第八章 第2课时 实验九：用单摆测量重力加速度（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 广东专用）

第2课时　实验九：用单摆测量重力加速度 目标要求　1.掌握利用单摆测量重力加速度的原理和方法。2.知道误差产生的原因及减小误差的方法。 1．实验原理 当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。 2．实验器材 铁架台、单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表。 3．实验过程 (1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆。 (2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示。 (3)用毫米刻度尺量出摆线长度l0，用游标卡尺测出金属小球的直径d，计算出摆长l＝l0＋。 (4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(小于5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t(设全振动次数为n)，计算出单摆的振动周期T。 (5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度。 (6)改变摆长，重做几次实验。 4．数据处理 (1)公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度。 (2)图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。 5．误差分析 系统误差：本实验的系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等等。 偶然误差：本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。 6．注意事项 (1)一般选用一米左右的细线。 (2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。 (3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。 (4)单摆必须在同一竖直平面内振动，且摆角小于5°。 (5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。 考点一　实验技能储备 例1　(2023·新课标卷·23)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________ mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________ mm，则摆球的直径为________ mm。 (2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。 (3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________ cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________ s，该小组测得的重力加速度大小为________ m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870) 答案　(1)0.006(0.007也可)　20.035(20.034、20.036均可)　20.029(20.027、20.028、20.030均可)　(2)大于　(3)82.5　1.82　9.83 解析　(1)题图(a)读数为0＋0.6×0.01 mm＝0.006 mm(0.007 mm也可)； 题图(b)读数为20 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm(20.034 mm、20.036 mm均可)； 则摆球的直径为20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm(20.027 mm、20.028 mm、20.030 mm均可) (2)若角度盘上移则形成如图所示图样，则实际摆角大于5°。 (3)摆长＝摆线长度＋半径，代入数据计算可得摆长为82.5 cm； 小球从第1次到61次经过最低点经过了30个周期，则T＝ s＝1.82 s 根据单摆周期公式T＝2π，可得g＝≈9.83 m/s2。 例2　(2024·广东东莞市联考)利用单摆可以测量当地的重力加速度。如图甲所示，将细线的上端固定在铁架台上，下端系一小球，做成单摆。 (1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有______。 A．摆线要选择较细、伸缩性较小，并且线尽可能短一些 B．摆球尽量选择质量较大、体积较小的 C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，摆线相对平衡位置的偏角越大越好 D．为减小误差可记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期 T＝ (2)悬挂后，用米尺测量悬点到小球上端摆线的长度L，将小球拉离平衡位置一个小角度，由静止释放小球，稳定后小球在某次经过平衡位置时开始计时，并计数为0，此后小球每摆到平衡位置时，计数一次，依次计数为1、2、3……，当数到50时，停止计时，测得时间为t，计算出单摆周期 T。测量出多组单摆的摆长 L 和运动周期 T，作出 T2－L 图像，如图乙所示。造成图线不过坐标原点的原因可能是__________________________________。 (3)由图乙求出重力加速度g＝__________ m/s2。(取π2＝10，结果保留两位有效数字) (4)图乙中图线不过原点，________(选填“会”或“不会”)影响重力加速度的测量。 