第一章 微点突破1 追及相遇问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 苏京）

微点突破1　追及相遇问题 目标要求　1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧。2.会在图像中分析追及相遇问题。3.熟练运用运动学公式结合运动学图像解决追及相遇的综合问题。 考点一　追及相遇问题 追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置。追及相遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例。 1．二者距离变化与速度大小的关系 (1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲<v乙，甲、乙间的距离就不断增大。 (2)若v甲＝v乙，甲、乙间的距离保持不变。 (3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲追上乙前，甲、乙间的距离就不断减小。 2．分析思路 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。 (1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者间距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点； (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。 3．常见追及情景 (1)初速度小者追初速度大者：当二者速度相等时，二者间距离最大。 (2)初速度大者追初速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断能否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间距离有最小值。 物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB<xA＋x0，则不能追上。 特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 例1　某一长直的赛道上，一辆赛车前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶。求： (1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小； (2)赛车追上安全车所需的时间及追上时的速度大小； (3)追上之前两车间的最大距离。 答案　(1)6 m/s　(2)20 s　40 m/s　(3)225 m 解析　(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小为 v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s。 (2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得 v0t2＋200 m＝a1t22，解得t2＝20 s 此时赛车的速度大小v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s (3)方法一　物理分析法 当两车速度相等时，两车相距最远 由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间 t3＝＝ s＝5 s 追上之前两车最远相距Δx＝v0t3＋200 m－a1t32＝(10×5＋200－×2×52) m＝225 m。 方法二　二次函数法 Δx＝v0t＋200 m－a1t2＝10t＋200－t2(m) 当t＝ s＝5 s时，Δx有极值，相距最远，将t＝5 s代入解得Δxmax＝225 m。 方法三　图像法 由图像可知，当赛车速度等于安全车速度时，即v0＝a1t＝10 m/s时相距最远，得t＝5 s，Δxmax＝v0t－t＋200 m＝225 m。 拓展　若当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4 m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰，用物理分析法和图像法两种方法解题) 答案　20 s 解析　方法一　物理分析法 假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)，由位移关系得vt4－a2t42＝v0t4 解得t4＝15 s 赛车停下来的时间t′＝＝ s＝10 s 所以t4＝15 s不符合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动 设再经时间t5两车第二次相遇，应满足＝v0t5，解得t5＝20 s。 方法二　图像法 赛车和安全车的v－t图像如图。由图知t＝10 s赛车停下时，安全车的位移小于赛车的位移，由v0t5＝，得t5＝20 s。 例2　(2024·江苏泰州市质量检测)大雾天气，有甲、乙两车在同一平直车道上匀速行驶，甲车在后速度为v1＝14 m/s，乙车在前速度为v2＝10 m/s，某时刻甲车车头与乙车车尾间的距离为L0＝30.5 m，此时乙车突然以大小为a0＝1 m/s2的加速度刹车，经过时间t0甲车车头与乙车车尾间的距离减为L＝14 m，为了避免两车相撞，此时甲车也立即刹车做匀减速直线运动，求： (1)t0的值。 (2)刹车后，甲车做匀减速直线运动的加速度至少多大。 答案　(1)3 s　(2)2.75 m/s2 解析　(1)在t0时间内，甲、乙两车的位移分别为 x1＝v1t0，x2＝v2t0－a0t02 又x1－x2＝L0－L，解得t0＝3 s (2)甲车开始刹车时， 乙车速度为v3＝v2－a0t0＝7 m/s 若甲车刹车后经时间t两车速度相等(均为v)，两车恰好避免相撞，则v＝v1－at，v＝v3－a0t 时间t内甲、乙两车的位移分别为 x3＝v1t－at2，x4＝v3t－a0t2 又x3－x4＝L 联立以上各式解得a＝2.75 m/s2 即甲车刹车的加速度大小至少为2.75 m/s2。 解答追及相遇问题的三种方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，建立物体运动情景图，分析两物体的速度大小关系，利用速度相等时两物体的位置关系，判断能否追上、二者相距最近或最远 函数方程 判断法 (B追A)设经过时间t，二者间的距离Δx＝xB＋x0－xA，假设追上，Δx＝0，方程中Δ＝b2－4ac，Δ<0，追不上；Δ＝0，恰好追上，一解；Δ>0，两解或发生了碰撞；或利用函数极值求解二者间距离的最大值或最小值 图像法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题 考点二　图像中的追及相遇问题 1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。 (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。 2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。 3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析。 例3　(2024·江苏扬州市宝应区检测)入冬以来，雾霾天气频发，发生交通事故的概率比平常高出许多，保证雾霾中行车安全显得尤为重要；在雾霾天气的平直公路上，甲、乙两汽车同向匀速行驶，乙在前，甲在后。某时刻两车司机听到警笛提示，同时开始刹车，结果两车刚好没有发生碰撞。图示为两车刹车后匀减速直线运动的v－t图像，以下分析正确的是(　　) A．两车开始刹车时的距离为87.5 m B．甲刹车的加速度的大小为0.5 m/s2 C．t＝20 s时乙车的速度为5 m/s D．两车都停下来后相距25 m 答案　C 解析　甲车的加速度a1＝＝ m/s2＝－1 m/s2，加速度大小为1 m/s2，两车刚好没有发生碰撞，此时两车速度相等，所经历的时间为20 s，此时甲车的位移为x甲＝v甲0t＋a1t2＝(25×20－×1×400) m＝300 m，乙车的加速度a2＝＝ m/s2＝－0.5 m/s2，此时乙车的位移为x乙＝v乙0t＋a2t2＝(15×20－×0.5×400) m＝200 m，所以两车开始刹车时的距离为s＝x甲－x乙＝100 m，故A、B错误；甲、乙两车在20 s时速度相等，所以v乙＝(15－0.5×20) m/s＝5 m/s，故C正确；根据图像与横轴围成的面积表示位移大小可知，两车都停下来后相距为Δx＝×(30－25)×5 m＝12.5 m，故D错误。 例4　(2024·江苏扬州市江都中学期初检测)假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶。甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s。甲、乙相距x0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图甲、乙所示。取运动方向为正方向。下列说法正确的是(　　) A．t＝3 s时两车相距最近 B．t＝6 s时两车速度不相等 C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m D．两车在0～9 s内会相撞 答案　C 解析　由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积表示0～6 s内两车位移之差，即Δx＝[×30×3＋×30×(6－3)] m＝90 m<x0＝100 m，即两车在t＝6 s时距离最近，最近距离为x0－Δx＝10 m，故A、B错误，C正确；t＝6 s时，两车相距10 m，且甲车在前、乙车在后，在6～9 s内，甲车速度大于乙车速度，两车间距离越来越大，故在0～9 s内，甲车一直在前，两车不会相撞，故D错误。 1．如图甲所示，A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速54 km/h。当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移—时间图像如图乙所示，0～5 s时间内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说法正确的是(　　) A．A车运动的加速度大小为1 m/s2 B．t＝3.5 s时，两车的速度相同 C．A车追上B车的最短时间为7.5 s D．两车相遇两次 答案　B 解析　由匀变速直线运动规律可知 x＝v0t＋at2， 由题图乙可知当t＝2 s时x＝10 m， 当t＝5 s时x＝40 m， 解得v0＝3 m/s，a＝2 m/s2，故A错误； 由题图乙可知B车匀速运动的速度 vB＝ m/s＝10 m/s， 由匀变速直线运动规律可得vA＝v0＋at＝vB， 解得t＝3.5 s，故B正确； A车加速到vmax＝54 km/h＝15 m/s后做匀速运动，追上B车的时间最短， 由vmax＝v0＋at0，可知A车的加速时间t0＝6 s，A车追上B车满足vBt＝v0t0＋at02＋vmax(t－t0)，解得t＝7.2 s，此后A车速度大于B车，不会再相遇，故C、D错误。 2．(2024·江苏南京市六校联合体调研)无线蓝牙耳机可以在一定距离内与手机等设备实现无线连接，已知无线连接的最大距离为10 m。A、B两位同学做了一个有趣实验，A同学佩戴无线蓝牙耳机，B同学携带手机检测。如图甲所示，A、B两位同学同时沿两条相距8 m的平行直线轨道向同一方向运动。其运动的v－t图像如图乙所示，在运动过程中，手机检测到蓝牙耳机能被连接的总时间为(　　) A．2 s B．4 s C．8 s D．13 s 答案　C 解析　已知无线连接的最远距离为10 m，直线轨道相距8 m，手机检测到蓝牙耳机时，A、B同学之间的位移之差最大值为 Δx＝ m＝6 m 根据速度—时间图像可知A做匀速直线运动，B先做匀加速直线运动，根据图像的斜率可知B的加速度为a＝＝1 m/s2 当A的位移大于B的位移且位移差为6 m时，手机开始检测不到蓝牙 Δx＝vAt－at2＝6 m 解得t＝2 s，t′＝6 s 6 s后B开始做匀速直线运动，两者间距离继续减小，当B的位移大于A的位移且位移差为6 m时，B比A多运动12 m，手机将不再能检测到蓝牙 Δx′＝vBt″－vAt″＝12 m 解得t″＝6 s 所以手机检测到蓝牙耳机能被连接的总时间为Δt＝t＋t″＝8 s，故选C。 3.甲、乙两辆5G自动驾驶测试车，在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动，甲车在乙车前，甲车的速度大小v1＝72 km/h，乙车的速度大小v2＝36 km/h，如图所示。当甲、乙两车相距x0＝20 m时，甲车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小a＝2 m/s2，从刹车时开始计时，两车均可看作质点。求： (1)两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离Δx； (2)从甲车开始减速到两车并排所用时间t。 答案　(1)45 m　(2)12 s 解析　(1)当两车速度相等时，两者的距离最大，设经过时间t1两者速度相等，由 v1＝72 km/h＝20 m/s， v2＝36 km/h＝10 m/s 则v1－at1＝v2 解得t1＝5 s 在t1时间内甲车位移为 x1＝t1＝×5 m＝75 m 乙车位移为x2＝v2t1＝10×5 m＝50 m 两车并排行驶之前，两者在运动方向上的最远距离 Δx＝x0＋x1－x2＝20 m＋75 m－50 m＝45 m (2)设经过时间t2甲车停下来， 根据运动学公式可得 t2＝＝ s＝10 s 在t2时间内，甲车的位移 x1′＝t2＝×10 m＝100 m 乙车的位移为x2′＝v2t2＝10×10 m＝100 m 说明甲车速度减小到零时，甲、乙两车还相距20 m，到两车并排乙车再运动的时间为 t3＝＝ s＝2 s 所以从甲车开始减速到两车并排所用时间 t＝t2＋t3＝12 s。 学科网（北京）股份有限公司 $