精品解析：吉林松花江中学2026届高三下学期阶段性检测数学试题

吉林市松花江中学高三年级阶段性检测 数学 一、单选题 1. 已知两个单位向量，互相垂直，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 2. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 3. 若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在正四面体 中，为棱 的中点，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线 的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 设双曲线 的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的众数是2 B. 数据的第25百分位数是1 C. 若随机变量，则 D. 根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量 与 不独立 10. 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正方体的外接球球心到平面的距离为 C. 存在点，使得 D. 点到直线 的距离的最小值为 三、填空题 12. 已知向量，若，则________． 13. 已知等差数列的前项和为，且，，则______. 14. 下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，的面积为，求边 的长. 16. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）证明：. 17. 如图，在正三棱柱中， ，，分别为棱，，的中点， 为线段上的动点. （1）证明：平面 . （2）若 为线段的中点，且，，求 与平面 所成角的正弦值. 18. 为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. （1）求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； （2）根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值 的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时， 是等边三角形． （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市松花江中学高三年级阶段性检测 数学 一、单选题 1. 已知两个单位向量，互相垂直，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】运用平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】依题意得， 则. 2. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式求解即可. 【详解】. 3. 若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得 . 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 4. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 因此， 所以， ； 所以的取值范围是. 5. 在正四面体 中，为棱的中点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】连接 ，设正四面体 的棱长为4，则，， ，则 为正三角形，所以， 由余弦定理得， ， 故. 6. 已知双曲线 的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据双曲线的定义和余弦定理，求得，在中，利用余弦定理，求得即，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设，则， 由双曲线的定义，可得，所以， 又由， 因为，所以， 在中，由余弦定理得， ，即， 即，所以，则， 在中，由余弦定理得， 即，解得，所以， 所以双曲线的离心率为. 7. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由是奇函数可得关于中心对称，结合，利用赋值法计算可得，即可得该函数周期，再利用，则可计算出为到时的的值，即可得解. 【详解】由是奇函数，则，故关于中心对称， 由，令，则，即， 由，令，则， 故，则， 故，即有，故以为周期， 由，则， ，， ，， 则 . 8. 设双曲线 的右顶点为 ，过点 且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得到为的中点，过点作 轴，设，由过点 的直线的斜率为2得到的值，利用勾股定理得到的值，结合得到，从而得到，，由 的坐标得到的值，从而得到的坐标，由 是双曲线渐近线上的点，及斜率为2，可得的值，利用公式得到离心率的值. 【详解】，为的中点， 过点作 轴，交轴于点， 设， 过点 的直线的斜率为2，， ， ，，，，， ，，，， 设， 为的中点，，， 是双曲线 的渐近线上的点， ， ，， ， ，， ， . 故选：B. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据的众数是2 B. 数据的第25百分位数是1 C. 若随机变量，则 D. 根据分类变量与 的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与 不独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据众数以及百分位数的概念可判断AB；根据二项分布的期望以及性质即可判断C；根据独立性检验的原理可判断D. 【详解】对于A，数据中，2出现3次，3也出现3次，因此众数是2和3，A错误； 对于B，数据已从小到大排列， 由于，故数据的第25百分位数是，B正确； 对于C，随机变量，则， 故，C正确； 对于D，由于，故依据的独立性检验， 拒绝原假设（原假设为X与Y独立），可判断变量与 不独立，D正确. 10. 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由与的关系求得通项公式，可判断ABC，通过的赋值结合的符号，可判断D. 【详解】由，可得， 所以， 又，符合上式， 所以， 故为等差数列，且单调递增，AB正确， ，C错误， ， 当时，， 当 时，， 当时，， 当，可知， 此时， 由上可知的最小值为，D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中， 为线段上的动点（包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 正方体的外接球球心到平面的距离为 C. 存在点 ，使得 D. 点 到直线 的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理得平面，故上任一点 到平面的距离h为定值，根据等体积判断A即可；根据平面平面 ，得出点到平面的距离为计算判断B；建立空间直角坐标系，由计算判断C；利用点到直线的距离的向量公式列式，再由二次函数求最值即可. 【详解】对于A，在正方体中，因，平面， 平面， 故平面，所以上任一点 到平面的距离h为定值， 又为定值，故为定值，故A正确； 对于B，连接，，记正方体的外接球球心为， 易知是正方体体对角线的中点，因为平面平面 ， 且平面和平面 与体对角线的交点是的两个三等分点， 又，所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立如图所示的空 间直角坐标系 ， 则，，，，，， 设，， 因为，所以， 又，若，则， 解得，所以这样的点 不存在，故C错误； 对于D，， 所以，因为， 所以， 所以点 到直线 的距离 ， 又，所以当时，，故D正确. 三、填空题 12. 已知向量，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行求出，再计算 【详解】由，则，解得， ， ． 13. 已知等差数列的前项和为，且，，则______. 【答案】14 【解析】 【分析】解法一：因为，且为等差数列，可以得到，求解即可. 解法二：因为为等差数列，所以为等差数列，设，则，，三项成等差数列，再通过等差中项的性质求解即可. 【详解】因为，且，则， 于是，则，. 解法2 由于为等差数列，设，则，，三项成等差数列， 于是，则，，. 故答案为：14. 14. 下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种. 【答案】200 【解析】 【详解】 将有阴影的圆分别标为 ， 由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字， 当阴影的圆中的数字为时，则将填在 中有种方法，接着剩下的个数字填到圆中有种方法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为时，若将填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能从 中选两个有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 若将填到或，有种方法，则接着安排有种方法，与相邻的三个圆只能填 有种方法，剩下一个数有种填法，所以共有种方法； 当阴影的圆中的数字为时，则只能填到，则接着安排有种方法，与相邻的两个圆只能安排有种方法，剩下两个数有种填法，所以共有种方法； 所以总共有种填法. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，的面积为，求边的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ， 令， ， 解得， ， 所以函数的单调递增区间为， . 【小问2详解】 因为， 又 为的内角，则 故， 所以，所以. 设角 所对边分别为 ， 因为，由正弦定理得 .① 因为三角形的面积为，所以.② 由①②解得：， 由余弦定理得， 所以. 16. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）使用等差中项性质即可求解； （2）使用累加法求得的通项公式，再使用裂项相消即可得证. 【小问1详解】 设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，则的公差为2，首项为6， 则，即， 当时， 将各式相加，得， 即，即，而满足上式， 因此，， 则， 因为 ，则，则，得证. 17. 如图，在正三棱柱中，，，分别为棱，，的中点，为线段上的动点. （1）证明：平面 . （2）若为线段的中点，且 ，，求与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 连接， . 因为，，分别为棱，，的中点，为正三棱柱 所以 ，，所以四边形为平行四边形，则， 又 平面 ， 平面 ，所以平面 . 同理可得平面 . 因为，所以平面平面 . 又平面，所以平面 . （2）. 【解析】 【分析】第一小问 分别连接EB1、FB1，利用平面EFB1与平面ACD面面平行推出线面平行，第二小问利用空间向量将线面角转化成求直线方向向量与平面法向量所成的角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，则 在正三棱柱中，则， ， . 以为坐标原点，，，所在直线分别为，， 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面 的法向量为， 则，， 令，得. 由， 所以与平面 所成角的正弦值. 得与平面 所成角的正弦值为. 18. 为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系，某学校采用按比例分层抽样的方式得到200名学生的测验成绩，样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图1所示.若认为成绩不低于120分为优秀，且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图2所示，已知样本中高三年级有15位同学成绩为优秀，且在所有数学成绩为优秀的学生中，认真完成作业的学生占. （1）求a的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数； （2）根据样本数据完成下方列联表，依据小概率值 的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关. 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），下四分位数 （2）有关 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各组频率之和为的性质，列出方程求解参数值；再根据百分位数的定义，通过累计频率确定下四分位数所在的区间，并用插值法计算该分位数； （2）根据分层抽样和条件概率完成列联表，再代入卡方公式计算检验统计量，与临界值比较以判断独立性；最后通过计算两组学生的优秀率并对比，进一步验证独立性检验的结论. 【小问1详解】 根据频率分布直方图的性质，所有组频率和为，组距为， 因此：，解得：， 下四分位数即第百分位数，计算累计频率 频率，累计； 频率，累计； 频率，累计；频率，累计。 ，因此第百分位数在区间内， 计算得：下四分位数 【小问2详解】 零假设：认真完成作业与成绩无关 认真完成作业 不认真完成作业 成绩优秀 成绩不优秀 ，因为， 依据小概率值 的独立性检验，零假设不成立，即认真完成作业与成绩有关， 该判断出错概率不超过0.001， 认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.4， 不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为0.1， 可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的4倍，差异显著. 19. 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点．当直线的倾斜角为时， 是等边三角形． （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：为定值． 【答案】（1） （2）由（1）得，即 ，分两种情况讨论： ① 当直线斜率不存在时，此时 的方程为，代入双曲线得 ， 即过 ，则 ， ② 当直线斜率存在时，设直线 ，不妨设 ， 联立直线和双曲线方程，消去得 ． 由韦达定理：， 计算可得 ， 代入韦达定理，结果化简得：， ， 综上，无论直线 斜率是否存在，为定值-1. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线性质和等边三角形特点，结合勾股定理求出和，从而求出标准方程 （2）分斜率存在和不存在两种情况，分别计算，并验证是否为定值. 【小问1详解】 设双曲线 的焦距为 ，则可得 ， 当 的倾斜角为时，不妨设 ，如下图所示： 将点 代入 可得 ， 又 ， 解得， 由 是等边三角形可得 ， 即，联立解得或（舍）； 所以可得， 故双曲线的标准方程为 . 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $