第四章 第5课时 专题强化：圆周运动的临界问题（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 苏京）

第5课时　专题强化：圆周运动的临界问题 目标要求　会分析水平面内、竖直面内和斜面上圆周运动的临界问题。 考点一　水平面内圆周运动的临界问题 1．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 2．与弹力有关的临界极值问题 (1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 例1　如图所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是(　　) A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力 B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑 D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2 答案　D 解析　汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；汽车转弯的速度为20 m/s时，根据Fn＝m，得所需的向心力为1.0×104 N，没有超过最大静摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为am＝＝7.0 m/s2，D正确。 例2　如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是(　　) A．a一定比b先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg 答案　C 解析　小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a有Ffa＝mωa2l，当Ffa＝kmg时，kmg＝mωa2l，ωa＝；对木块b有Ffb＝mωb2×2l，当Ffb＝kmg时，kmg＝mωb2×2l，ωb＝，则ω＝是b开始滑动的临界角速度，即b比a先开始滑动，选项A错误，C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2×2l，Ffa<Ffb，选项B错误；ω＝<ωa＝，a没有滑动，则Ffa′＝mω2l＝kmg，选项D错误。 拓展　如图所示，若在a、b之间拴一根轻绳，当轻绳恰好出现弹力时，角速度多大？当a、b开始滑动时，角速度多大，此时剪断轻绳，分析a、b各做什么运动？ 答案　若没有轻绳时，b先滑动，b开始滑动时，a、b距离增大，此时若有轻绳，绳发生形变，开始有弹力，即ω＝时，轻绳开始有弹力；当a、b恰好开始滑动时，对b有kmg＋FT＝mω2×2l，对a有kmg－FT＝mω2·l，解得ω＝，此时剪断轻绳，b做离心运动，a仍和圆盘保持相对静止。 例3　(2024·江苏无锡市南菁中学质监)如图所示，质量均为m的物块A、B放在水平转盘上，两物块到转轴的距离均为r，与转盘之间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A、B分别用细绳系于转盘转轴上的O1、O2点，细绳都刚好拉直。现缓慢增大转盘的转速，重力加速度为g。 (1)求O1A绳即将出现张力时转盘的角速度ω； (2)通过计算说明谁先脱离转盘。 答案　(1)　(2)见解析 解析　(1)当物块A所受静摩擦力最大时，O1A绳即将出现张力，对A有μmg＝mω2r 解得ω＝ (2)设细绳与竖直方向的夹角为α，当转盘对物块支持力恰好为零时，竖直方向FTcos α＝mg，水平方向FTsin α＝mωm2r，联立解得ωm＝，由上式可知，由于O1A绳与竖直方向的夹角较小，所以物块A先脱离转盘。 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各物理量的变化，找出临界状态。 考点二　竖直面内圆周运动的临界问题 1．竖直面内圆周运动的两类模型 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 小球最高点没有支撑 小球最高点有支撑 最高点受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 最高点受力示意图 动力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m 临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ ①恰好过最高点，v＝0，F弹＝mg ②恰好无弹力，F弹＝0，v＝ 过最高点的条件 在最高点的速度v≥ 在最高点的速度v≥0 2.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程； (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系； (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 例4　如图所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，且可视为质点，g取10 m/s2。 (1)求小球刚好通过最高点时的速度大小v1； (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，求绳的拉力大小FT； (3)若轻绳能承受的最大张力为FT′＝45 N，求小球速度的最大值。 答案　(1)2 m/s　(2)15 N　(3)4 m/s 解析　(1)小球刚好通过最高点时，小球的重力恰好提供向心力，有mg＝m 解得v1＝＝2 m/s。 (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s，绳的拉力和小球的重力的合力提供向心力，有 FT＋mg＝m 解得FT＝15 N。 (3)分析可知小球通过最低点时绳的张力最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝ 解得v3＝4 m/s。 例5　(2023·江苏省泰州中学调研)如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)。小球A、B的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零，则B球的速度大小vB为(取g＝10 m/s2)(　　) A．2 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．8 m/s 答案　B 解析　对A球，合外力提供向心力，设管对A的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝mA，代入数据解得FA＝28 N，由牛顿第三定律可得，A球对管的力竖直向下，为28 N，设B球对管的力为FB′，由平衡条件可得FB′＋28 N＋m管g＝0，解得FB′＝－44 N，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，管对B球的力FB为44 N，方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有FB＋mBg＝mB，解得vB＝4 m/s，故选B。 分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路 考点三　斜面上圆周运动的临界问题 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等。 物体在转动过程中，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ－mgsin θ＝mω2R。 例6　(2024·江苏省南京航空航天大学附属高级中学期中改编)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面与水平面的夹角为37°，盘面上离转轴距离1.0 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，小物体的质量为1.0 kg，小物体与盘面间的动摩擦因数为0.8(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)。则当ω达到最大值时，小物体运动到最高点时所受摩擦力的大小为(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　) A．5.6 N B．6.0 N C．6.4 N D．8.0 N 答案　A 解析　经分析，当物体运动到最低点时，摩擦力达到最大值，角速度达到最大值，根据牛顿第二定律得μmgcos 37°－mgsin 37°＝mrωm2 在最高点，根据牛顿第二定律得Ff＋mgsin 37°＝mrωm2， 联立以上两式并代入数据得Ff＝－5.6 N，故选A。 课时精练 1．一汽车通过拱形桥顶时速度为10 m/s，车对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在该桥顶对桥面恰好没有压力，车速为(　　) A．15 m/s B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s 答案　B 解析　当FN′＝FN＝G时，因为G－FN′＝m，所以G＝m；当FN＝0时，G＝m，所以v′＝2v＝20 m/s，选项B正确。 2.(2024·江苏省淮阴中学、姜堰中学等三校联考)如图，一辆汽车以速率v0行驶在某公路的圆弧弯道处，汽车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势。则在该弯道处(　　) A．路面内、外侧可能一样高 B．若车速低于v0，汽车一定会向内侧滑动 C．若车速高于v0，汽车一定会向外侧滑动 D．当路面结冰时，与未结冰相比，v0的值不变 答案　D 解析　汽车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，即重力和支持力的合力提供汽车转弯的向心力，由此可知，路面外侧高于路面内侧，A错误；当车速小于v0时，重力、支持力和指向道路外侧的摩擦力的合力可以提供向心力时，汽车便不会向内侧滑动，B错误；当车速大于v0时，重力和支持力的合力将不足以提供向心力，若此时车速不超出某一最高限度，重力、支持力和指向道路内侧的摩擦力的合力可以提供向心力时，汽车便不会向外侧滑动，C错误；设弯道圆弧半径为R，路面倾角为θ，由牛顿第二定律有mgtan θ＝m，解得v0＝，由上式可知，v0的值与路面是否结冰无关，D正确。 3.如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则(　　) A．小球受重力、支持力、拉力和向心力 B．当ω＝2.5 rad/s时，小球对锥体的压力为零 C．当ω＝ rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零 D．当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用 答案　C 解析　角速度较小时，小球紧贴锥体，则FTcos θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－FNcos θ＝mω2lsin θ，随着角速度的增加，FT增大，FN减小，当角速度ω达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtan θ＝mω02lsin θ，解得ω0＝ rad/s，A、B错误，C正确；当ω＝2 rad/s时，小球已经离开锥体，小球受重力和拉力的作用，D错误。 4．(2023·江苏省苏北七市检测)无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径R，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上 B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同 C．管状模型转动的角速度ω最大为 D．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力 答案　D 解析　铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力沿半径方向的合力提供向心力，故A错误；模型最下部受到的铁水的作用力最大，最上部受到的作用力最小，故B错误；若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力，则有mg＝mω2R，可得ω＝，即管状模型转动的角速度ω最小为，故C错误，D正确。 5.(2023·江苏省前黄高级中学检测)如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B及物体C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物体A、B、C均可视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．B对A的摩擦力一定为3μmg B．B对A的摩擦力一定为3mω2r C．转台的角速度需要满足ω≤ D．若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体 答案　B 解析　由于物体A、B及物体C能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，由静摩擦力提供向心力，则B对A的摩擦力一定为FfA＝3mω2r，又有0<FfA≤Ffmax＝3μmg，由于角速度大小不确定，B对A的摩擦力不一定达到最大静摩擦力3μmg，A错误，B正确；若物体A达到最大静摩擦力，则3μmg＝3mω12r，解得ω1＝，若物体B达到最大静摩擦力，对A、B整体有5μmg＝5mω22r，解得ω2＝，若物体C达到最大静摩擦力，则μmg＝mω32×1.5r，解得ω3＝，可知ω1＝ω2>ω3，由于物体A、B及物体C均随转台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足ω≤ω3＝，该分析表明，当角速度逐渐增大时，物体C所受摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是C物体，C、D错误。 6．(2024·江苏扬州市江都中学初检)如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，mA＝4 kg，mB＝1 kg，它们分别位于圆心两侧，与圆心距离为rA＝0.1 m，rB＝0.2 m，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，g＝10 m/s2，以下说法正确的是(　　) A．A的摩擦力先达到最大 B．当ω＝ rad/s，细线开始出现张力 C．当ω＝ rad/s，A、B两物体出现相对滑动 D．当ω＝ rad/s，A、B两物体出现相对滑动 答案　D 解析　A达到最大静摩擦力时的临界角速度满足μmAg＝mAω0A2rA，解得ω0A＝2 rad/s，同理可得B达到最大静摩擦力时的临界角速度为ω0B＝ rad/s，则当圆盘转动的速度逐渐变大时，B先达到临界角速度，则B的摩擦力先达到最大，选项A错误；当B的摩擦力达到最大时，转速再增加时，细线出现张力，即当ω＝ rad/s时，细线开始出现张力，选项B错误；当A、B两物体出现相对滑动时，B所受摩擦力方向背离圆心，A所受摩擦力方向指向圆心，则对A，FT＋μmAg＝mAω2rA，对B，FT－μmBg＝mBω2rB，解得ω＝ rad/s，选项C错误，D正确。 7.如图所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B(均可视为质点)，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时(　　) A．球B的速度为零 B．球A的速度大小为 C．水平转轴对杆的作用力大小为1.5mg D．水平转轴对杆的作用力大小为2.5mg 答案　C 解析　球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即仅重力提供向心力，则有mg＝m，解得vB＝，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和杆的弹力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得F＝1.5mg，由牛顿第三定律可知杆受到A球的弹力大小为1.5mg，则水平转轴对杆的作用力大小为1.5mg，故C正确，D错误。 8．(2024·江苏启东市校考)如图所示，竖直面内的圆形管道半径R远大于横截面的半径，有一小球直径比管横截面直径略小，在管道内做圆周运动。小球过最高点时，小球对管壁的弹力大小用F表示、速度大小用v表示，当小球以不同速度经过管道最高点时，其F－v2图像如图所示。则(　　) A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．v2＝b时，小球对管壁的弹力方向竖直向下 D．v2＝3b时，小球受到的弹力大小是重力大小的5倍 答案　D 解析　在最高点，若v＝0，则F＝mg＝c 若F＝0，重力提供向心力，则mg＝m＝m 解得g＝，m＝，故A、B错误； 若F＝0，有v2＝a，则v2＝b时，小球所受的弹力方向竖直向下，所以小球对管壁的弹力方向竖直向上，故C错误； 当v2＝b时，根据mg＋F＝m，F＝c＝mg， 解得b＝2gR 当v2＝3b时，根据mg＋F′＝m，解得F′＝5mg，故D正确。 9．(2024·江苏省靖江中学、华罗庚中学段考)有一种被称为“魔力陀螺”的玩具如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，它可等效为一质点在圆轨道外侧运动模型，如图乙所示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A 、B两点分别为轨道的最高点与最低点。质量为m的质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F＝7mg，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。求： (1)当质点以速率v＝通过A点时，对轨道的压力大小； (2)为确保质点做完整的圆周运动，质点通过B 点的最大速率。 答案　(1)7mg　(2) 解析　(1)质点在A点，根据牛顿第二定律有F＋mg－FN＝m，解得FN＝7mg 根据牛顿第三定律有FN′＝FN＝7mg (2)当FNB＝0时，质点通过B点的速率最大，有F－mg＝m 解得vB＝。 学科网（北京）股份有限公司 $