答案　(1)BD　(2)计算摆长时没有考虑小球半径　(3)9.5　(4)不会 解析　(1)摆线要选择较细(尽可能减小空气阻力对实验的影响)、伸缩性较小(确保摆球摆动时摆长几乎不变)、且尽可能长一些的(减小摆长测量的相对误差)，故A错误； 为了尽可能减小空气阻力对实验的影响，摆球尽量选择质量较大、体积较小的，故B正确； 只有摆线相对平衡位置的偏角在很小的情况下(通常小于5°)，单摆才做简谐运动，进而才能根据周期公式测量重力加速度，故C错误； 为减小偶然误差可以记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝，故D正确。 (2)根据单摆周期公式T＝2π变形可得T2＝， 所以理论上T2－L图像是一条过坐标原点的直线，题给图像相对于理论图像，在相同周期下，所测摆长比实际值偏小，则原因可能是测摆长时没有加上小球半径。 (3)根据单摆周期公式可得T＝2π 整理得T2＝L＋ 图线斜率为＝ s2/m＝4.2 s2/m 解得g≈9.5 m/s2。 (4)虽然测摆长时漏加了小球半径造成图线不过原点，但根据(3)中所求T2关于L的表达式可知该过失不影响所作图线的斜率，不会影响重力加速度的测量。 考点二　探索创新实验 例3　(2024·广东深圳市罗湖外语学校期末)某同学用图甲所示的装置研究单摆运动的规律，让摆球在竖直平面内做摆动，摆角小于5°，g＝10 m/s2。用力传感器得到细线对摆球拉力F的大小随时间t变化的图线如图乙所示，且从最低点开始为计时起点，由图乙中所给的数据结合力学规律可得： (1)该同学先用游标卡尺测量小球的直径如图丙所示，其读数为__________ cm； (2)由图像得该单摆的运动周期T＝__________ s，摆长________ m；(π2取 10，结果均保留两位有效数字) (3)细线对摆球拉力F能否看作回复力？说明理由________。 答案　(1)1.570　(2)2.0　1.0　(3)不可以，因为回复力总指向平衡位置，绳子的拉力指向圆心。 解析　(1)游标卡尺的精度为0.05 mm，故其读数为 d＝15 mm＋14×0.05 mm＝15.70 mm＝1.570 cm (2)由题图乙可知，根据回复力变化的规律的判断单摆的周期为T＝2.0 s 根据单摆的周期公式T＝2π 可知l＝＝1.0 m (3)不可以，因为回复力总指向平衡位置，绳子的拉力指向圆心。 例4　(2023·湖南卷·11)某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图(a)所示，轻质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下： (1)测出钩码和小磁铁的总质量m； (2)在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期； (3)某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图(b)所示，从图中可以算出弹簧振子振动周期T＝________(用“t0”表示)； (4)改变钩码质量，重复上述步骤； (5)实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是________(填“线性的”或“非线性的”)； m/kg 10T/s T/s T2/s2 0.015 2.43 0.243 0.059 0.025 3.14 0.314 0.099 0.035 3.72 0.372 0.138 0.045 4.22 0.422 0.178 0.055 4.66 0.466 0.217 (6)设弹簧的劲度系数为k，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能是________________(填正确答案标号)； A．2π B．2π C．2π D．2πk (7)除偶然误差外，写出一条本实验中可能产生误差的原因：________________________________________________________________________。 答案　 (3) 　(5)线性的　(6)A　(7)见解析 解析　(3)由题图(b)可知弹簧振子振动周期T＝； (5)分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的比值接近常量3.94，则弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是线性的； (6)因2π的单位为＝＝s 因为s(秒)为周期的单位，则其他各项单位都不是周期的单位，故选A； (7)除偶然误差外，钩码振动过程中受空气阻力的影响可能会使本实验产生误差。 课时精练 1.(2023·广东深圳市福田区福田中学阶段测试)小红在滑板运动场地看到一个圆弧形轨道，其截面如图，她想用一辆滑板车和手机来估测轨道半径R(滑板车的长度远小于轨道半径)。 主要实验过程如下： (1)用手机查得当地的重力加速度g； (2)找出轨道的最低点O，把滑板车从O点移开一小段距离至P点，由静止释放，用手机的秒表测出它完成n次全振动的时间t，算出滑板车做往复运动的周期T＝__________； (3)将滑板车的运动视为简谐运动，则可将以上测量结果代入公式R＝__________(用t、n、g表示)从而计算出圆弧形轨道的半径。 答案　(2)　(3) 解析　(2)滑板车做往复运动的周期为T＝ (3)根据单摆的周期公式T＝2π，得R＝＝。 2.(2024·广东河源市检测)小明学习“用单摆测量重力加速度”实验后，利用甲图装置做了该实验。 (1)测量摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为L，再用游标卡尺测得摆球的直径，读数如乙图所示，则d＝__________ cm，若再测得单摆周期为T，则当地的重力加速度g＝__________(用π、L、d、T表示)。 (2)在安装装置时，摆线上端有三种系挂方式，下列方式哪种是正确的___________(填对应序号)。 (3)在测量周期时，若从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆周期为T＝__________(用n、t表示)。 (4)假如把该装置搬到月球上进行实验，改变单摆的摆长l，多次测量单摆在不同摆长下所对应的周期T，并描绘出T2－l图像如丙图所示，则可得知月球重力加速度大小为__________ m/s2。 答案　(1)2.150　　(2)③　(3)　(4)1.6 解析　(1)游标卡尺的读数为主尺的读数与游标尺读数之和，所以d＝21 mm＋0.05×10 mm＝2.150 cm。 根据周期公式T＝2π，可得g＝＝。 (2)为防止摆球摇摆及实验过程摆长变化，应该用夹子固定摆线悬点。故选③。 (3)从摆球运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t，则单摆全振动的次数为N＝，则单摆的周期为T＝＝。 (4)根据单摆周期公式T＝2π，可得T2＝l 由图像可知k＝＝，可得g月＝1.6 m/s2。 3．现代智能手机自带了许多传感器，利用智能手机的软件能够采集传感器记录的数据。某同学在家根据软件界面提示的原始传感器，给出了2种测量重力加速度的方案： 方案1：使用“含(g)的加速度”模块，令手机静置在桌面上20 s，直接读出重力加速度(图甲)； 方案2：使用“摆”功能，该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺，长度为100厘米左右的细线和一把铁锁，制成一个单摆，于小角度释放。输入摆长后，利用手机读取周期，手机将计算出重力加速度(图乙)。 回答下列相关问题： (1)根据方案2，可知手机计算重力加速度g的表达式为g＝____________(用π、T、L表示)。 (2)与方案1测得的重力加速度g相比，方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差，产生误差的主要原因为________。 A．铁锁的重心不方便确定，所以摆长不准 B．测量摆长的刻度尺量程太小，测摆长时多次移动产生了一定的误差 C．铁锁质量过大，导致g测量误差较大 (3)方案2测得的重力加速度g结果误差较大，该同学想到一个修正方案：实验时，可以在细线上的A点做一个标记，使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程；保持该标记以下的细线长度不变，通过改变O、A间细线长度以改变摆长，当O、A间细线长度分别为L1、L2时，测得相应单摆的周期分别为T1、T2，由此可测得重力加速度g的数值，此方案计算g的表达式为________(其中L2>L1)。 A．g＝ B．g＝ C．g＝ D．g＝ 答案　(1)　(2)AB　(3)A 解析　(1)根据单摆周期公式T＝2π，得重力加速度g的表达式为g＝。 (2)方案2测得的重力加速度g结果有一定的误差，产生误差的主要原因有铁锁的重心不方便确定，所以摆长不准；方案2是用长度为100厘米左右的细线和一把铁锁制成一个单摆，而该同学找到一把量程为30 cm的刻度尺，所以测量摆长的刻度尺量程太小，会导致测摆长时多次移动产生了一定的误差，故选A、B。 (3)当O、A间细线长度分别为L1、L2时，测得相应单摆的周期分别为T1，T2，设A点到铁锁重心的距离为l，根据T＝2π，可得T1＝2π，T2＝2π，可解得g＝，故选A。 4．(2023·重庆卷·11)某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。 (1)用游标卡尺测量摆球直径d。当测量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为________ mm。 (2)用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1 mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为________ m/s2(保留3位有效数字)。 (3)改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l＋作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图丙所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是______________________________，原因是_______________________________。 答案　(1)19.20　(2)9.86　(3)Δg逐渐减小　随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的Δg越小 解析　(1)摆球直径d＝19 mm＋0.02×10 mm＝19.20 mm； (2)单摆的摆长为L＝990.1 mm＋×19.20 mm＝999.7 mm，根据T＝2π，可得g＝，代入数据得g＝ m/s2≈9.86 m/s2； (3)由题图丙可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则l＋越接近于l，此时计算得到的Δg越小。 5．某同学设计了一个用拉力传感器进行“测量重力加速度”和“验证机械能守恒定律”两个实验的装置。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器，另一端连接小钢球，如图甲所示。 (1)用游标卡尺测出小铁球直径结果如图乙所示。则其直径D＝________ mm； (2)让小钢球以较小的角度在竖直平面内摆动，从计算机中得到拉力大小随时间变化的关系图像如图丙，则小球摆动的周期为T＝________ s； (3)该同学还测得该单摆的摆线长用L表示，则重力加速度的表达式为g＝__________________(用π、T、L、D表示)； (4)将摆球多次拉离竖直方向一定角度(<5°)后由静止释放，测得拉力的最小值F1与最大值F2并得到F2－F1图像如图丁，如果小球在摆动的过程中机械能守恒，则该图像的图线斜率的绝对值等于________； (5)若实际测得F2－F1图线的斜率与理论值总是存在一定偏差，可能是以下哪种原因________。 A．测量单摆摆长时漏加小钢球半径 B．小钢球初始释放位置不同 C．小钢球摆动角度偏大 D．小钢球摆动过程中存在空气阻力 答案　(1)9.3　(2)2.0　(3)　(4)2　(5)D 解析　(1)读数为9 mm＋3×0.1 mm＝9.3 mm； (2)小球在经过最低点时绳上的拉力最大，且一个周期内经过两次最低点，所以小球做单摆运动的周期为T＝2×(1.5－0.5) s＝2.0 s； (3)由单摆周期公式可知T＝2π， 解得g＝； (4)根据向心力公式以及机械能守恒可知F1－mg＝0，F2－mg＝m，mgh＝mv2 ，联立解得F2＝3mg－2F1，所以图像的图线斜率的绝对值应为2； (5)由以上分析可知，F2－F1图线的斜率与摆长、摆角和释放位置均无关，因此，存在误差的原因应该是有阻力做功，机械能不守恒，即存在空气阻力，故A、B、C错误，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $