第十一章 第3课时 专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（粤教版 粤）

第3课时　专题强化：带电粒子在有界匀强磁场中的运动 目标要求　1.学会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题。2.会分析带电粒子在磁场中运动的多解问题。 考点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 3．圆形边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 (2)不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。 4．在多边形边界或角形区域磁场 带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把握以下两点： (1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。 (2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。 ①当α≤θ时，可以过磁场两边界的交点，发射点到磁场两边界的交点距离为d＝2Rsin α，如图甲所示。 ②当α>θ时，不能通过磁场两边界的交点，临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界相切，如图乙所示。 例1　真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)从MN边界某处射入磁场，刚好没有从PQ边界射出磁场，再从MN边界射出磁场时与MN夹角为θ＝30°，则(　　) A．粒子进入磁场时速度方向与MN边界的夹角为60° B．粒子在磁场中运动的时间为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子射入磁场时的速度大小为 答案　D 解析　轨迹如图所示，根据对称性知，粒子进入磁场时速度方向与MN边界的夹角也为30°，则转过的圆心角为α＝300°，粒子在磁场中运动周期为T＝，则运动的时间为t＝T＝，A、B、C错误；设轨迹半径为r，由l＝r＋rcos 30°，解得r＝2(2－)l，根据qvB＝m，解得v＝，D正确。 例2　(2021·全国乙卷·16)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图所示，设圆形磁场区域的半径为R，粒子以v1射入磁场时的轨迹半径为r1，根据几何关系r1＝R，以v2射入磁场时的轨迹半径r2＝R。 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得v＝，所以＝＝，故选B。 例3　如图所示，直角三角形MNP区域内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场。∠M＝30°，NP＝L，C为MP的中点，D为NP的中点，在C点有一粒子源可沿平行PN方向射入速度大小不同的正、负电子。电子的质量为m、电荷量为e，不考虑电子间的相互作用，不计正、负电子的重力。下列说法正确的是(　　) A．可能有正电子从M点射出磁场 B．负电子从D点离开磁场时的速度大小为 C．从MN边射出的正电子在磁场中运动的最长时间为 D．正电子在磁场中运动的最长时间为 答案　C 解析　正电子恰好从MN边界射出的轨迹如图所示，根据正电子的运动的轨迹可知，不可能从M点射出磁场，选项A错误；负电子从D点离开磁场的轨迹如图，负电子从D点离开磁场时，由几何关系知()2＋(－r)2＝r2，解得r＝L，则负电子的速度大小为v＝＝，选项B错误；当从MN边射出的正电子运动的轨迹与MN相切时在磁场中运动时间最长，由几何关系可知圆心角为120°，则最长时间tm＝×＝，选项C正确；正电子从C、M之间射出时在磁场中运动时间最长，则在磁场中运动的最长时间为tm′＝＝，选项D错误。 考点二　带电粒子在磁场中运动的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的周期性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。 (1)找出多解的原因。 (2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。 例4　(多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A.kBL,0° B.kBL,0° C．kBL,60° D．2kBL,60° 答案　BC 解析　若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲所示， 根据几何关系则有R＝L，由qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有R＝L， 根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，可得v＝＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2,3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2,3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故B、C正确，A、D错误。 例5　(多选)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC是圆的一条直径，D为圆上一点，∠COD＝60°。在A点有一个粒子源，沿与AC成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。则从A点射出的粒子的比荷可能是(　　) A. B. C. D. 答案　AD 解析　带电粒子从C点射出磁场，轨迹如图甲所示，由几何关系得sin 30°＝，解得r1＝2R； 　 带电粒子从D点射出磁场，轨迹如图乙所示，由几何关系得AODO2是菱形，所以粒子的轨迹半径r2＝R，所以粒子在磁场中运动的轨迹半径满足r2≤r≤r1，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得从A点射出的粒子的比荷满足≤≤，故选A、D。 课时精练 1. (2023·广东东莞实验中学模拟)如图所示，质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以大小为v0、方向与竖直方向成θ角斜向下的初速度垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，最后从边界上的N点射出磁场。已知磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，范围足够大，不计粒子受到的重力，则M、N两点间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，有qv0B＝m，根据几何关系可知，M、N两点间的距离d＝2rsin θ，联立解得d＝，故选D。 2. (2023·广东梅州市二模)如图所示，正方形abcd内有一垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，一束电子以不同的速度沿ab方向垂直磁场射入(不计电子重力及电子间相互作用)，形成从c点离开磁场区域和从d点离开磁场区域的甲、乙两种轨迹。设沿甲、乙轨迹运动的电子速度大小分别为v甲、v乙，在磁场中运动的时间分别为t甲、t乙，则(　　) A．v甲＝v乙，t甲＝t乙 B．v甲＝v乙，t甲＝t乙 C．v甲＝2v乙，t甲＝t乙 D．v甲＝2v乙，t甲＝t乙 答案　D 解析　带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，根据qvB＝得r＝，可知甲、乙带电粒子在磁场中运动的速度之比＝＝，根据周期T＝，可知甲、乙带电粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，故甲、乙带电粒子在磁场中运动的时间之比＝＝，故选D。 3. (多选)如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m、电荷量为q、初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略粒子重力，下列说法正确的是(　　) A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的轨迹长度为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．圆形磁场区域的半径为tan θ 答案　BC 解析　根据粒子的偏转方向，由左手定则可以判断出粒子带正电，A错误；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得粒子在磁场中运动时，其轨迹的半径为r＝，由几何关系可知其对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的轨迹长度为s＝θr＝，B正确；粒子做圆周运动的周期为T＝＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，C正确；设圆形磁场区域的半径为R，由tan ＝，解得R＝rtan ＝tan ，D错误。 4. (多选)如图所示，A点的离子源在纸面内垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力和离子间的相互作用忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　) A．B>，垂直纸面向里 B．B>，垂直纸面向里 C．B>，垂直纸面向外 D．B>，垂直纸面向外 答案　BD 解析　当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，可得r1＝s，由r1＝可得B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系s＝＋r2，得r2＝，又r2＝，所以B2＝，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误。 5. 如图所示，四分之一圆区域OMN内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，P点为半径OM的中点。现有两个带电粒子a、b，以相同的速度先后从P点沿平行ON方向射入磁场，并分别从N、M两点射出磁场。不计粒子所受重力及粒子间相互作用。则粒子a、b在磁场中运动周期之比为(　　) A．5∶1 B．1∶5 C．2∶3 D．3∶2 答案　A 解析　设四分之一圆的半径为R，画出a、b两个粒子的运动轨迹如图所示，根据几何关系可知rb＝，ra2＝R2＋(ra－)2，可得ra＝R，又因为T＝，可得Ta∶Tb＝ra∶rb＝5∶1，A正确，B、C、D错误。 6. 如图所示，在x轴上方及下方存在方向垂直纸面向里的范围足够大匀强磁场，上方磁场的磁感应强度大小为B，下方磁场的磁感应强度大小为。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从x轴上O点以速度v0垂直x轴向上射出。不计粒子重力。求： (1)射出后粒子第二次到达x轴时离O点的距离，并画出该过程粒子运动的轨迹； (2)粒子射出后经过多长时间第二次到达x轴。 答案　(1)　轨迹见解析图　(2) 解析　(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 由qvB＝m得圆周运动半径r＝ 故在x轴上方做圆周运动时，有r1＝ 在x轴下方做圆周运动时，有r2＝＝ 粒子运动的轨迹如图所示 粒子第二次到达x轴时离O点的距离 d＝2r2－2r1＝ (2)由T＝可得圆周运动周期T＝ 在x轴上方做圆周运动时有 t1＝T1＝×＝ 在x轴下方做圆周运动时有t2＝T2＝×＝ 则第二次到达x轴所用时间t＝t1＋t2＝。 7. (多选)(2023·广东深圳市联考)如图所示，等腰梯形abcd区域(包含边界)内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，边长ab＝bc＝cd＝ad＝l，一质量为m、带电量为－q(q>0)的粒子从a点沿着ad方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动，为使粒子不能经过bc边，粒子的速度可能为(　　) A. B. C. D. 答案　AC 解析　为使粒子不能经过bc边，则粒子可以从ab边或cd边出磁场，其临界点为b、c，其几何关系如图所示，当粒子恰好过b点时，其做圆周运动的圆心在O1点，根据几何关系可知r1＝ab＝l，则为使粒子从ab边出磁场，其运动半径应小于r1，根据牛顿第二定律可知qBv＝m，解得v＝＜； 当粒子恰好过c点时，其做圆周运动的圆心在O2点，根据几何关系可知r2＝ac＝ab＝l 则为使粒子从cd边出磁场，其运动半径应大于r2，根据牛顿第二定律可知qBv＝m，解得v＝＞，故选A、C。 8. 如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷＝，忽略质子重力和质子间的相互作用，则质子的速度不可能为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　质子带正电，且经过C点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对圆心角均为60°，根据几何关系可知，质子运动半径为r＝(n＝1,2,3…)，质子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，联立解得v＝＝(n＝1,2,3…)，可知质子的速度不可能为，C满足题意要求，A、B、D不满足题意要求。 9. (多选)如图，半径为R的圆形区域(纸面)内存在着匀强磁场，磁场方向垂直于纸面，半径OA与半径OC夹角α＝60°，CD为直径。电子、质子均从A点沿与OA夹角θ＝30°方向垂直射入匀强磁场中，电子经磁场偏转后从C点以速率v射出磁场，质子从D点垂直AO方向射出磁场。已知电子与质子的质量之比为k，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则(　　) A．磁场方向垂直纸面向外 B．电子在磁场中运动的路程为πR C．质子在磁场中运动的速率为kv D．电子、质子通过磁场所用的时间之比为1∶2 答案　BC 解析　电子、质子在磁场中运动的轨迹如图所示。电子在磁场中偏转从C点射出，根据左手定则判断知磁感应强度方向垂直纸面向里，选项A错误；由几何关系知：△AOC、△AO1C均为正三角形且全等，则电子做匀速圆周运动的半径r1＝R＝，在磁场中运动的路程L1＝×2πr1＝πR，选项B正确；电子在磁场中运动的时间t1＝·＝，由几何关系知：圆心O2在圆心为O的圆周上，四边形AODO2是边长为R的菱形，∠AO2D＝120°，质子在磁场中运动的轨迹半径r2＝R＝，得v2＝v＝kv，选项C正确；质子在磁场中运动的时间t2＝·＝，则＝＝，选项D错误。 10. (2024·广东肇庆中学开学考)如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m、带电荷量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行，不计粒子重力。 (1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与该粒子初速度方向间夹角为60°，要想使该粒子经过匀强磁场后第一次通过A点且时间最短，则初速度的大小是多少？ (2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？ 答案　(1)　(2) 解析　(1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨迹半径为R1，初速度为v1，则由几何关系得R1＝ 又由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝m，由以上两式解得v1＝ (2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨迹半径为R2，初速度为v2，则由几何关系有 (2r－R2)2＝R22＋r2，可得R2＝，又由洛伦兹力提供向心力有qv2B＝m，可得v2＝ 故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过。 11. (多选)如图所示，射线OM与ON夹角为30°，MON之外分布着垂直于纸面向里的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为－q的粒子(不计重力)，从O点垂直于OM以某一速度射出。则(　　) A．粒子第一次穿过边界ON时，速度方向与边界ON的夹角为60° B．粒子第一次穿过边界OM之后，在磁场中运动的时间为 C．仅减小粒子射出的速率，粒子可能第二次经过边界ON D．仅增大粒子射出的速率，粒子一定能两次经过边界OM 答案　ABD 解析　由粒子在有界磁场中运动的对称性可知，粒子第一次穿过边界ON时，速度方向与边界ON的夹角等于从O点出发时与边界ON的夹角，即为60°，故A正确；粒子第一次穿过边界OM之后的轨迹如图所示，从C点穿过OM边界进入下方磁场，由对称性和几何关系可知，再次从磁场中穿出时(图中D点)，粒子在下方磁场运动圆弧所对应的圆心角θ为300°，所以在磁场中运动的时间为t＝T＝＝，故B正确； 由几何关系可得，粒子从ON穿过时，C点距离O点为其圆周运动半径R的3倍，所以粒子在下方磁场再次偏转，从D点穿过OM，D、C距离为R，粒子射出时速度方向平行于ON，所以不管是增大还是减小粒子射出的速率，粒子都不可能第二次经过边界ON，一定能两次经过边界OM，故C错误，D正确。 谢谢！ 学科网（北京）股份有限公司 $