向量的线性运算【8个题型专项练习】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【月考专项训练01：向量的线性运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：几何图形中的向量的线性运算】 1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 2．（25-26高三下·北京·开学考试）已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算求解. 【详解】 . 3．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，为边的中点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算表示相关向量进行求解即可. 【详解】因为为边的中点，所以， 又因为为的中点， 所以. 故选： 5．（25-26高三上·河北邢台·月考）在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理结合图形的几何性质进行求解即可. 【详解】因为在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G， 所以 ． 故选：D. 【题型2：三点共线问题】 6．（24-25高一下·四川资阳·月考）已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设  ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设  ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 7．（23-24高一下·四川泸州·月考）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】A：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； B：，因为，所以本选项三点共线； C：，因为，且平面向量不共线， 所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线； D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线， 显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线， 故选：B 8．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）（1）已知A，B，C是三个不同的点，，，，求证：A，B，C三点共线 （2）化简： （3）已知，，实数x，y满足：，求x，y. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）计算得，再结合向量共起点即可证明三点共线； （2）根据平面向量加减法以及数乘运算直接计算即可； （3）直接代入向量坐标即可得到方程组，解出即可. 【详解】（1）因为， ， 所以，又因为有公共起点，因此A，B，C三点共线. （2）； （3），即， 则，解得. 9．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.    (1)用表示； (2)求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量的线性运算解题即可； （2）先根据平面向量共线定理证明共线，再根据向量有公共点，即可证明三点共线. 【详解】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则， .    （2）由（1）知，， ， ，所以， 所以共线，又因为有公共点，所以三点共线. 10．（24-25高一下·广东湛江·开学考试）设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时的取值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）利用向量的线性运算及共线向量定理推理得证. （2）利用共线向量定理及平面向量基本定理列式求解. 【详解】（1）由，，， 得， ， 则，且有公共点B，所以A，B，C三点共线． （2）由与共线，则存在实数，使得， 即，又，是不共线的两个非零向量， 因此，解得或， 所以实数k的值是，当时，与反向共线. 【题型3：向量的线性运算求参数】 11．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量共线定理，结合为的中点，可得，由向量的线性运算，分别用表示，由，即可求得的值, 【详解】由图象可得，，，三点共线，且为的中点， 故存在实数使， 有， 且， 因为，即， 因为与不共线，所以有，解得. 故选：C. 12．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 13．（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【分析】以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系，求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求出即可得解. 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 14．（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，以为基底，分别用表示，建立方程组求解. 【详解】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 15．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加减运算得出、，即可得出在线段上的位置，即可求出. 【详解】因，则，即， 则， 因D为BC中点，则， 因，则，即， 则，则， 因，D为BC中点，则，即，得.    故选：A 【题型4：向量的共线定理及其推论】 16．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，结合共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值. 【详解】，又，故， 所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，故. 所以， 当且仅当，即时取等号. 故最小值为， 故选：D. 17．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，为中点，在上，且，与交于点O (1)用表示. (2)过O作直线交线段于点，交线段于，，求的值 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据线段比例关系以及平面向量基本定理可表示出； （2）利用平面向量共线定理列方程组计算可求得的值. 【详解】（1）由为的中点可知，由可知，如下图：    因此可得， 因为三点共线，所以可设， 且三点共线，所以存在实数，使得， 因此可得， 即，解得， 因此； （2）如下图所示：    因为三点共线，所以存在实数使得， 其中由可得，又， 所以， 结合（1）中结论可知，解得；因此. 18．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）在中，点在边上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 19．（24-25高一下·江西·月考）在中，是直线上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：A. 20．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设且，应用向量加减、数乘的几何意义得 ，结合向量共线的推论得求参数，即可得. 【详解】设且，则 ， 又，则， 由共线，则，可得， 所以. 故选：B 【题型5：向量线性运算求参数范围】 21．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知是内一点，且，点在内（含边界），若，则的最小值是______. 【答案】 【分析】由三角形重心性质得是的重心，则到的距离是到的距离的倍，设，由等和线定理得到，即的最小值是. 【详解】假设是的重心，延长交于点， 则有，设，则， 则，即，易得方向相反，且模长相等， 所以，即，假设成立，即是的重心， 因为是的重心，所以到的距离是到的距离的倍， 延长交于点，如图： 设，因为到的距离是到的距离的倍， 易得当与重合时，取最小值， 三点共线，由三点共线定理得，， 则， 即， 所以的最小值为. 22．（25-26高三上·安徽六安·月考）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为______. 【答案】/ 【分析】利用向量的共线运算及平面向量基本定理找到的关系，结合基本不等式计算即可. 【详解】 由已知可得：， 又因为在线段上， 所以有，且， 根据平面向量基本定理可知：， 所以，且，即 则， 当且仅当，即时取等号， 得，所以， 即的最大值为. 故答案为：. 23．（25-26高三上·河南·期中）在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    24．（25-26高三上·重庆·月考）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令与交于点，根据给定条件，利用向量线性运算，结合共线向量定理的推论建立关系式，再按点的位置分类确定并求出最大值. 【详解】由，得，则， 令与交于点，设，则， 由三点共线，得，则， 当在弧、弧上（不含端点）时，；当在弧上（不含端点）时， ；当与之一重合时，；当与重合时，， 因此最大，当且仅当在弧上（不含端点）且， 则，所以的最大值为. 故选：C 25．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 【题型6：向量线性运算中面积之比的问题】 26．（2025高三·全国·专题练习）设点在内部，且，则的面积与的面积之比是（    ）. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】只需得到即可求解. 【详解】插入分点，则由可得， 即，所以为的中线的中点，进而知， 故选：B. 27．（24-25高一上·辽宁大连·期末）在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足 求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足 延长线交于点N， 求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长至使，可以得到四边形是平行四边形，然后根据，所以，又，所以，进而得到答案. （2）由，得，设，由及向量的运算法则可得，又因为，列得方程组，求解即可得的值. 【详解】（1）M是所在平面内一点，延长至使. ，， 连接，因为向量和向量平行且模相等，则四边形是平行四边形. 由于，所以，又，所以， 在平行四边形中，，所以与的面积之比为.    （2），. 设，，， ，， ， 又， ，解得. 所以.    28．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，设为内一点，且，，，则的面积与的面积之比等于________. 【答案】/ 【分析】根据题意，结合向量的加法法则可得四边形为平行四边形，进而利用平行四边形的性质及三角形的面积公式求解即可. 【详解】由题可知，，， 所以，， 由 可得， 由平行四边形法则，可知四边形为平行四边形， 所以，， 所以. 故答案为：. 29．（24-25高一下·河南商丘·月考）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先依据共线向量几何意义判断出点P的位置，再去求与的面积之比 【详解】由 可得，即点P在线段BC上，且 则与的面积之比等于 故选：B 30．（23-24高一下·安徽淮北·期中）设O为内任一点，且满足. （1）若D，E分别是边BC，CA的中点，求证:D，E，O三点共线; （2）求与的面积之比. 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【分析】（1）先利用中点列向量关系，再利用即得，即证结论； （2）由(1)知，利用等高法和等底法得到，，得到，即得结果. 【详解】解：(1)如图，. ，即， 与共线，而OD与OE有公共点O，三点共线； (2)由(1)知， ， . 【题型7：向量线性运算中“四心”问题】 31．（24-25高二上·贵州遵义·月考）已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】因为G为的重心，利用重心的性质依次判断ABCD即可. 【详解】G为的重心（三角形三条中线的交点）， ，而不一定相等， 故不能推出，A错误； 如图：设的中点分别为 则，，，B正确； ，； 同理可得,，C错误； ，D正确. 故选：BD 32．（24-25高一下·广东佛山·月考）设点在的边BC上，且满足则下列结论正确的是（   ） A．是等腰三角形 B．若，向量的夹角为 C．直线是角的角平分线； D． 【答案】CD 【分析】依题意没有条件能说明是等腰三角形，即A错误；易知，分别表示方向的单位向量，根据平行四边形法则可知直线是角的角平分线；可得C正确，将变形可得，再由可知是等腰直角三角形，即B错误，利用向量数量积运算律计算可得D正确. 【详解】根据题意设，因此 即为方向的单位向量， 令，可知四边形为菱形，如下图所示： 所以即为角的角平分线； 又易知，即三点共线， 所以直线是角的角平分线，可知C正确； 没有条件能说明是等腰三角形，即A错误； 若，可得， 即，又直线是角的角平分线可知， 即是等腰三角形，又，所以是等腰直角三角形， 所以向量的夹角为，可得B错误； 易知，分别表示方向的单位向量，即， 所以，即D正确. 故选：CD 33．（23-24高一下·湖南长沙·期末）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 【答案】BCD 【分析】A选项，计算出，⊥，同理可得⊥，⊥，则点为的垂心；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心；C选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，故；D选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上. 【详解】A选项，，即，故⊥， 同理可得⊥，⊥，则点为的垂心，A错误； B选项，过点作⊥于点，取的中点，连接， 则，， 则， 故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确； C选项，如图，分别为的中点， ， 则，故， 所以， 故，C正确； D选项，分别表示方向上的单位向量， 故， ，故⊥， 由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上， 则点是的内心，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 34．（23-24高一下·安徽阜阳·月考）中，下列说法正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形. B．若，，则点的轨迹一定通过的内心. C．若为重心，则 D．若点满足，，，则 【答案】BD 【分析】根据可确定角为锐角，可判断A；根据单位向量、共线向量的概念可判断B；根据向量的加法运算可确定C；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D． 【详解】选项A：若，则，因此角为锐角，但不一定为钝角三角形，故A错误； 选项B：因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致． 若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确； 选项C：若为的重心，设边的中点为， 则，故C错误；    选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心， 于是有．又， 则 ，故D正确．    故选：BD． 35．（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 【答案】ABD 【分析】用向量表示三角形的四心. 【详解】选项A：如图，点O为的重心时，，故A正确；    选项B：若点O为的外心，如图，为线段的垂直平分线， 则，同理， ，故B正确；    选项C：当时，则为的垂心，，重合，此时，故C错误；    选项D：若点O为的内心，在的平分线上， 则，故D正确. 故选：ABD 【题型8：向量线性运算综合题型】 36．（23-24高一下·四川广安·月考）在给出的下列命题中，正确的有（    ） A．已知点O在所在的平面内，满足，则点是的外心 B．已知平面向量满足，则为等腰直角三角形 C．已知平面向量满足，且，则是等边三角形 D．在矩形ABCD中，，动点在以点为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为3． 【答案】ACD 【分析】根据已知即可得出A项正确；对于B，由已知可得出点在的平分线上，且，只能得出等腰三角形；根据已知可得出是的外心、重心、垂心，即可得出C项；由已知求出半径，以点为坐标原点，写出点的坐标，用三角函数表示出，然后用辅助角公式，即可得出最值. 【详解】对于A项，由已知可得点到三个顶点的距离相等，且在所在的平面内，所以点是的外心，故A正确； 对于B项，因为，所以点在的平分线上， 又，所以，所以， 所以是等腰三角形，但无法确定是否为直角三角形，故B项错误； 对于C项，由，结合A的结论，可知点是的外心. 又，即. 如图， 取中点为，则， 所以，所以共线，且， 所以，点是重心. 又，所以，所以，所以，是的垂心. 综上可知，是等边三角形，故C项正确； 对于D项，如图， 过点作垂足为， 因为，由， 可得，即圆的半径. 以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 因为在圆上，根据三角函数的定义，可设点， 则， 由可知， 所以， 设， 则. 当时，取最大值1，有最大值3，故D正确； 故选：ACD 37．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数的部分图象如图所示，O为坐标原点，B，C为图象与坐标轴的交点，D为图象上的点且满足，，，则______. 【答案】 【分析】作出辅助线，根据，得到方程，求出，，的最小正周期，分和，分别求出，，，求出函数解析式，代入求值，得到答案. 【详解】如图，连接CD，OD，作DE垂直轴于点E， 因为，所以四边形OBCD为平行四边形， ，， 又，解得，， 由对称性得，的最小正周期， 若，则， 由点在图象上，可知， 故，，解得，， 由得，，，解得， 所以，， 故； 若，则， 由点在图象上，可知， 故，，解得，， 由得，，，解得， 所以，， 故. 故答案为： 38．（24-25高一下·广东·月考）在中，，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ACD 【分析】设三角形的重心为，根据三角形重心公式可判断A选项；由，，可判断B选项；设的中点为，根据是三角形的重心，结合A选项可判断C选项；设的中点为，利用三角形的中点向量可判断D选项. 【详解】设三角形的重心为，由，，根据三角形重心公式，可得，， 又，即，可得，则，故A正确； 因为，，故B错误； 设的中点为，因为是三角形的重心，故，，故C正确； 设的中点为，有，而，故，故D正确. 故选：ACD. 39．（24-25高一下·湖北·月考）已知、、是所在平面上的点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的外心 C．若为的外心，，则为的垂心 D．若，，则点轨迹一定通过的重心 【答案】ABC 【分析】利用三角形重心的向量表示可判断A选项；推导出，可判断B选项；利用平面向量数量积的运算得出，可得出，同理可得，，可判断C选项；利用正弦定理结合平面向量的线性运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则， 即，故为的重心，A对； 对于B选项，因为， 所以，同理可得，故， 因此为的外心，B对； 对于C选项，因为为的外心，， 则， 所以， 所以，同理可得，，故为的垂心，C对； 对于D选项，因为，， 所以， 由正弦定理可得，故， 而是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 所以，记，，以、为邻边作平行四边形， 则平行四边形为菱形，则直线平分， 因为，故点的轨迹一定经过的内心，D错. 故选：ABC. 40．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． (1)用和表示； (2)设，实数，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出、关于的表达式； （2）由、、三点共线并结合系数和为1的结论即可求解； （3）由向量数量积的运算律求出的表达式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因，所以，又因为的中点，所以， 所以． （2）因，所以， 又因，所以， 又因三点共线，所以，即． （3）设，由（1）（2）可知， 即． 因， ， 所以 ， 又因是边长为的等边三角形，所以， 所以化简得， 令，因，即， 当且仅当时，等号成立，所以． 因此， 又因为，所以， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【月考专项训练01：向量的线性运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：几何图形中的向量的线性运算】 1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·北京·开学考试）已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，为边的中点，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河北邢台·月考）在平行四边形中，E为的中点，F为上更靠近C的三等分点，且E关于F对称的点为G，则（   ） A． B． C． D． 【题型2：三点共线问题】 6．（24-25高一下·四川资阳·月考）已知平面向量且，则一定共线的三点是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．（23-24高一下·四川泸州·月考）已知平面向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 8．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）（1）已知A，B，C是三个不同的点，，，，求证：A，B，C三点共线 （2）化简： （3）已知，，实数x，y满足：，求x，y. 9．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.    (1)用表示； (2)求证：三点共线. 10．（24-25高一下·广东湛江·开学考试）设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时的取值． 【题型3：向量的线性运算求参数】 11．（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·云南昆明·期末）（多选）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 14．（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 15．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在中，D为BC中点，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型4：向量的共线定理及其推论】 16．（25-26高三上·湖北襄阳·月考）如图，设，线段与交于点，且，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 17．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）在中，为中点，在上，且，与交于点O (1)用表示. (2)过O作直线交线段于点，交线段于，，求的值 18．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）在中，点在边上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 19．（24-25高一下·江西·月考）在中，是直线上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【题型5：向量线性运算求参数范围】 21．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知是内一点，且，点在内（含边界），若，则的最小值是______. 22．（25-26高三上·安徽六安·月考）在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为______. 23．（25-26高三上·河南·期中）在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·重庆·月考）勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现的，并以他的名字命名.该几何图形是以等边三角形每个顶点为圆心，以该等边三角形的边长为半径，在另两个顶点间作一段弧;三段弧围成的曲边三角形.如图，已知M是边长为2的勒洛三角形ABC边上的动点，且则λ+μ的最大值为（   ） A． B． C． D． 25．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【题型6：向量线性运算中面积之比的问题】 26．（2025高三·全国·专题练习）设点在内部，且，则的面积与的面积之比是（    ）. A．3 B．4 C．5 D．6 27．（24-25高一上·辽宁大连·期末）在中，点D为边上靠近A的三等分点，点M为形内一点.    (1)如图，若点M满足 求与的面积之比； (2)若点O为的外心，点M满足 延长线交于点N， 求k的值. 28．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，设为内一点，且，，，则的面积与的面积之比等于________. 29．（24-25高一下·河南商丘·月考）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·安徽淮北·期中）设O为内任一点，且满足. （1）若D，E分别是边BC，CA的中点，求证:D，E，O三点共线; （2）求与的面积之比. 【题型7：向量线性运算中“四心”问题】 31．【多选题】（24-25高二上·贵州遵义·月考）已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 32．【多选题】（24-25高一下·广东佛山·月考）设点在的边BC上，且满足则下列结论正确的是（   ） A．是等腰三角形 B．若，向量的夹角为 C．直线是角的角平分线； D． 33．【多选题】（23-24高一下·湖南长沙·期末）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心（外接圆圆心） B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若，，分别表示，的面积，则 D．若，则点是的内心 34．【多选题】（23-24高一下·安徽阜阳·月考）中，下列说法正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形. B．若，，则点的轨迹一定通过的内心. C．若为重心，则 D．若点满足，，，则 35．【多选题】（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 【题型8：向量线性运算综合题型】 36．【多选题】（23-24高一下·四川广安·月考）在给出的下列命题中，正确的有（    ） A．已知点O在所在的平面内，满足，则点是的外心 B．已知平面向量满足，则为等腰直角三角形 C．已知平面向量满足，且，则是等边三角形 D．在矩形ABCD中，，动点在以点为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为3． 37．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数的部分图象如图所示，O为坐标原点，B，C为图象与坐标轴的交点，D为图象上的点且满足，，，则______. 38．【多选题】（24-25高一下·广东·月考）在中，，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 39．【多选题】（24-25高一下·湖北·月考）已知、、是所在平面上的点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若，则为的外心 C．若为的外心，，则为的垂心 D．若，，则点轨迹一定通过的重心 40．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点． (1)用和表示； (2)设，实数，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $