第八章 第2课时 实验九：用单摆测量重力加速度（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 苏京）

第2课时　实验九：用单摆测量重力加速度 目标要求　1.知道利用单摆测量重力加速度的原理。2.掌握利用单摆测量重力加速度的方法。 考点一　实验技能储备 1．实验原理 当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。 2．实验器材 铁架台、单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。 3．实验过程 (1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆。 (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。 (3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r。 (4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(小于5°)，然后放开金属小球，让金属小球由静止开始摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T。 (5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。 (6)改变摆长，重做几次实验。 4．数据处理 (1)公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度。 (2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。 5．误差分析 系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。 偶然误差：本实验的偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 6．注意事项 (1)一般选用一米左右的细线。 (2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。 (3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。 (4)单摆必须在同一平面内摆动，且摆角小于5°。 (5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。 例1　(2023·新课标卷·23)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________ mm，则摆球的直径为________ mm。 (2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。 (3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________ s，该小组测得的重力加速度大小为________ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870) 答案　(1)0.006(0.007也可)　20.035(20.034、20.036均可)　20.029(20.027、20.028、20.030均可)　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83 解析　(1)题图(a)读数为0＋0.6×0.01 mm＝0.006 mm(0.007 mm也可)； 题图(b)读数为20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm(20.034 mm、20.036 mm均可)； 则摆球的直径为20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm(20.027 mm、20.028 mm、20.030 mm均可) (2)若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。 (3)摆长＝摆线长度＋半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm； 小球从第1次到61次经过最低点经过了30个周期，则T＝ s＝1.82 s 根据单摆周期公式T＝2π，可得g＝≈9.83 m/s2。 例2　实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)下列最合理的装置是________。 (2)为使重力加速度的测量结果更加准确，下列做法合理的有________。 A．测量摆长时，应测量水平拉直后的摆线长 B．在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动 C．摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大 D．测量周期时，应该从摆球运动到最高点时开始计时 (3)某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。如图甲所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点。然后利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T。在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2－l图像如图乙所示。 ①该图像的斜率为________(重力加速度为g)。 A．g B. C. D. ②由此得出重力加速度的测量值为________________ m/s2。(π取3.14，计算结果保留三位有效数字) ③实验中，该同学测量摆长使用细线长，而非悬点到石块重心之间的距离，这对重力加速度测量结果的影响是：测量值________(填“>”“＝”或“<”)真实值。 答案　(1)D　(2)BC　(3)①C　②9.86　③＝ 解析　(1)为减小空气阻力的影响，摆球应采用密度较大、体积较小的铁球，为使单摆摆动时摆长不变化，摆线应用不易形变的细丝线，悬点应该用铁夹来固定，故选D。 (2)根据单摆周期公式有T＝2π，可得重力加速度为g＝，测量摆长时，应该测量竖直拉直后的摆线长，故A错误；在摆球运动过程中，必须保证悬点固定不动，故B正确；摆球运动过程中，摆线与竖直方向的夹角不能太大，如摆角太大，将不能看作简谐运动，单摆周期公式失效，故C正确；测量周期时，应该从摆球运动到最低点时开始计时，因为最低点位置摆球速度最大，相同的视觉距离误差引起的时间误差较小，则周期测量比较准确，故D错误。 (3)①由题图可知，设M点到石块重心的距离为d，根据周期公式T＝2π，可得T2＝(l＋d)，故T2－l图像的斜率为k＝，故选C。②由于k＝＝×102＝4，解得重力加速度的测量值为g＝π2 m/s2≈9.86 m/s2。 ③由之前的分析可知，有T2＝(l＋d)，T2－l图像的斜率为k＝，其重力加速度为g＝，由上述分析可知，其摆长的测量不影响重力加速度的测量结果，所以重力加速度的测量值等于真实值。 考点二　探索创新实验 例3　(2024·江苏无锡市期中)小明做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)如图甲所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球(下方吸附有小磁片)，做成一个单摆。图乙、丙分别画出了细线上端的两种不同的悬挂方式，你认为应选用图_________(选填“乙”或“丙”)的悬挂方式； (2)使小球在竖直平面内做小角度摆动，打开手机的磁传感器软件。某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图丁所示，则单摆的振动周期T＝__________ s(结果保留3位有效数字)； (3)改变线长l，重复上述步骤，实验测得数据如下表所示(实验前已测得小球半径r)，请根据表中的数据，在方格纸上作出L－T2图像； L＝(l＋r)/m T/s T2/s2 0.40 1.276 1.628 0.60 1.555 2.418 0.80 1.801 3.244 1.00 2.010 4.040 1.20 2.208 4.875 (4)测得当地的重力加速度g＝_________m/s2(结果保留3位有效数字)； (5)有同学认为，根据公式T＝2π，小明在实验中未考虑小磁片对摆长的影响，L的测量值小于真实值，所以实验测得的重力加速度g偏小。请判断该观点是否正确，简要说明理由 ________________________________________________________________________。 答案　(1)丙　(2)1.36(1.32～1.40均可) (3)见解析图　(4)9.78　(5)见解析 解析　(1)图乙的方法中当单摆摆动时摆长会发生变化，则图丙的悬挂方式较好； (2)小球经过最低点时磁感应强度最大，相邻两次磁场最强的时间间隔为半个周期，由图可知单摆的周期约为1.36 s； (3)根据表格中数据描点连线如图 (4)根据T＝2π可得L＝T2 则图线斜率为＝ m/s2＝0.248 m/s2 则g≈9.78 m/s2 (5)重力加速度根据图像的斜率可求，由(4)的分析可知，小磁片不影响重力加速度的测量值，所以这个同学的观点是不正确的。 课时精练 1．(2023·江苏省东台创新中学检测)某同学利用单摆测量当地的重力加速度。 (1)实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、停表、游标卡尺。除此之外，还需要的器材有______。 A．长度约为1 m的细线 B．长度约为30 cm的细线 C．直径约为2 cm的钢球 D．直径约为2 cm的木球 E．最小刻度为1 cm的直尺 F．最小刻度为1 mm的直尺 (2)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的________。 A．最高点　B．最低点　C．任意位置 (3)用停表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图甲所示，该单摆的周期是T＝________s。(结果保留三位有效数字) (4)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为99.00 cm；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则摆球的直径为________ cm；单摆的摆长为________m。(第2空保留3位有效数字) (5)若用L表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝________。 答案　(1)ACF　(2)B　(3)2.28　(4)2.075　1.00　(5) 解析　(1)为了减小误差，摆线应选择尽量长些的，故A符合题意，B不符合题意；为了减小空气阻力对实验的影响，摆球应选择密度较大的钢球，故C符合题意，D不符合题意；实验中需要测量细线的长度，为了能够更加精确，应选择最小刻度为1 mm的直尺，故E不符合题意，F符合题意，选A、C、F。 (2)当摆球运动至最低点时速度最大，以此作为计时标记位置对时间的测量相对误差最小，故选B。 (3)停表读数为t＝60 s＋7.4 s＝67.4 s，该单摆的周期为T＝≈2.28 s。 (4)摆球的直径为D＝2 cm＋15×0.05 mm＝2.075 cm，摆线长为l＝99.00 cm，所以单摆的摆长为L＝l＋≈1.00 m。 (5)根据单摆周期公式T＝2π，可得g＝。 2．(2023·江苏连云港市阶段练习)某班同学做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)某组同学用刻度尺测量摆线长l(上端点与0对齐)，其示数如图所示，则l＝________cm。 (2)假设在两次不同的实验中分别是摆长和周期的测量值有误差，摆长的测量值比真实值小2%，周期的测量值比真实值大2%，根据单摆周期公式计算重力加速度的大小时，________(选填“摆长”或“周期”)的误差对结果的影响更大。 (3)老师演示一单摆(摆长约为1 m)的振动，各个小组同时测量此单摆完成一次全振动的时间，不同小组测量的数据有2.31 s、1.41 s、1.82 s、1.50 s…，测量结果差别较大，为减小周期测量的误差，请写出你的一条建议________。 答案　(1)50.00　(2)周期　 (3)测量单摆做多次全振动的时间，然后取平均值计算出单摆的周期 解析　(1)刻度尺的分度值为1 mm，根据估读原则，可知摆线长度为l＝50.00 cm (2)由单摆周期公式T＝2π可得 g＝ 摆长的测量值比真实值小2%时，可得 ＝＝0.98 周期的测量值比真实值大2%时，可得 ＝≈0.96 所以周期的误差对结果的影响更大。 (3)测量单摆做多次全振动的时间，然后取平均值算出单摆的周期。 3．在“用单摆测量重力加速度的大小”的实验中。 (1)安装好实验装置后，先用游标卡尺测量摆球直径d，测量的示数如图所示，则摆球直径d＝______ cm，再测量摆线长l，则单摆摆长L＝__________(用d、l表示)； (2)摆球摆动稳定后，当它到达________(填“最低点”或“最高点”)时启动停表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数n(n＝1、2、3…)，当n＝60时刚好停表。停止计时的停表如图所示，其读数为________ s，该单摆的周期为T＝________ s(周期要求保留三位有效数字)； (3)计算重力加速度测量值的表达式为g＝______(用T、L表示)，如果测量值小于真实值，可能原因是________； A．将摆球经过最低点的次数n记少了 B．计时开始时，停表启动稍晚 C．将摆线长当成了摆长 D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长 (4)正确测量不同摆长L及相应的单摆周期T，并在坐标纸上画出T2与L的关系图线，如图所示。由图线算出重力加速度的大小g＝________ m/s2(保留3位有效数字，计算时π2取9.86)。 答案　(1)1.84　＋l　(2)最低点　67.5　2.25　(3)　AC　(4)9.86 解析　(1)摆球直径d＝1.8 cm＋0.1 mm×4＝1.84 cm； 单摆摆长L＝＋l； (2)摆球摆动稳定后，当它到达最低点时启动停表开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数n(n＝1、2、3……)，当n＝60时刚好停表。停止计时的停表读数为67.5 s，该单摆的周期为 T＝＝ s＝2.25 s； (3)根据T＝2π可得计算重力加速度测量值的表达式为g＝ 将摆球经过最低点的次数n记少了，则计算周期T偏大，则g测量值偏小，选项A正确；计时开始时，停表启动稍晚，则周期测量值偏小，则g测量值偏大，选项B错误；将摆线长当成了摆长，则L偏小，则g测量值偏小，选项C正确；将摆线长和球的直径之和当成了摆长，则L偏大，则g测量值偏大，选项D错误。 (4)根据T＝2π可得T2＝L，由图像可知k＝＝＝4，解得g＝9.86 m/s2。 4．(2023·重庆卷·11)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。 (1)用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为________ mm。 (2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为________ m/s2(保留3位有效数字)。 (3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是____________，原因是________________________________________________________________________。 答案　(1)19.20　(2)9.86　(3)随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小　随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的g的差值越小 解析　(1)用游标卡尺测量摆球直径d＝19 mm＋0.02 mm×10＝19.20 mm (2)单摆的摆长为L＝990.1 mm＋×19.20 mm＝999.7 mm 根据T＝2π，可得g＝ 代入数据解得 g＝ m/s2＝9.86 m/s2 (3)由图可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的g的差值越小。 5．(2024·江苏南京航空航天大学苏州附属中学月考)某同学设计了一个用拉力传感器进行“测量重力加速度”并“验证机械能守恒定律”两个实验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图甲所示。 (1)用游标卡尺测出小钢球直径结果如图乙所示，则其直径D＝________ mm； (2)让小钢球以较小的角度(<5°)在竖直平面内摆动，从计算机中得到拉力大小随时间变化的关系图像如图丙，则小钢球摆动的周期为T＝________ s； (3)该同学还测得该单摆的摆线长用L表示，则重力加速度的表达式为g＝______________(用π、T、L、D表示)； (4)将小钢球多次拉离竖直方向一定角度后由静止释放，测得拉力的最小值F1与最大值F2并得到F2－F1图像如图丁，如果小钢球在摆动的过程中机械能守恒，则该图像的图线斜率的绝对值等于________； (5)若实际测得F2－F1图线的斜率与理论值总是存在一定偏差，可能是以下哪种原因________。 A．测量单摆摆长时漏加小钢球半径 B．小钢球初始释放位置不同 C．小钢球摆动角度偏大 D．小钢球摆动过程中存在空气阻力 答案　(1)9.3　(2)2.0　(3)　(4)2　(5)D 解析　(1)直径D＝9 mm＋3×0.1 mm＝9.3 mm。 (2)小钢球在经过最低点时绳上的拉力最大，且一个周期内经过两次最低点，所以小钢球摆动的周期为T＝2×(1.5－0.5) s＝2.0 s (3)由单摆周期公式可知T＝2π， 解得g＝ (4)根据向心力方程以及机械能守恒可知F1－mg＝0，F2－mg＝m，mgh＝mv2，联立解得F2＝3mg－2F1，所以F2－F1图像的图线斜率的绝对值等于2； (5)由以上分析可知，绳长可以约掉，释放高度和角度也在计算过程中约掉，因此，存在误差的原因应该是有阻力做功，机械能不守恒，即存在空气阻力，故A、B、C错误，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $