精品解析：江苏省常州市同济中学2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷

江苏省常州市同济中学2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 下列图案中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 0.00000106用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为，，则的值是（ ） A. B. C. 27 D. 3 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. _______． 8. 已知，则的值为__________． 9. 计算___________． 10. 若，则的值为____ ． 11. 已知，则值是______． 12. 已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 13. 已知，则的值是_____． 14. 如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 15. 图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域______．（填序号） 16. 含的直角三角板ABC沿着射线CA方向平移，得到三角形，连接，在平移过程中，若与之间存在两倍关系，则__________． 三、解答题（第17题16分，第18题8分，第19题9分，第20题10分，第21、22题各8分，第23题9分，共68分．） 17 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值，其中，； 19. 如图，由个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示） （1）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． （2）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形； （3）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形． 20. （1）若，，求值． （2）若，求值． 21. 如图，将直角三角形沿方向平移的距离后得到直角三角形，已知，，，求阴影部分的面积． 22. 利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． （1）如图2，若点恰好落在上，且，则 ； （2）如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 23. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： ； （2）已知，（为任意实数），求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州市同济中学2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 下列图案中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项，旋转180°后与原来的图形重合，是中心对称图形； 选项，旋转180°后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转180°后与原来的图形不重合，不是中心对称图形； 选项，旋转180°后与原来的图形不重合，不是中心对称图形． 故选：． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的定义和识别，理解中心对称图形的定义，根据图形识别中心对称图形是解题的关键． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项逐一进行计算即可得到答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意，选项错误； B、，原计算错误，不符合题意，选项错误； C、，原计算正确，符合题意，选项错正确； D、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意，选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 3. 0.00000106用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：0.00000106用科学记数法表示为 故选：C 4. 下列整式乘法能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点：两数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，是解题的关键；根据平方差公式的特点逐项验证即可． 【详解】解：A、第一个因式是两数的和，第二个因式不是这两个数的差，故不能用平方差公式计算； B、第一个因式是两数的和，第二个因式是这两个数的差，故能用平方差公式计算； C、第一个因式是两数的差，第二个因式不是的和，而是这两个数的差，故不能用平方差公式计算； D、第一个因式是两数的差，第二个因式是的差，不是这两个数的和，故不能用平方差公式计算； 故选：B． 5. 如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可知，然后问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∵， ∴； 故选B． 6. 如图，在数学兴趣活动中，小吴将两根长度相同的铁丝，分别做成甲、乙两个长方形，面积分别为，，则的值是（ ） A. B. C. 27 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法运算及整式的加减运算；由两根铁丝长度相同，求出乙长方形的长，分别计算出，，则可计算． 【详解】解：由于两根铁丝长度相同，乙长方形的长为， 则，， ∴； 故选：D． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. _______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据负整数指数幂公式解答即可． 本题考查了负整数指数幂，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 已知，则的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，根据题意，把变形为，即可得出答案． 【详解】解：解：∵， ∴=6×2 =12． 故答案为：12． 9. 计算___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，先变形为，再根据积的乘方法则计算，最后算乘法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 若，则的值为____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则将展开后再与对比，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵， ∴． 11. 已知，则的值是______． 【答案】13 【解析】 【分析】将变形为，代入数据求值即可． 【详解】 故答案为：13． 【点睛】本题考查完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 12. 已知，，则，的大小关系是 ____（请用字母表示，并用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方法则将两个幂化为同指数幂，再比较底数大小即可. 【详解】解：，， ， ， ． 13. 已知，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，多项式乘以多项式，解题关键是利用多项式乘以多项式正确计算． 先利用多项式乘以多项式展开，再合并同类项，然后整体代入求值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 故答案为： 14. 如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【答案】540 【解析】 【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为，宽为的长方形面积即可． 【详解】解：由平移可得到图，其中绿化部分的长为，宽为， 所以面积为． 15. 图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域______．（填序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，分析得出答案． 【详解】解：如图所示，在④处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形， 故答案为：④． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键． 16. 含的直角三角板ABC沿着射线CA方向平移，得到三角形，连接，在平移过程中，若与之间存在两倍关系，则__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移后对应线段互相平行可得，再根据点在线段上时，，点在线段延长线上时，，两种情况结合与之间存在两倍关系分类讨论求解， 【详解】解：设，则， ∵， ∴ I．当点在线段上时，如图1， ①当时，即， ∵， ∴， 解得：， ②当时， ∴，解得：， II．点在线段延长线上时，如图2， ③当时，即， ∵， ∴， 解得：， ④当时， ∴，，不合题意舍去， 综上所述：等于、、． 故答案为或或． 三、解答题（第17题16分，第18题8分，第19题9分，第20题10分，第21、22题各8分，第23题9分，共68分．） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）0 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用有理数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算； （2）利用幂的乘方与积的乘方计算； （3）利用单项式乘多项式的运算法则计算； （4）利用多项式乘多项式解答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式； 小问3详解】 解：原式； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值，其中，； 【答案】， 【解析】 【分析】运用乘法公式，整式的加减运算化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握乘法公式，整式的混合运算法则是解题的关键． 19. 如图，由个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示） （1）使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． （2）使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形； （3）使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题是图案设计问题，由于设计方案的多样化，只要满足相应问题对轴对称，中心对称的要求即可，这样就可以发挥学生丰富的想象力，提高学习兴趣．轴对称图形是指在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．再展开丰富的想象力画图即可． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； （3）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； 【小问1详解】 解：如图，所画图形如下： 【小问2详解】 解：如图，所画图形如下： 小问3详解】 解：如图，所画图形如下： 20. （1）若，，求值． （2）若，求值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算法则，拆分指数后代入数值计算即可； （2）利用幂的乘方运算法则，对做底数统一的变形，结合乘方的定义分别求解、的值，再计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵，，， ∴，， ∴或，， 当时，； 当时，； ∴或． 【点睛】本题解题关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方的运算法则，并能正向、逆向灵活使用；平方运算的结果为正数时，底数存在正负两个解，切勿遗漏负数解导致结果不全． 21. 如图，将直角三角形沿方向平移的距离后得到直角三角形，已知，，，求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为20 【解析】 【分析】根据平移的性质可以得出AB=DE=6，，因为为和的公共部分，所以，所以求梯形的面积即可 ． 【详解】解：由平移性质可得：AB=DE=6，， ∵为和公共部分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，是解题的关键． 22. 利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． （1）如图2，若点恰好落在上，且，则 ； （2）如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，角的和差计算，掌握好相关知识是关键． （1）根据折叠的性质可得，，．由点恰好落在上可得，，代入求值即可； （2）由折叠的性质可知，，，根据平角的性质计算出．根据、、和之间的关系，计算出． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可知，，， ∵点恰好落在上， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可知，，， ∴， ∴． 23. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值， ．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式： ； （2）已知，（为任意实数），求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过添加9构造完全平方式，再减去9使原式值不变，转化为平方差公式，最后分解为； （2）先计算，添加构造完全平方式，再减去，转化为，利用平方非负性得最小值为，即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ∵，为任意实数）， ∴ ， ∵， ∴ ∴当时，的最小值是． 【点睛】解决本题的关键是通过添加适当的项构造完全平方式，结合平方差公式分解因式、利用非负数性质求字母值，以及通过完全平方式的非负性求代数式的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $