第六章 微点突破3 含弹簧的机械能守恒问题（课件PPT）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 浙江专用）

第六章 机械能守恒定律 微点突破3 含弹簧的机械能守恒问题 目标 要求 知道弹簧的弹性势能与哪些因素有关，会分析含弹簧的机械能守恒问题。 1.由于弹簧发生形变时会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统除重力、弹簧弹力以外的其他力不做功，系统机械能守恒。 2.弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能有最大值。 3.对同一弹簧，弹性势能的大小为Ep＝ kx2，弹性势能由弹簧的形变量决定，弹簧的伸长量和压缩量相等时，弹簧的弹性势能相等。 例1　如图所示，质量为m的小球从静止下落，落在与A点等高处、竖直放置静止的轻弹簧上，到达与B点等高处时小球重力与弹簧的弹力大小相等，图中与C点等高处是小球到达的最低点。不计空气阻力，下列说法正确的是 A.从O到C，小球重力势能减小、动能增大，小球、地球、弹簧组成 的系统机械能守恒 B.从A到C，小球重力势能一直减小、动能先增大后减小，小球、地 球、弹簧组成的系统机械能不守恒 C.到达B点时，小球的动能最大，弹性势能最小 D.从O到A，小球重力势能减小，动能增大，小球、地球组成的系统机械能守恒 √ 到达与B点等高处时小球重力与弹簧的弹力大小相等，此 时加速度为0，速度达到最大，所以从O到C，小球重力势 能减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系 统机械能守恒，故A错误； 从A到C，小球重力势能一直减小、动能先增大后减小，小球、地球、弹簧组成的系统机械能守恒，故B错误； 到达B点时，小球的动能最大，弹性势能最小的点是A点，故C错误； 从O到A，只有重力做功，小球重力势能减小，动能增大，小球、地球组成的系统机械能守恒，故D正确。 例2　(多选)如图所示，MN为半径R＝0.8 m、固定于竖直平面内 的光滑圆管轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，OP为水平桌面，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪。现发射质量为m＝5 g的小钢珠(可视为质点)，小钢珠从M点离开弹簧枪，从N点飞出落到距O点距离为2R的Q点。不计空气阻力，重力加速度g取 10 m/s2，则下列说法正确的是 A.小钢珠落到Q点前瞬间，重力的功率为0.25 W B.小钢珠到达N点时，对上管壁的压力大小为0.05 N C.小钢珠从N到Q的运动时间为0.4 s D.弹簧枪储存的弹性势能为0.12 J √ √ 例3　(2024·浙江省名校协作体模拟)如图所示，一顶角为直角的“ ”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，此时弹簧为原长l0。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内，且弹簧始终保持水平，已知弹簧的长度为l时，弹性势能为 k(l－l0)2，重力加速度为g，下列说法正确的是 A.金属环在最高点与最低点加速度大小相等 B.左边金属环下滑过程机械能守恒 C.弹簧的最大拉力为3mg D.金属环的最大速度为2g √ 左边金属环下滑过程，除重力以外，弹簧的弹力对它做功，故对金属环而言，下滑过程中机械能不守恒，故B错误； 金属环下降h′达到最低点时，速度减小为0，形变量最大为2h′， 弹簧的最大拉力为FT＝kΔx＝2mg，故C错误； 在最高点时金属环只受重力和支持力作用，此时重力沿杆方向的分力提供加速度，有a1＝gsin 45° 在最低点，可知FT＝2mg 根据牛顿第二定律可知FTcos 45°－mgsin 45°＝ma2， 解得a2＝gsin 45°，则a1＝a2 金属环在最高点与最低点加速度大小相等，故A正确； 当金属环的加速度为0时，速度最大，金属环受力如图所示 金属环受到重力、杆的弹力和弹簧的弹力，沿杆 方向加速度为0， 即合力为0，有mgsin 45°＝Fcos 45°，又F＝kΔx， 例4　如图所示，在倾角为30°的光滑固定斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接在固定挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg 的物体A，一轻细绳绕过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的小球B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住小球B使细绳伸直且刚好没有拉力，然后由静止释放，不计一切阻力，重力加速度g取10 m/s2。求： (1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小； 答案　30 N 弹簧恢复原长时，根据牛顿第二定律， 对B有mg－FT＝ma 对A有FT－mgsin 30°＝ma 解得FT＝30 N。 (2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度； 答案　0.2 m 当A速度最大时，A的加速度为0， 则有mg＝kx2＋mgsin 30° 弹簧伸长量x2＝0.1 m 所以A沿斜面上升x1＋x2＝0.2 m。 (3)物体A的最大速度的大小。 答案　1 m/s 因x1＝x2，故弹性势能改变量ΔEp＝0， 由系统机械能守恒有： 解得v＝1 m/s。 跟踪训练 1.(多选)“蹦极”被称为“勇敢者的游戏”。将一根自然长度为OA的弹性轻绳一端系在人身上，另一端固定在跳台边缘。人从跳台由静止下落开始计时，下落过程中速度随时间的变化如图所示，图中tA、tB、tC三个时刻分别对应A、B、C三个点，tB时刻是图像最高点，不计空气阻力。下列说法正确的是 A.重力加速度大小为 B.人从A点运动到B点这一过程中，人的 重力势能转化为动能 C.人在下落过程中，弹性绳对人先做正 功再做负功 D.人从A点运动到C点这一过程中，人的机械能一直减少 1 2 3 4 √ √ 17 1 2 3 4 由题图可知，人从跳台下落到A点的过程，人做自由落体运动，可得重力加速度大小为g＝ ，故A正确； 人从A点运动到B点这一过程中，人的重力势能转化为人的动能和弹性绳的弹性势能，故B错误； 1 2 3 4 人在下落过程中，弹性绳的形变量一直增大，弹性势能一直增大，故弹性绳对人一直做负功，故C错误； 人从A点运动到C点这一过程中，人与弹性绳组成的系统机械能守恒，由于下落过程中，弹性绳弹性势能一直增大，故人的机械能一直减少，故D正确。 2.如图，圆心为O1的光滑半圆环固定于竖直面，轻弹簧上端固定在O1正上方的O2点，c是O1O2和圆环的交点；将系于弹簧下端且套在圆环上的小球从a点静止释放，此后小球在a、b间做往复运动。若小球在a点时弹簧被拉长，在c点时弹簧被压缩，aO1⊥aO2。则下列说法正确的是 A.小球在b点受到的合力为零 B.弹簧在a点的伸长量可能小于弹簧在c点的压缩量 C.弹簧处于原长时，小球的速度最大 D.在a、b之间，小球机械能最大的位置有两处 1 2 3 4 √ 套在圆环上的小球从a点静止释放，此后小球在a、b间 做往复运动，表明小球在a点的合力不等于零，合力的 方向沿着a点的切线向上；因为系统的机械能守恒，a 点和b点关于O1O2对称，所以小球在b点受到的合力不 等于零，合力的方向沿着b点的切线向上，A错误； 小球从a点到c点运动的过程中，在a点时动能最小，等于零，小球在a点时位置最低，重力势能最小，故小球在a点时的机械能最小；又因为小球和弹簧组成的系统机械能守恒，所以小球在a点时，弹簧的弹性势能最大，故形变量最大，所以弹簧在a点的伸长量一定大于在c点的压缩量，B错误； 1 2 3 4 小球受到重力、弹簧的弹力、圆环的支持力，这三个力的合力为零时，小球的速度最大，此时弹簧不处于原长状态，C错误； 因为系统的机械能守恒，所以弹簧处于原长时，小球的机械能最大；在a、b之间，弹簧处于原长的位置有两处，D正确。 1 2 3 4 3.如图所示，质量为2.5m的物体A放在倾角为α＝30°的固定斜面体上，一平行于斜面的轻绳跨过光滑定滑轮一端与物体A连接，另一端与一竖直轻弹簧相连，弹簧下端悬挂一质量为m的砝码盘B，整个系统处于静止状态。现将质量为m的砝码轻轻放在B盘中，二者开始运动。B在运动过程中始终未着地，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧的弹性势能表达式为Ep＝ kx2(x为形变量)。轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，要使物体A始终保持静止状态，A和斜面体之间的 动摩擦因数的最小值为 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 4.某同学玩“弹珠游戏”装置如图所示，S形管道BC由两个半径为R的 圆形管道拼接而成，管道内直径略大于小球直径，且远小于R，忽略一切摩擦，用质量为m的小球将弹簧压缩到A位置，由静止释放，小球到达管道最高点C时对管道恰好无作用力，重力加速度大小为g。 (1)求小球到达最高点C的速度大小； 1 2 3 4 由于小球到达管道最高点C时对管道恰好无作用力，根据牛顿第二定律和向心力公式， 1 2 3 4 (2)若改用同样大小质量为2m的小球做游戏，其他条件不变，求小球能到达的最大高度； 1 2 3 4 由于忽略一切摩擦，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律可知， 所以小球不能到达C点，设此时小球能到达的最大高度为h， 根据机械能守恒定律，有Ep＝2mgh， 1 2 3 4 (3)若改用同样大小质量为 的小球做游戏，其他条件不变，求小球落地点到B点的距离。 1 2 3 4 答案　10R 改用质量为 的小球时，小球通过最高点C后做平抛运动，设此时离开C点时的速度为v， 根据机械能守恒定律，有Ep＝ 根据平抛运动规律可知，此时小球离开C点后做平抛运动的射程x＝ 联立以上各式解得x＝8R 根据几何关系可知，小球落地点到B点的距离为d＝x＋2R＝10R。 1 2 3 4 小钢珠从N点飞出后做平抛运动，竖直方向有t＝ ＝0.4 s，vy＝＝4 m/s，水平方向有vx＝ ＝4 m/s，小钢珠在N点，根据牛顿第二定律有mg＋FN＝m，解得FN＝0.05 N，由牛顿第三定律可知，小钢珠到达N点时对上管壁的压力大小为0.05 N，小钢珠落到Q点前瞬间，重力的功率为P＝mgvy＝0.2 W，故A错误，B、C正确； 根据机械能守恒有Ep＝mvx2＋mgR＝0.08 J，故D错误。 根据两金属环与弹簧系统机械能守恒有2mgh′＝k(2h′)2，解得h′＝  ，弹簧的最大伸长量Δx＝2h′＝ 解得形变量Δx＝ 根据几何知识，两个小球下降的高度为h＝ 对两个金属环和弹簧根据机械能守恒，有2mgh＝k(Δx)2＋×2mv2 解得v＝g，故D错误。 初态弹簧压缩量x1＝＝0.1 m  mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝×2mv2 A. B. C. D. 放砝码前，弹簧的伸长量为x0＝，砝码和B 盘向下运动过程，与弹簧组成的系统机械能守 恒，砝码和B盘运动到最低点时弹力最大，则 有2mg(x－x0)＝kx2－kx02，可得3mg＝kx，动摩擦因数最小时，由平衡关系可得kx＝2.5mgsin α＋2.5μmgcos α，解得μ＝，故A、B、C错误，D正确。 答案　　 解得小球到达最高点C的速度大小vC＝ 有mg＝m， 答案　R　 改用质量为2m的小球时，因为Ep＝mgR＜4mgR， 解得h＝R 弹簧弹性势能为Ep＝mvC2＋2mgR＝mgR  v ×v2＋mgR $