江苏连云港市新海初级中学2025-2026学年度第二学期七年级数学学情自测2试卷

2026 年春季七年级数学下周练(2) 姓名:_____ 时间:45 分钟 一、客观题:(4*12=48 分) 1、计算: 2、已知 ，则 _____. 3、已知 ，那么 的值为( ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 4、若 的展开式中不含 项，则实数 的值为( ) A. -6 B. 0 C. 3 D. 6 5、如果 是一个完全平方式，那么 的值是( ) A. 10 B. ±10 C. 20 D. ±20 6、如图，在边长为 的正方形中，减去一个边长为 的小正方形( )，将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于 的恒等式 ( ) A. B. C. D. 7、如图，正方形卡片 类、 类和长方形卡片 类各若干张，如果要拼一个长为 宽为 的大长方形，则需要 类、 类和 类卡片的张数分别为( ) A. 2, 4, 9 B. 4, 2, 7 C.2,3,7 D. 2, 5, 7 8、如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差, 那么称这个正整数为“创新数”, 如 ,所以 8,16 都是 “创新数”,下列整数是“创新数”的是 ( ) A. 58 B. 60 C. 62 D. 64 9、南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”. 则 展开式中所有项的系数和是( ) A. 512 B. 1024 C. 2048 D. 4096 10、设 ，其中 为实数，则 与 的大小关系是_____. 11、已知等式 ( 为正整数),则 的值不可能是( ) A. -1 B. -5 C. 5 D. 6 12、在长方形纸片 中， ，将两张边长分别为 和 的正方形纸片按图 1 ，图 2 两种方式放置 (图 1 ，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部分的面积为 ，图 2 中阴影部分的面积为 . 若 ，则 _____. 图1 图2 二、简答题: (10+10+10+10+12=52 分) 13、(1)化简:(1)、 ； (2)、 . (2)先化简,再求值: ,其中 . (3)用简便方法计算:(1)、 ； (2)、 . 14、已知: . 求: (1) 的值； (2) 的值； (3) 的值. 15、利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题, 请阅读下列材料；阅读材料:若 ，求 、 的值. 解: , . 根据你的观察，探究下面的问题: (1)已知 ，则 _____， _____； (2)已知 ，求 的值； (3)若 ，试比较 与 的大小关系，并说明理由. (4)根据上面的经验，求代数式 的最大值. 16、【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系, 而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题. 在一次数学活动课上, 老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片, 其中甲种纸片是边长为 的正方形，乙种纸片是边长为 的正方形，丙种纸片是长为 ，宽为 的长方形， 并用甲种纸片 1 张，乙种纸片 1 张，丙种纸片 2 张拼成了如图( b )所示的一个大正方形. (b) (1)理解应用:观察图( )，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式_____； (2)拓展升华:利用上面的等式解决下列问题: ①已知 ，求 的值； ②已知 ，求 的值. 17、一个正方形边长为 ( 为常数且 ),记它的面积为 ,将这个正方形的一组邻边长分别增加 2 和减少 2，得到一个长方形，记该长方形的面积记为 . (1)求 (用含 的代数式表示)； (2)小丽说无论 为何值， 和 的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？ (3)将原正方形的边长减少 1，得到一个新的正方形，记它的面积为 ，若存在常数 ，使得不论 为何值， 始终是一个定值，求 的值. 2026年春季七年级数学周练(2) 答案 一、客观题（每题4分，共48分） 1. 答案： 利用平方差公式，将原式变形为，其中，，故结果为。 2. 答案： 已知，等式两边同时除以（，若则等式不成立），得，即。 对两边平方，根据完全平方公式，得： ， 故。 3. 答案： 利用完全平方公式展开两个已知条件： ①； ②。 用① ②消去和，得：， 化简：，解得。 A选项（-1）：计算时将误算为，错误； B选项（1）：符号错误，错误； D选项（2）：完全平方公式展开时符号混淆，错误。 4. 答案： 先展开原式：。 因展开式中不含项，故项的系数为0，即，解得。 A选项（-6）：系数符号错误，错误； B选项（0）：代入后项系数为-6≠0，错误； C选项（3）：代入后项系数为-3≠0，错误。 5. 答案： 完全平方式的形式为。 已知，对应完全平方式，得， 即，解得。 A选项（10）：漏了负号，错误； C选项（20）：系数计算错误，错误； D选项（±20）：将误算为，错误。 6. 答案： 左图（正方形减小正方形）：阴影面积 = 大正方形面积 小正方形面积 = ； 右图（梯形）：梯形的上底为，下底为，高为，面积 = 。 两图阴影面积相等，故。 A选项（完全平方差公式）：对应“正方形减两个长方形加小正方形”的图形，错误； B选项（完全平方和公式）：对应“正方形加两个长方形加小正方形”的图形，错误； D选项（提取公因式）：是单项式乘多项式的逆运算，与图形面积无关，错误。 7. 答案： 先计算大长方形的面积：。 A类卡片面积为，故需要2张； B类卡片面积为，故需要4张； C类卡片面积为，故需要9张。 B/C/D选项：计算多项式乘法时合并同类项错误，导致卡片张数不符，错误。 8. 答案： 9. 答案： 求展开式中所有项的系数和，可令，，则系数和为。 当时，系数和为。 A选项（512）：是，错误； C选项（2048）：是，错误； D选项（4096）：是，错误。 10. 答案： 11. 答案： 展开原式：。 故（、为正整数）。 的正整数解为：、、、，对应的值为： ，，，，故不可能为6。 A/B/C选项：均为的可能值，错误。 12. 答案： 图1阴影面积； 图2阴影面积，重叠部分为边长3的正方形，故。 由，得？修正：正确计算： ； ？重新推导： 正确，，修正后，解得。 二、简答题（共52分） 13. （10分） (1) 化简 ① 解： ② 解： (2) 先化简，再求值 解： 代入，： 。 (3) 简便计算 ① 解：利用完全平方和公式，， ② 解：利用平方差公式，， 14. （10分） 已知，，求解如下： #### (1) 求的值 解：利用完全平方和公式变形，， 代入得：。 (2) 求的值 解：由(1)知，代入得：。 (3) 求的值 解：利用完全平方差公式，， 代入得：， 故。 15. （10分） (1) 答案：， 将等式变形为完全平方和形式： ， 故，解得？修正：正确变形： ， 解得，，答案为，。 (2) 求、的值 解：等式变形为： ， 故，解得。 (3) 比较与的大小 解：用作差法： ， 变形为完全平方形式：， 因，故，即。 (4) 求代数式的最大值 解：将代数式变形为完全平方形式： ， 因，故，当时，代数式取得最大值。 16. （10分） (1) 等式： 方式1：大正方形面积 = ； 方式2：大正方形面积 = 两个小正方形面积 + 两个长方形面积 = ， 故等式为。 (2) 拓展应用 ① 求的值 解：由，变形得， 代入，，得。 ② 求的值 解：设，，则，。 由，变形得， 代入得：，故原式的值为。 17. （12分） (1) 求（用含的代数式表示） 解：原正方形边长为，长方形的长为，宽为， 故。 (2) 判断和的差是否不变 解：同意，理由如下： ， ， 差值为4，与无关，故无论为何值，和的差都不变。 (3) 略 学科网（北京）股份有限公司 $