专题06 三角形的有关概念、内角和 增强篇（阶段复习，九大题型）-2025-2026学年 沪教版（五四制 )七年级数学下册期中期末专项练

专题06 三角形的有关概念、内角和 增强篇（阶段复习，九大题型） 题型1：三角不等式的应用 1．在中，，则这个三角形是_____三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 2．一个直角三角形的两直角边的和是21厘米，它们的比是，第三边长是15厘米，第三边上的高为______厘米． 3．已知，，是的三边长，且，满足，则第三边的长可能是（    ）． A． B． C． D． 4．已知三角形的三条边为a，b，c，满足，c为最长边且为奇数，则这个三角形的周长为_________ 题型2：三角形内角和定理、外角的性质的应用 5．如图，直线，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 7．如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 8．如图，直线，一块含角的直角三角板按如图所示放置．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型3：三角形中线、角平分线、高线的应用 9．如图，在中，是上两点，且平分，下列说法中不正确的是（   ） A． B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的高 10．如图，，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为__________． 11．如图，为的中线，于点E，若，，，则点C到直线的距离为________ 12．如图，在中，，平分，交于点D．若，且，则与的面积比为_______． 13．如图，在中，，是边上任一点，，，点，为垂足若的面积为，则 __________． 题型4：三角形中线有关的面积问题 14．如图，在中，点是边的中点，点在边上，，和交于点，那么和四边形的面积比是（   ） A． B． C． D． 15．如图，已知点分别为的中点，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 16．如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到…，按此规律，倍长2025次后得到的的面积为（   ） A． B． C． D． 题型5：三角板问题 17．将一副三角板如图摆放，已知：，，，若点E恰好在上，则的度数是________． 18．一副直角三角板如图放置，其中，，，点在的延长线上．若，则等于__________． 19．将一副直角三角板按如图所示摆放，已知直线，点E在直线上，点M、N在直线上，点P在上，，，则的度数为______． 题型6：折叠、旋转问题 20．如图，把沿折叠，使点A落在点处，若，则等于（　　） A． B． C． D． 21．如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 22．如图，中，，将绕点顺时针旋转，得到，边与边交于点（不在上），则的度数为（   ）． A． B． C． D． 23．把如图的三角形纸片，沿所在直线折叠，使点落在四边形内部的点处，折痕为，则、、之间满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 24．如图，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，的度数为______． 题型7：分类讨论问题 25．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为____． 26．如图，在中，，，D是的中点，E是射线上的一点，连接，将沿翻折得到，当时，则的度数为______． 27．如图，点是射线上一点，，，平分，点在射线上，连接．当垂直于的一边时，的度数为______． 题型8：三角形中线、角平分线、高线的综合应用 28．如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论：①；②；③；④．正确的说法有_____个 29．如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是______. 题型9：解答题 30．已知：如图，平分．求证：． 31．如图，按下列要求画图并解答（不要求写画法，只写出结论）． (1)过点A画BC的平行线AD； (2)画出△ABC的边BC上的高AH； (3)在直线AD上能否找一个点E（点E不与点A重合）使得△EBC的面积与△ABC的面积相等，如果能找到，请画出△EBC（画出一个三角形即可）． 32．如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是 ； (2)若的周长为30，则的周长为 ； (3)在中，若边上的高为6，求边上的高． 33．如图，在三角形ABC中CD为的平分线，交AB于点D，，． (1)求证：； (2)如果，，试证明． 34．如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 35．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC (1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝　 　度（直接写出答案）； (2)请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由． 36．如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 37．如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 38．如图，是的角平分线，，P为线段上一点，交的延长线于点E．    (1)，，求的度数； (2)试猜想与、之间的数量关系，并证明你的结论． 39．如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 40．如图，是的角平分线，点E在边上（不与点A，C重合），连接，交于点O． (1)如图1，若BE是的中线，，则与的周长差为 ． (2)如图2，若，BE是的高，则的度数为 ． (3)如图3，若，BE是的角平分线，求的度数． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形的有关概念、内角和 增强篇（阶段复习，九大题型） 题型1：三角不等式的应用 1．在 中， ，则这个三角形是_____三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，设 ，则 ， ，根据三角形内角和定理建立方程，求出α的值，进而求出 ，即可得出结论． 【详解】解：设 ，则 ， ， 根据三角形内角和定理可知， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是钝角三角形． 故答案为：钝角． 2．一个直角三角形的两直角边的和是21厘米，它们的比是 ，第三边长是15厘米，第三边上的高为______厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了与三角形高有关的计算题，先根据比例的性质求出两条直角边的长度，再求出三角形的面积，进而即可求出第三边上的高． 【详解】解：两条直角边分别为： （厘米）， （厘米）， 则这个三角形的面积为： （平方厘米）， 则第三边上的高为： （厘米）， 故答案为：7.2 3．已知 ， ， 是 的三边长，且 ， 满足 ，则第三边 的长可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用非负数的性质求出已知两边的长度，再根据三角形三边关系确定第三边 的取值范围即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ， ∴ ， 解得 ， 由三角形的三边关系可知， ∴ ， ∴选B． 4．已知三角形的三条边为a，b，c，满足 ，c为最长边且为奇数，则这个三角形的周长为_________ 【答案】22或24 【分析】本题主要考查了完全平方式、非负数的性质以及三角形三边关系等知识．已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出 与 的值，即可确定出三角形周长． 【详解】解：已知等式变形得： ， 即 ， ∵ ， ， ∴ ， ， 解得： ， ， ∵c为最长边， ∴ ，即 ， ∵c为奇数， ∴c为9或11， 则这个三角形的周长为 或 ． 故答案为：22或24． 题型2：三角形内角和定理、外角的性质的应用 5．如图，直线 ，直线 ，若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等．利用对顶角相等算出 ，利用三角形的外角性质求得 ，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得 ， ∵直线 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 6．如图，在 中，点 、 分别在边 、 上．若 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在 中应用三角形内角和定理有 ，结合 可得 ，同理有 ，完成计算即可解答． 【详解】解： 在 中， ， ， ， 同理， ， ． 7．如图， 、 分别是 的一条内角平分线与一条外角平分线， ，那么 的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键，由角平分线得 ， ．再根据三角形的外角性质得 ， ，从而得 ． 【详解】解：∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ． ∵ 是 的外角， 是 的外角， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ． 故选： ． 8．如图，直线 ，一块含 角的直角三角板 按如图所示放置．若 ，则 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质与三角形外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质将 转化为与三角板内角相关的角，再结合三角形外角性质计算角度． 利用两直线平行，内错角相等，得到 ；利用对顶角相等，得到 ；根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，计算出 ，进而得到 ． 【详解】解：如图， 直线 ， （两直线平行，内错角相等）， ， （对顶角相等）， （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， 故选 题型3：三角形中线、角平分线、高线的应用 9．如图，在 中， 是 上两点，且 平分 ，下列说法中不正确的是（   ） A． B． 是 的角平分线 C． 是 的中线 D． 是 的高 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用 和三角形中线的定义可判断C选项的正确；利用 平分 和角平分线的定义即可判断出B选项的正确；由三角形的高线的定义，可判断D选项的正确；利用角平分线的定义只能得到 ，但没有办法得到 ，可判断出A选项错误． 【详解】解：∵ ，即点E为 中点， ∴ 是 的中线，故C正确，不符合题意； ∵ 平分 ， ∴ 是 的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵ ，即 ， ∴ 是 的高，故D正确，不符合题意； ∵ 平分 ， ∴ ． 但没有办法得到 ，故A错误，符合题意． 故选：A． 10．如图， ， 分别为 的中线和高线， 的面积为6， ，则 的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，求三角形的高的长． 根据三角形中线平分三角形面积得到 ，再根据三角形面积计算公式得到 ，据此可得答案． 【详解】解：∵ 为 的中线， 的面积为6， ∴ ， ∵ 为 的高线， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 11．如图， 为 的中线， 于点E，若 ， ， ，则点C到直线 的距离为________ 【答案】 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，三角形面积计算，三角形中线，过点C作 于点F，根据三角形面积公式求出 ，根据三角形中线的性质得出 ，根据三角形面积公式得出 ，求出 ，即可得出答案． 【详解】解：过点C作 于点F，如图所示： ∵ ， ， ， ∴ ， ∵ 为 的中线， ∴ ， ∴ ， 即 ， 解得： ， ∴点C到直线 的距离为 ． 故答案为： ． 12．如图，在 中， ， 平分 ，交 于点D．若 ，且 ，则 与 的面积比为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积与边长之间的关系问题，解题的关键是灵活运用三角形的面积公式来分析、判断、推理或解答．证明 与 的面积比 ，即可解决问题． 【详解】解：∵ ， ∴ 为 、 的公共高， ∴ 与 的面积比 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ 与 的面积比 ． 故答案为： ． 13．如图，在 中， ， 是边 上任一点， ， ，点 ， 为垂足 若 的面积为 ，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高的有关计算． 连接 ，由图可知 ，结合三角形的面积公式则有 ，再将已知 、 的长度代入计算，即可得到 的值． 【详解】解：连接 ， ∵ ， ， ∴ 、 分别是 、 的边 、 上的高． ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：4． 题型4：三角形中线有关的面积问题 14．如图，在 中，点 是边 的中点，点 在边 上， ， 和 交于点 ，那么 和四边形 的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接 ，设 ， ，根据三角形面积之间的关系可得： ， ，根据 ，可得 ． 【详解】解：如下图所示，连接 ， 设 ， ， 点 是边 的中点，点 在边 上， ， ， ， ， 点 是边 的中点， ， ， ， ， ， 点 在边 上， ， ， ， 整理得： ， ， ． 15．如图，已知点 分别为 的中点， 的面积为 ，则 的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解即可. 【详解】解：连接 ， ∵ 为 的中点， 的面积为 ， ∴ ， ∴ ， ∵ 为 的中点， ∴ ， ∵ 为 的中点， ∴ . 16．如图， 的面积为1，分别倍长（延长一倍） 得到 ，再分别倍长 ， ， 得到 …，按此规律，倍长2025次后得到的 的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索．根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后 的面积是 的面积的 倍，依此规律可得结论． 【详解】解：连接 、 、 ，根据等底等高的三角形面积相等，    、 C、 C、 、 、 、 的面积都相等， 所以， ， 同理 ， 依此类推， 的面积为 ， 的面积为 ， ∴ 的面积 ． 故选：C． 题型5：三角板问题 17．将一副三角板如图摆放，已知： ， ， ，若点E恰好在 上，则 的度数是________． 【答案】 /75度 【分析】根据平行线的性质可得 的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：根据题意， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 18．一副直角三角板如图放置，其中 ， ， ，点 在 的延长线上．若 ，则 等于__________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，关键是熟练运用平行线的角的性质以及三角板的固定角度进行角度计算．首先利用三角形内角和定理求出 中 的度数；再根据平行线的内错角相等，结合等腰直角三角板的角度求出 的度数；最后通过角度的差计算出 的度数． 【详解】解：在 中， ， ， ； ， ， ， ∵ ， ∴ ； ； 故答案为： ． 19．将一副直角三角板按如图所示摆放，已知直线 ，点E在直线 上，点M、N在直线 上，点P在 上， ， ，则 的度数为______． 【答案】 /75度 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，如图，延长 交 于点 ，先求解 ，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，延长 交 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 题型6：折叠、旋转问题 20．如图，把 沿 折叠，使点A落在点 处，若 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，推出 的度数，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵折叠， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 故选：C． 21．如图，将三角形纸片 沿 折叠，点A落在点F处， ，则 的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出 ，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 22．如图， 中， ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，边 与边 交于点 （ 不在 上），则 的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质和三角形外角的性质，根据旋转角的定义可得 ，由旋转的性质可得 ，结合 是 的外角，可计算出 ． 【详解】解：∵将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ， ∴ ， ， ∵ 是 的外角， ∴ ． 故选：C． 23．把如图的三角形纸片 ，沿 所在直线折叠，使点 落在四边形 内部的点 处，折痕为 ，则 、 、 之间满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键． 连接 ，分别在 、 中，利用三角形的外角性质表示出 ；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 沿 折叠后，点 的对应点为 ， ∴ ， ， ， 在 中， ， 在 中， ， ， 即 . 故选：B． 24．如图， 平分 ， 平分 ，把 折叠，使点A与点I重合，若 ， 的度数为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质和平角的定义可推出 ，由三角形内角和定理可得 的度数，据此结合角平分线的定义求出 的度数，进而由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ∵ 平分 ， 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 题型7：分类讨论问题 25．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为____． 【答案】20°或60°． 【分析】分情况讨论：①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可． 【详解】如图所示，当∠BFD=90°时， ∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC=60°， ∴∠BAD=30°， ∴Rt△ADF中，∠ADF=60°； 如图，当∠BDF=90°时， 同理可得∠BAD=30°． ∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°， ∴∠BFD=∠BCE=50°， ∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°， 综上所述：∠ADF的度数为20°或60°． 故答案为：20°或60°． 【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 26．如图，在 中， ， ，D是 的中点，E是射线 上的一点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，当 时，则 的度数为______． 【答案】 或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折变换的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是根据点 在射线 上的不同位置，分情况讨论，利用平行线性质和翻折性质建立角度关系求解． 先在 中求出 的度数；再根据 ，分两种情况求出 的度数． 【详解】解：∵ 在 中， ， ， ∴ ． ∵ 沿DE翻折得到 ， ∴ ， ∴设 ， 分两种情况讨论： 情况一： 在线段CB上． ∵ ， ∴ . ∴ . 在 中， ． 情况二： 在CB的延长线上. ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 在 中， ， ∴ ，解得 ． 故答案为： 或 ． 27．如图，点 是射线 上一点， ， ， 平分 ，点 在射线 上，连接 ．当 垂直于 的一边时， 的度数为______ ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，分① ， 当 时， 当 时三种情况，分别画出图形，然后通过角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解： 如图，当 时，则 ， ∵ 平分 ， ， ∴ ， ∴ ； 如图，当 时，则 ， ∵ 平分 ， ， ∴ ， ∴ ； 如图，当 时，则 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ， ∴ ， ∴ ， 综上可得： 的度数为 或 或 ， 故答案为： 或 或 ． 题型8：三角形中线、角平分线、高线的综合应用 28．如图， 、 、 分别是 的高线、角平分线、中线，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．正确的说法有_____个 【答案】3 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线、中线和高等知识点．根据三角形角平分线、中线和高的定义，逐一判断即可． 【详解】解：∵ 分别是 的高线、角平分线、中线， ∴ ， ， ， ， 不一定相等， 故，④错误①②③正确，共3个． 故答案为：3． 29．如图，在 中， ， ， ， ， 是高， 是中线， 是角平分线， 交 于点 ，交 于点 ，下面结论：① 的面积 的面积；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号是______. 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定 和 的面积关系以及求出 的长度． 【详解】解： 是 的中线 的面积等于 的面积   故 正确； ， 是 的高 ， 是 的角平分线 ∴ 又 故 正确；   故 正确； 故 错误； 故答案为：①②③． 题型9：解答题 30．已知：如图， EMBED Equation.DSMT4 平分 ．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，解题的关键是利用平行线性质推导角的互补关系，结合已知角的和差得角相等，再通过角平分线定义及平行线判定与性质，逐步建立目标角的等量关系． 先由 得 ，结合 推出 ；再由DG平分 得 ，进而得 ，判定 ，接着推出 ． 【详解】证明：∵ （已知）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）． ∵ （已知）， ∴ （同角的补角相等）． ∵DG平分 （已知）， ∴ （角平分线定义）． ∴ （等量代换）． ∴ （内错角相等，两直线平行）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 31．如图，按下列要求画图并解答（不要求写画法，只写出结论）． (1)过点A画BC的平行线AD； (2)画出△ABC的边BC上的高AH； (3)在直线AD上能否找一个点E（点E不与点A重合）使得△EBC的面积与△ABC的面积相等，如果能找到，请画出△EBC（画出一个三角形即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据三角形的高的定义画出图形即可； （3）在直线AD上任意取一点E，连接BE，EC，△EBC即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线AD即为所求； ； （2）解：如图，线段AH即为所求； （3）解：如图，△EBC即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 32．如图， 是 的边 上的中线，已知 ， ． (1)边 的取值范围是 ； (2)若 的周长为30，则 的周长为 ； (3)在 中，若 边上的高为6，求 边上的高． 【答案】(1) (2)28 (3) 边上的高为 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的角平分线、中线，和高，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可； （2）将 的周长转换为 即可得出答案； （3）设 边上的高为h，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． （2）解：∵ ， 的周长为30， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵点D是 边的中点， ∴ ， ∴ ， 故答案为：28． （3）解：设 边上的高为h， 则 ， 解得 ， ∴ 边上的高为 ． 33．如图，在三角形ABC中CD为 的平分线，交AB于点D， ， ． (1)求证： ； (2)如果 ， ，试证明 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据角平分线的定义求得∠ACB，进而说明∠ACB=∠3，然后运用同位角相等、两直线平行即可证明； （2）先根据两直线平行、内错角相等可得 ，进而得到∠BCD=∠2可得EF//DC，运用平行线的性质可得∠BFE=∠BDC，最后结合 即可证明． 【详解】（1）证明：∵CD平分 ， （已知） ∴ （角平分线的定义） 又∵ （已知） ∴ （等量代换） ∴ ． （2）证明：由（1）知 （已证） ∴ （两直线平行，内错角相等） 又∵ （已知） ∴ （等量代换） ∴ （同位角相等，两直线平行） ∴ （两直线平行，同位角相等） 又∵ （已知） ∴ （垂直的定义） ∴ （等量代换） ∴ （垂直的定义）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线线的判定与性质成为解答本题的关键． 34．如图，AD为 的中线，BE为 的角平分线． (1)若 ，求 的度数． (2)若 的面积为60， ，则点A到BC边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由角平分线的定义即可求解；（2）由 是中线，可得 的值，根据已知条件利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）解： EMBED Equation.DSMT4 为 的角平分线， ， EMBED Equation.DSMT4 ． （2）解： EMBED Equation.DSMT4 为 的中线， ， EMBED Equation.DSMT4 ． 设点 到 边的距离为 ，则 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故点 到 边的距离为12． 【点睛】本题考查了角平分线定义，中线定义，三角形面积公式，正确理解并运用角平分线和中线定义及面积公式是解本题的关键 35．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，∠BCD＝∠BDC (1)若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，则∠B＝　 　度（直接写出答案）； (2)请说明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由． 【答案】(1)70 (2)见解析 【分析】（1）利用三角形的外角性质可求出∠BDC的度数，结合∠BCD＝∠BDC可得出∠BCD的度数，再在△BCD中，利用三角形内角和定理可求出∠B的度数； （2）在△ABE中，利用三角形内角和定理可得出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B，在△BCD中，利用三角形内角和定理及∠BCD＝∠BDC可得出2∠BDC＝180°﹣∠B，进而可得出∠EAB+∠AEB＝2∠BDC． 【详解】（1）解：∵∠ACD＝15°，∠CAD＝40°， ∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝55°， ∴∠BCD＝∠BDC＝55°． 在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°， ∴∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°． 故答案为：70； （2）解：在△ABE中，∠EAB+∠AEB+∠B＝180°， ∴∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B． 在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，∠BCD＝∠BDC， ∴2∠BDC＝180°﹣∠B， ∴∠EAB+∠AEB＝2∠BDC． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）利用三角形的外角性质，求出∠BDC的度数；（2）利用三角形内角和定理，找出∠EAB+∠AEB＝180°﹣∠B及2∠BDC＝180°﹣∠B． 36．如图，已知在 中，点 在 上，连接 ，点 、 分别在 、 上，连接 ． (1)求证： ．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又 （___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果 ， 平分 ，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键． （1）根据推理过程结合图形解答即可； （2）根据角平分线的定义结合三角形外角的性质，推出 ，由（1）知 ，即可证明． 【详解】（1）证明： （已知）， 又 （平角的定义）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等） （2）证明：∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 37．如图，在 中， ，点D在 上，点E在 上，且 ， (1)如果 平分 ，求 的大小； (2)如果 与 互余，求 的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是 ．也考查了余角与补角． （1）利用 平分 得到 ，接着在 中，利用三角形内角和定理计算出 ，根据三角形内角和定理计算出 ，然后利用三角形外角性质可计算出 的度数； （2）先求出 ， ，从而 ，可得 ，结合 求出 ，进而可求出 的大小． 【详解】（1） 平分 （已知） （角平分线的定义） （已知） （等量代换） （三角形的内角和等于 ） 又 （已知） （等最代换） （等式性质） （三角形的内角和笭于 ） 又 （已知） （等是代换） （等式性质） （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） （等式性质） （2） （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （已知） ∴ ， ∵ （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， ∴ （等量代换）， （等量代换） （等式性质） （已知） （等量代换） （等式性质） ∴ （已知） （等量代换） 38．如图， 是 的角平分线， ，P为线段 上一点， 交 的延长线于点E．    (1) ， ，求 的度数； (2)试猜想 与 、 之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) ； (2) ，证明见解析． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出 ，根据角平分线的定义得出 ，根据三角形内角和定理得出 ，进而根据三角形内角和定理即可求解； （2）设 ， ，则根据角平分线的定义得出 ，进而根据（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 平分 ， ， ， 又∵ ， ； （2）解： ． 设 ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， °， ．   ． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 39．如图，在 中, 是射线 上一点，过点P作 ，垂足分别为 ，过点B作 ，垂足为F，连接 ． (1)如图1，点P在边 上，写出线段 之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在 的延长线上．当 时，求线段 的长． 【答案】(1) ，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出 ，则有 ，再结合 即可得出结论； （2）由题意得出 ，则有 ，再结合 ，得出 ，由三角形的面积求出 的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， 所以 ， 整理得： ， 解得 ， ∴ ， 所以线段 的长为6． 40．如图， 是 的角平分线，点E在边 上（不与点A，C重合），连接 ，交 于点O． (1)如图1，若BE是 的中线， ，则 与 的周长差为 ． (2)如图2，若 ，BE是 的高，则 的度数为 ． (3)如图3，若 ，BE是 的角平分线，求 的度数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和． （1）由中线的定义得 ，然后利用周长公式求解即可； （2）先求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后利用三角形内角和定理即可求解； （3）先由三角形内角和定理求出 ，再根据 求解即可． 【详解】（1）∵ 是 的中线， ∴ ， ∴ 与 的周长差为： ． 故答案为：3； （2）∵ 是 的高， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ； （3）∵ ， ∴ ， ∵ 是 的角平分线， 是 的角平分线， ∴ ， ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $