第六章 第4课时 机械能守恒定律及其应用（教师用书word）-【步步高】2025年高考物理大一轮复习讲义（人教版 广东专用）

第4课时　机械能守恒定律及其应用 目标要求　1.知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容。2.会用机械能守恒定律解决单个物体的机械能守恒问题。3.会分析解答绳和杆连接的系统机械能守恒问题。 考点一　机械能守恒的判断 1．重力做功与重力势能 (1)重力做功的特点：重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，重力做功不引起物体机械能的变化。 (2)重力势能 ①表达式：Ep＝mgh。 ②重力势能的特点：重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 (3)重力做功与重力势能变化的关系：重力对物体做正功，重力势能减小，重力对物体做负功，重力势能增大，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。 2．弹性势能 (1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。 (2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。即W＝－ΔEp。 3．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的系统内，动能与势能可以发生转化，而系统的机械能总量保持不变。 (2)表达式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。 (3)守恒条件：只有重力或弹力做功。 1．物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。(　×　) 2．物体做匀速直线运动，其机械能一定守恒。(　×　) 3．物体的速度增大时，其机械能可能减小。(　√　) 例1　(多选)如图所示，将一个内、外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　) A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功 B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒 C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒 D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒 答案　BC 解析　当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中，小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确。 机械能是否守恒的三种判断方法 1．利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒。 2．利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或者虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒。 3．利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。 考点二　单个物体的机械能守恒问题 1．机械能守恒定律的表达式 说明：对单个物体应用机械能守恒定律时选用守恒观点或转化观点进行列式。 2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤 例2　(2024·广东深圳市联考)如图所示为运动员斜向上掷出铅球的简化图，设铅球质量为m，抛出初速度为v0，铅球抛出点距离地面的高度为h，铅球的最大离地高度为H，以抛出点所在水平面为参考平面，若空气阻力不计，重力加速度为g，则(　　) A．铅球在运动过程中动能越来越大 B．铅球在运动过程中重力势能越来越大 C．铅球落地时的机械能为mv02 D．铅球在轨迹最高处的机械能为mv02＋mgh 答案　C 解析　铅球所受重力即为其合力，铅球上升过程，重力做负功，铅球动能减小，重力势能增大；铅球下降过程，重力做正功，铅球动能增大，重力势能减小，可知铅球在运动过程中动能先减小后增大，重力势能先增大后减小，故A、B错误； 铅球运动过程中，只有重力做功，铅球的机械能守恒，可知若以抛出点所在水平面为参考平面，铅球落地时的机械能为mv02，故C正确； 根据机械能守恒定律知，铅球在轨迹最高处的机械能为mv02，故D错误。 例3　(2022·全国乙卷·16)固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于(　　) A．它滑过的弧长 B．它下降的高度 C．它到P点的距离 D．它与P点的连线扫过的面积 答案　C 解析　如图所示， 设小环下降的高度为h，大圆环的半径为R，小环到P点的距离为L，根据机械能守恒定律得mgh＝mv2，由几何关系可得h＝Lsin θ，sin θ＝，联立可得h＝，则v＝L，故C正确，A、B、D错误． 考点三　绳、杆连接的系统机械能守恒问题 1．解决多物体系统机械能守恒的注意点 (1)对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 2．