可得. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·安徽滁州·期末）设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 例3．（24-25高三上·河南·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是______. 例4．（24-25高二下·云南昆明·期中）在中，，则的外接圆面积为__________. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 变式2．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·上海浦东·期末）已知中，，则外接圆半径为____________. 变式4．（25-26高三上·山西大同·月考）在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为_____. 考点二 三角形解的数量问题 【知识点解析】 1.数形结合讨论三角形解的个数 正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解．斜三角形的解法可以归纳为以下四种类型： （1）已知两角及其中一角的对边，如已知【一解】 （2）已知两边及其夹角，如已知【一解】 （3）已知三边【一解】 （4）已知两边及其中一边的对角，如已知【两解、一解或无解】 ①若A为锐角时: ②若A为直角或钝角时: 2.利用余弦定理讨论三角形解的个数 在中，已知、和，由余弦定理变形得. （1）若方程有两个不相等的实数根、 ①当，，则此三角形有两解； ②当，，则此三角形有一解； ③当，，则此三角形无解； （2）若方程有两个相等的实数根、 ①当，则此三角形有一解； ②当，则此三角形无解； （3）若方程没有实数根，则此三角形无解. 3.二次方程根的数量与根的正负 对于二次方程 （1）根的数量 ①当时，方程有两个不相等的实数根； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程没有实数根. （2）根的正负（当，记，） ①当且时，两根均为正数； ②当且时，两根均为负数； ③当 时，两根一正一负. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 例2．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·四川成都·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 变式2．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·山西太原·月考）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 考点三 三角形面积公式 【知识点解析】 1.(为内切圆半径) 2.公式证明： 在中，角、、所对的边分别为、 、. 为边上的高. 则，. 所以，. 所以. 同理可得. 【例题分析】 例1．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 例3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为________． 例4．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）在中，，则的面积是__________. 【变式训练】 变式1．（2026·山东枣庄·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在中，若，，，则__________，的面积__________． 变式4．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为______． 考点四 边角互化问题 【知识点解析】 1.边角互化的原理 （1）利用正弦定理进行边角互化：；；； （2）利用余弦定理进行边角互化：；；. 2.边角互化注意事项 （1）一般情况下，有余弦出现，则“边化角”，没有余弦出现，则“角化边”，前提：“齐次”； （2）有余弦出现也有可能“角化边”，但是利用余弦定理实现“角化边”过于复杂，一般不用； （3）一个表达式一般只能处理一或两个角，如果出现三个角，则利用内角和定理与诱导公式进行化简； （4）出现或这种形式，可利用和差公式进行化简； （5）出现这种形式，可利用辅助角公式进行化简； （6）出现或或，可利用倍角公式进行化简； （7）出现，可化为； （8）若，则或； （9）若，则或； （10）若，则或，转化为（8）或者（9）； （11）若，则； （12）要约分，需要先说明被约数不为0；要定角，需要先说明角度范围； （13）若出现三角形的高，应利用三角函数的定义或等面积法. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·安徽·期末）在中，内角所对的边长分别是，且． (1)求角； (2)若，求的面积的最大值． 例2．（25-26高三上·贵州·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的周长. 例3．（24-25高二下·浙江温州·期末）在中，角的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小. (2)若. （i）求的值. （ii）求的面积. 例4．（24-25高一下·广西北海·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·北京顺义·月考）在中，． (1)求的值； (2)若，且的面积，求的值． 变式2．（24-25高一下·河南许昌·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若的面积为，求a的最小值． 变式3．（24-25高一下·广东东莞·期末）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． 变式4．（24-25高一下·广西钦州·期末）在中，内角A，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)已知，求的面积． 考点五 三角形形状问题 【知识点解析】 一、核心解题原理 依托正余弦定理实现三角形中边与角的互化，结合三角恒等变换、特殊三角形的边角特征（等腰/等边/直角）推导边角关系，最终判定形状。 核心公式： 1. 正弦定理：（边化角/角化边核心） 2. 余弦定理：（角化边，尤其判直角/钝角） 3. 三角恒等变换：、、等（化简角的关系） 二、通用解题思路（两步法） 步骤1：选方法，边角互化 根据已知条件形式，二选一转化，统一为纯边关系或纯角关系： - 已知角的三角函数关系→边化角（正弦定理），消去边，保留角； - 已知边的代数关系→角化边（正/余弦定理），消去角，保留边。 步骤2：化简推导，判定形状 对互化后的式子化简，结合特殊三角形特征判定，核心结论对应： 1. 等腰三角形：或（推导得或）； 2. 等边三角形：或（等腰+一角为60°/三边相等）； 3. 直角三角形：或（余弦定理得）； 4. 钝角三角形：某角余弦值<0（如→）。 关键提醒 化简角的关系时，注意三角形内角范围，如→或，即或（需分情况讨论，避免漏解）。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 例2．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 例3．（24-25高一下·山东潍坊·月考）在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 例4．（24-25高一下·江苏·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 变式2．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 变式3．（24-25高一下·四川成都·月考）在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 变式4．（24-25高一下·江苏常州·期中）在中， 若， 则的形状为（      ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：外接圆问题、三角形解的数量、面积公式、边角互化、三角形形状问题讲义 解三角形：外接圆问题、三角形解的数量、面积公式、边角互化、三角形形状问题 讲义 考点目录 外接圆问题 三角形解的数量问题 三角形面积公式 边角互化问题 三角形形状问题 考点一 外接圆问题 【知识点解析】 1.由正弦定理可知,其中为外接圆的半径. 2.证明： 在中，角、、所对的边分别为、 、. 记点为外接圆的圆心，外接圆半径为，. 由圆周角定理得. 过作， 由垂径定理得，. 在中，由三角函数的定义得,即 化简得. 同理可得. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·甘肃·月考）已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道, 所以, 设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以, 所以外接圆的面积为. 故选：A. 例2．（25-26高二上·安徽滁州·期末）设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】由，可得， 则，因为，所以， 又，由正弦定理可得，解得. 故选：B. 例3．（24-25高三上·河南·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是______. 【答案】 【详解】在中，由，得，而， 由余弦定理得， 由正弦定理得外接圆， 所以外接圆的面积是. 故答案为： 例4．（24-25高二下·云南昆明·期中）在中，，则的外接圆面积为__________. 【答案】 【详解】根据题意，， 由余弦定理得， 因为，则， 由正弦定理得，即， 所以的外接圆面积为. 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】因为， 所以，即， 则，又，则， 又，由正弦定理可得， 解得，即外接圆的半径为. 故选：A. 变式2．（24-25高一下·福建厦门·期中）已知四边形 的三个顶点在某圆上，， 则该圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接AC， 因为，所以, , 所以， 由题意该圆即为三角形的外接圆， 设该圆的半径为R，则， 所以该圆的面积为． 故选：B． 变式3．（25-26高一上·上海浦东·期末）已知中，，则外接圆半径为____________. 【答案】 【详解】中，， 根据正弦定理可知，，即，得. 故答案为： 变式4．（25-26高三上·山西大同·月考）在圆内接梯形中，，，，，则其外接圆的半径为_____. 【答案】 【分析】根据条件判断为等腰梯形，得，由余弦定理求得，再由正弦定理即可求得其外接圆半径. 【详解】 如图，梯形内接于圆，则， 因，，，则， 故梯形为等腰梯形，则， 所求即为的外接圆的半径． 在中，由余弦定理可得， 则，又由正弦定理得，即． 故答案为： 考点二 三角形解的数量问题 【知识点解析】 1.数形结合讨论三角形解的个数 正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解．斜三角形的解法可以归纳为以下四种类型： （1）已知两角及其中一角的对边，如已知【一解】 （2）已知两边及其夹角，如已知【一解】 （3）已知三边【一解】 （4）已知两边及其中一边的对角，如已知【两解、一解或无解】 ①若A为锐角时: ②若A为直角或钝角时: 2.利用余弦定理讨论三角形解的个数 在中，已知、和，由余弦定理变形得. （1）若方程有两个不相等的实数根、 ①当，，则此三角形有两解； ②当，，则此三角形有一解； ③当，，则此三角形无解； （2）若方程有两个相等的实数根、 ①当，则此三角形有一解； ②当，则此三角形无解； （3）若方程没有实数根，则此三角形无解. 3.二次方程根的数量与根的正负 对于二次方程 （1）根的数量 ①当时，方程有两个不相等的实数根； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程没有实数根. （2）根的正负（当，记，） ①当且时，两根均为正数； ②当且时，两根均为负数； ③当 时，两根一正一负. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 故选：C． 例2．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 例3．（25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，三角形的三个角确定，一条边确定，则三角形只有一个解，故A错； B选项，，所以三角形无解，故B错； C选项，，所以三角形有两个解，故C正确； D选项，，所以,三角形只有一个解，故D错. 故选：C. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·四川成都·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 【答案】A 【详解】由正弦定理得：，且有两解，所以，且，所以，故符合题意的有A. 故选：A 变式2．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，在中，，则有两解的充要条件为：， 即. 故选：B. 变式3．（25-26高三上·山西太原·月考）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A． B．，， C． D．，， 【答案】C 【详解】对于选项A，已知两边及夹角，由三角形全等的条件可知△ABC有唯一解． 对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解． 对于选项C，，，，有，∴， 又，故△ABC有两个解． 对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解． 故选：C． 考点三 三角形面积公式 【知识点解析】 1.(为内切圆半径) 2.公式证明： 在中，角、、所对的边分别为、 、. 为边上的高. 则，. 所以，. 所以. 同理可得. 【例题分析】 例1．（24-25高一下·福建厦门·月考）已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由及，得， 而，则，所以的面积. 故选：C 例2．（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 又，则，所以， 由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以，即角， 所以的面积. 故选：C 例3．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为________． 【答案】 【详解】由得，， 由余弦定理得，， 所以的面积为， 故答案为：． 例4．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）在中，，则的面积是__________. 【答案】 【详解】在中，，由余弦定理得， 则，所以的面积为. 故答案为： 【变式训练】 变式1．（2026·山东枣庄·一模）记的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理得， 所以， 则的面积为. 故选：B. 变式2．（24-25高一下·云南曲靖·期末）在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，即，又， 所以，则的面积为. 故选：A 变式3．（24-25高一下·安徽合肥·月考）在中，若，，，则__________，的面积__________． 【答案】 【详解】由正弦定理得， 又，， 则， ． 故答案为：，. 变式4．（24-25高一下·江西萍乡·期末）在中，角的对边分别为，已知，则的面积为______． 【答案】2 【详解】由余弦定理得， 即，，解得（负值舍去）， 故. 故答案为：2 考点四 边角互化问题 【知识点解析】 1.边角互化的原理 （1）利用正弦定理进行边角互化：；；； （2）利用余弦定理进行边角互化：；；. 2.边角互化注意事项 （1）一般情况下，有余弦出现，则“边化角”，没有余弦出现，则“角化边”，前提：“齐次”； （2）有余弦出现也有可能“角化边”，但是利用余弦定理实现“角化边”过于复杂，一般不用； （3）一个表达式一般只能处理一或两个角，如果出现三个角，则利用内角和定理与诱导公式进行化简； （4）出现或这种形式，可利用和差公式进行化简； （5）出现这种形式，可利用辅助角公式进行化简； （6）出现或或，可利用倍角公式进行化简； （7）出现，可化为； （8）若，则或； （9）若，则或； （10）若，则或，转化为（8）或者（9）； （11）若，则； （12）要约分，需要先说明被约数不为0；要定角，需要先说明角度范围； （13）若出现三角形的高，应利用三角函数的定义或等面积法. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·安徽·期末）在中，内角所对的边长分别是，且． (1)求角； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 ， 由于，所以， 又因为，所以，即， 因为，所以，即, 故； （2）因为，，所以由余弦定理可得： ， 由基本不等式可得：，所以， 当且仅当取等号， 则的面积， 故的面积的最大值为. 例2．（25-26高三上·贵州·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1)； (2)9. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 由余弦定理得. （2）由（1）知，，即为钝角，则， 又，则，， 由正弦定理得，则， 所以的周长为. 例3．（24-25高二下·浙江温州·期末）在中，角的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小. (2)若. （i）求的值. （ii）求的面积. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 而，则，故， 即，解得. （2）（i）由题意得，， 由余弦定理得，解得或（舍去）. （ii）由三角形面积公式得. 例4．（24-25高一下·广西北海·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即，所以， 又，所以，所以，所以； （2）由，可得，即， 由（1），，所以， 所以. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·北京顺义·月考）在中，． (1)求的值； (2)若，且的面积，求的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，由正弦定理得，所以， 因为的面积为，又， 即，所以，则. 变式2．（24-25高一下·河南许昌·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若的面积为，求a的最小值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）因为，由正弦定理得：， 即， 也即， 整理得， 因为，所以， 所以，所以． 又，所以． （2）因为，所以． 由余弦定理得 所以，即， 当且仅当时等号成立，即a的最小值为2． 变式3．（24-25高一下·广东东莞·期末）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得，因为，所以， 所以，即，因为，所以， 所以，所以． （2）由余弦定理，得， 解得或（舍去），所以． 变式4．（24-25高一下·广西钦州·期末）在中，内角A，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)已知，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由结合正弦定理边角互化可得： . （2）由（1），则由余弦定理， ，则. 则的面积为 考点五 三角形形状问题 【知识点解析】 一、核心解题原理 依托正余弦定理实现三角形中边与角的互化，结合三角恒等变换、特殊三角形的边角特征（等腰/等边/直角）推导边角关系，最终判定形状。 核心公式： 1. 正弦定理：（边化角/角化边核心） 2. 余弦定理：（角化边，尤其判直角/钝角） 3. 三角恒等变换：、、等（化简角的关系） 二、通用解题思路（两步法） 步骤1：选方法，边角互化 根据已知条件形式，二选一转化，统一为纯边关系或纯角关系： - 已知角的三角函数关系→边化角（正弦定理），消去边，保留角； - 已知边的代数关系→角化边（正/余弦定理），消去角，保留边。 步骤2：化简推导，判定形状 对互化后的式子化简，结合特殊三角形特征判定，核心结论对应： 1. 等腰三角形：或（推导得或）； 2. 等边三角形：或（等腰+一角为60°/三边相等）； 3. 直角三角形：或（余弦定理得）； 4. 钝角三角形：某角余弦值<0（如→）。 关键提醒 化简角的关系时，注意三角形内角范围，如→或，即或（需分情况讨论，避免漏解）。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 例2．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知在中，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】B 【详解】因为，且，可得, 由余弦定理，可得， 所以，即，解得， 所以为等边三角形. 故选：B. 例3．（24-25高一下·山东潍坊·月考）在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 【答案】B 【详解】由和正弦定理，可得， 因，代入上式，化简得：， 即，故得或， 当时，，所以，此时是直角三角形； 当时，，又，， 则或（舍去），此时为等腰三角形. 综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形. 故选：B. 例4．（24-25高一下·江苏·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以， 因为、，故，， 因此，为等腰直角三角形. 故选：A. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】， 则或，则是等腰或直角三角形. 故选：B. 变式2．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C.已知，则的形状一定是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理得，整理得， 而，函数在上单调递减，因此， 所以是等腰三角形. 故选：C 变式3．（24-25高一下·四川成都·月考）在中，若，则一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】由题设， 则，又， 所以，即一定是等腰三角形. 故选：C 变式4．（24-25高一下·江苏常州·期中）在中， 若， 则的形状为（      ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】由正弦定理和可得， 故, 由于，故,结合为三角形的内角，故， 故三角形为直角三角形， 故选：A 2 学科网（北京）股份有限公司 $