几种实际情景的分析 (1)速率相等情景 注意分析各个物体在竖直方向的高度变化。 (2)角速度相等情景 ①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ②由v＝ωr知，v与r成正比。 (3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景) 两物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等。 思考　以上各图中，轻绳(或轻杆)对A、B物体均做功，系统机械能为何仍守恒？ 答案　轻绳(或轻杆)对A、B的力属于系统内力，做功使机械能在A、B之间转移，单个物体机械能不守恒，但系统机械能守恒。 例4　如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，当轻绳刚好被拉紧后，B球离地面的高度为h，A球静止于地面。定滑轮的质量及滑轮与绳间的摩擦力不计，重力加速度为g，释放B球，当B球刚落地时，A球的速度大小为，则A球与B球的质量之比为(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 答案　B 解析　B球下落的过程中，由A、B两球及绳子组成的系统机械能守恒，则有mBgh－mAgh＝(mA＋mB)v2，解得＝，故选B。 拓展　若细绳质量不可忽略，如图所示，总长为l、质量为m的均匀软绳对称地挂在轻质小滑轮上，用细线将质量也为m的物块与软绳一端连接。现将物块由静止释放，直到软绳刚好全部离开滑轮。不计一切摩擦及滑轮的大小，重力加速度为g，在软绳从静止到刚离开滑轮的过程中，物块和软绳的机械能各改变多少？ 答案　物块的机械能减少了mgl，软绳的机械能增加了mgl 解析　设软绳刚离开滑轮的时候，物块和软绳的速度为v，根据机械能守恒定律有 mg·＋·＝×2m·v2， 可得v＝， 则物块机械能的减少量为 E减＝mg·－mv2＝mgl， 系统的机械能是守恒的，由于物块的机械能减少了mgl， 所以软绳的机械能增加了mgl。 例5　(多选)如图所示，质量均为m的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，重力加速度为g。在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是(　　) A．物块B的机械能的减少量大于物块A的重力势能的增加量 B．物块B的重力势能减少量为mgLtan θ C．物块A的速度大于物块B的速度 D．物块B的末速度为 答案　ABD 解析　在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ时，物块B下降的高度为h＝Ltan θ，则B重力势能减少量为ΔEpB＝mgLtan θ，故B正确；物块A沿斜面上升的距离为s＝－L，设此时物块A的速度为vA，物块B的速度为vB，A、B组成的系统运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，所以物块B的机械能减少量等于物块A的机械能增加量，有mgLtan θ－mvB2＝mvA2＋mgssin θ，A物块沿斜面上升时动能和势能都增加，故A正确；将物块B的速度分解为沿绳方向的速度和垂直绳方向的速度，则vA＝v绳＝vBsin θ，则物块A的速度小于物块B的速度，故C错误；联立以上各式可得vB＝，故D正确。 例6　(多选)如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B分别固定一质量为m、2m的小球，杆可绕光滑的轴O转动，将杆从水平位置由静止释放。重力加速度大小为g，两球均视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　) A．当杆转到竖直位置时，两球的速度大小相等 B．当杆转到竖直位置时，B处球的速度大小为 C．杆在转动的过程中，A处球的机械能守恒 D．杆从水平位置转到竖直位置的过程中，杆对B处球做的功为mgL 答案　BD 解析　两球属于同轴转动，角速度相等，根据v＝ωr，由于两球做圆周运动的半径不同，可知，当杆转到竖直位置时，两球的速度大小不相等，A错误； 在杆转到竖直位置过程有mg＋2mgL＝m(ω)2＋×2m(ωL)2，此时B处球的速度大小vB＝ωL，解得vB＝，B正确； 杆从水平位置转到竖直位置的过程中，设杆对B处球做的功为W，则有2mgL＋W＝×2mvB2，解得W＝mgL，D正确； 根据上述，杆对B处球做正功，则B处球的机械能增大，由于两球构成的系统只有重力势能与动能的转化，即两球构成的系统机械能守恒，可知A处球的机械能减小，即杆在转动的过程中，A处球的机械能不守恒，C错误。 1．先判断系统机械能是否守恒。 2．再确定两物体是角速度相等还是沿杆方向的分速度相等，然后列出两物体速度间的关系式。 3．分析两物体动能和势能变化情况，根据ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB列式求解。 课时精练 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　) A．甲图中，在火箭升空的过程中，若火箭匀速升空，则机械能守恒，若火箭加速升空，则机械能不守恒 B．乙图中的物体匀速运动，机械能守恒 C．丙图中的小球做匀速圆周运动，机械能守恒 D．丁图中的弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动，机械能守恒 答案　CD 解析　甲图中，不论是匀速升空还是加速升空，由于推力都对火箭做正功，所以火箭的机械能都增加，故A错误；物体匀速上升，动能不变，重力势能增加，则机械能增加，故B错误；小球在做匀速圆周运动的过程中，细线的拉力不做功，机械能守恒，故C正确；弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动，只有重力做功，所以弹丸的机械能守恒，故D正确。 2.(2024·广东化州市第一中学月考)如图所示，将一质量为m的小球从A点以初速度v斜向上抛出，小球先后经过B、C两点。已知B、C之间的竖直高度和C、A之间的竖直高度都为h，重力加速度为g，取A点所在的平面为参考平面，不计空气阻力，则(　　) A．小球在B点的机械能是C点机械能的两倍 B．小球在B点的动能是C点动能的两倍 C．小球在B点的动能为mv2＋2mgh D．小球在C点的动能为mv2－mgh 答案　D 解析　不计空气阻力，小球在斜上抛运动过程中只受重力作用，运动过程中小球的机械能守恒，则小球在B点的机械能等于在C点的机械能，A错误； 小球在B点的重力势能大于在C点的重力势能，根据机械能守恒定律知，小球在B点的动能小于在C点的动能，B错误； 小球由A到B过程中，根据机械能守恒定律有mg·2h＋EkB＝mv2，解得小球在B点的动能为EkB＝mv2－2mgh，C错误； 小球由B到C过程中，根据机械能守恒定律有mg·2h＋EkB＝mgh＋EkC，解得小球在C点的动能为EkC＝EkB＋mgh＝mv2－mgh，D正确。 3.(多选)如图所示，一物体从光滑斜面AB底端A点以初速度v上滑，沿斜面上升的最大高度为h。下列说法中正确的是(设下列情境中物体从A点上滑的初速度仍为v)(　　) A．若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后上升的最大高度仍为h B．若把斜面AB变成曲面AEB，物体沿此曲面上升仍能到达B点 C．若把斜面弯成如图中的圆弧形D，物体仍沿圆弧上升h D．若把斜面从C点以上部分弯成与C点相切的圆弧状，物体上升的最大高度有可能仍为h 答案　BD 解析　若把斜面CB部分截去，物体冲过C点后做斜抛运动，斜抛运动的最高点有水平分速度，速度不为零，由物体机械能守恒可知，不能到达h高处，故A错误；若把斜面AB变成曲面AEB，物体在最高点速度为零，根据机械能守恒定律，物体沿此曲面上升仍能到达B点，故B正确；若把斜面弯成圆弧形D，如果能到圆弧最高点，根据机械能守恒定律得知：到达h处的速度应为零，而物体要到达最高点，向心力大于或等于重力，速度不为零，故知物体不可能沿圆弧上升h，故C错误；若把斜面从C点以上部分弯成与C点相切的圆弧状，若B点不高于此圆的圆心，则到达B点的速度可以为零，根据机械能守恒定律，物体上升的最大高度仍然可以为h，故D正确。 4.(2021·海南卷·2)水上乐园有一末端水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0 m，末端到水面的高度h＝1.0 m。取重力加速度g＝10 m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末端的水平距离为(　　) A．4.0 m B．4.5 m C．5.0 m D．5.5 m 答案　A 解析　设人从滑梯由静止滑到滑梯末端速度为v，根据机械能守恒定律可知mgH＝mv2，解得v＝4 m/s，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2可知t＝＝ s＝ s，水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为s＝vt＝4× m＝4.0 m，故选A。 5．(多选)(2024·广东广州市广雅中学月考)如图所示，有一条柔软的质量为m、长为L的均匀链条，开始时链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，重力加速度为g，桌子足够高，桌角右上方有一光滑的约束挡板(未画出)以保证链条不会飞起。下列说法中正确的是(　　) A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度v＝ B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度v＝ C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 答案　BD 解析　若自由释放链条，以桌面为参考平面，根据机械能守恒可得－g·＝－mg＋mv2 解得链条刚离开桌面时的速度为v＝ 故B正确，A错误； 若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做的功等于垂于桌外链条增加的重力势能，则有Wmin＝·＝ 故D正确，C错误。 6.(2023·广东省佛山一中月考)如图所示，物块A套在光滑水平杆上，连接物块A的轻质细线与水平杆间的夹角为θ＝53°，细线跨过同一高度上的两光滑定滑轮与质量相等的物块B相连，定滑轮顶部离水平杆距离为h＝0.2 m，现将物块B由静止释放，物块A、B均可视为质点，重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，不计空气阻力，则(　　) A．物块A与物块B速度大小始终相等 B．物块B下降过程中，重力始终大于细线拉力 C．当物块A经过左侧定滑轮正下方时，物块B的速度最大 D．物块A能达到的最大速度为1 m/s 答案　D 解析　根据关联速度得vAcos θ＝vB，所以二者的速度大小不相等，A错误；当物块A经过左侧定滑轮正下方时细线与杆垂直，则根据选项A可知，物块B的速度为零，所以B会经历减速过程，减速过程中重力会小于细线拉力，B、C错误；当物块A经过左侧定滑轮正下方时，物块A的速度最大，根据系统机械能守恒得mg(－h)＝mv2，解得v＝1 m/s，D正确。 7.(多选)如图所示，长为L的细绳一端拴一质量为m的小球(可视为质点)，另一端固定在O点，绳最大能承受的力为11mg，g为重力加速度，在O点正下方O′点有一小钉，先把绳拉至水平再释放小球，为使绳不被拉断且小球能以O′为轴完成竖直面内完整的圆周运动，则钉的位置到O点的距离(　　) A．最小为L B．最小为L C．最大为L D．最大为L 答案　BC 解析　设小球以O′为轴做圆周运动时的转动半径为r，圆周运动最高点的最小速度为v1，此时恰由重力提供向心力 则mg＝m，① 由机械能守恒定律知mg(L－2r)＝mv12，② 由①②联立解得r＝L， 故钉的位置到O点的距离为L－r＝L； 当球转动到最低点，恰好达到绳子的最大拉力时，即T＝11mg时，设转动半径为R，此时最大速度为v2，则11mg－mg＝m③ 由机械能守恒定律得mgL＝mv22④ 由③④解得R＝L，故此时钉的位置到O点的距离为L。因此满足题目条件时，距离最小为L，最大为L，故B、C正确，A、D错误。 8.(2024·广东省模拟)水电站常用水库出水管道处水流的动能发电，如图，出水管道的直径与管道到水库的水面高度差H相比很小，管道横截面积为S，水的密度为ρ，出水口距离地面的竖直高度为，假设液面不可压缩且忽略流体各部分的黏性力和液面高度的变化，不考虑液体流出后受到的空气阻力，重力加速度为g，取地面为参考平面，则下列说法正确的是(　　) A．出水口处的流速为v＝ B．出水口的流量为Q＝S C．出水口距地面间这段水柱的机械能E＝ρSgH2 D．从喷水口喷出水的水平位移为2H 答案　A 解析　取水面上质量为m的水为研究对象，从水面上到出水口，根据机械能守恒定律得mgH＝mv2，解得v＝，A正确； 流量为Q＝Sv＝S，B错误； 水柱的机械能为E＝mv2＋mg 根据密度公式得m＝ρQt 水喷出后有＝gt2，解得E＝ρSgH2，C错误； 水平位移为l＝vt 解得l＝H，D错误。 9.(2023·广东省深圳实验学校、湖南省长沙一中联考)如图所示，一根长为3L的轻杆可绕水平转轴O转动，两端固定质量均为m的小球A和B，A到O的距离为L，现使杆在竖直平面内转动，B运动到最高点时，恰好对杆无作用力，两球均视为质点，不计空气阻力和摩擦阻力，重力加速度为g。当B由最高点第一次转至与O点等高的过程中，下列说法正确的是(　　) A．杆对B球做正功 B．B球的机械能守恒 C．轻杆转至水平时，A球速度大小为 D．轻杆转至水平时，B球速度大小为 答案　D 解析　由题知B运动到最高点时，恰好对杆无作用力，有mg＝m，B在最高点时速度大小为v＝，因为A、B角速度相同，A的转动半径只有B的一半，所以A的速度大小为，当B由最高点转至与O点等高时，取O点所在水平面的重力势能为零，根据A、B机械能守恒，mg·2L－mgL＋m()2＋mv2＝mvA2＋mvB2,2vA＝vB，解得vA＝，vB＝，故C错误，D正确；设杆对B做的功为W，对B由动能定理得mg·2L＋W＝mvB2－mv2，解得W＝－mgL，所以杆对B做负功，B机械能不守恒，故A、B错误。 10.(2020·江苏卷·15)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)重物落地后，小球线速度的大小v； (2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F； (3)重物下落的高度h。 答案　(1)2ωR　(2) (3)(ωR)2 解析　(1)重物落地后， 小球线速度大小v＝ωr＝2ωR (2)向心力Fn＝2mω2R 设F与水平方向的夹角为α，则Fcos α＝Fn Fsin α＝mg 解得F＝ (3)落地时，重物的速度v′＝ωR 由机械能守恒得Mv′2＋4×mv2＝Mgh 解得h＝(ωR)2。 11.(多选)(2022·广东省仲元中学联考)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面体上，放有两个质量分别为2 kg和1 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平光滑地面的高度h＝1 m。两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的能量损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的是(　　) A．下滑的整个过程中B球机械能守恒 B．两球在光滑地面上运动时的速度大小为 m/s C．轻杆对小球A做的功为 J D．轻杆对小球B做的功为 J 答案　BD 解析　下滑的整个过程中A球和B球机械能不守恒，但两球组成的系统机械能守恒，选项A错误；设B球的质量为m，由系统机械能守恒得2mg(h＋Lsin 30°)＋mgh＝(2m＋m)v2，解得两球在光滑地面上运动的速度v＝ m/s，选项B正确；A球下滑过程中，机械能的减少量ΔE＝2mg(h＋Lsin 30°)－×2mv2＝ J，根据功能关系知轻杆对小球A做的功为－ J，选项C错误；由机械能守恒定律知小球B的机械能增加量为 J，根据功能关系知轻杆对小球B做的功为 J，选项D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $