2026年广东省广州市黄埔区中考数学二模模拟试卷

广东省广州市黄埔区2026年中考数学二模模拟试卷 九年级数学 （满分150分，完卷时间100分钟） 一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列数是负无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，下面的几何体，可以由下列选项中的哪个图形绕虚线旋转一周后得到（    ） A．   B． C． D．    3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程的根的情况，以下说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与的取值有关 5．下列说法不正确的是（    ） A．为了表明空气中各组成部分所占百分比宜采用扇形统计图 B．了解某班同学的视力情况采用全面调查 C．为了表示中国在历届冬奥会获得的金牌数量的变化趋势采用折线图 D．调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量采用抽样调查 6．把直线向下平移n个单位长度后，与直线的交点在第四象限，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．定义运算：，例如：，．则关于函数的下列说法中错误的是（    ） A．图象经过点 B．当时，随的增大而减小 C．图象位于第二、四象限 D．当时，函数值满足 8．如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形． 其中所有正确结论的序号是（   ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．如图，在扇形中，，点是的中点，点、分别为半径，上的动点．若，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 10．已知抛物线上有点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，总有 B．若，总有 C．若，总有 D．若，总有 二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．如果，那么的邻补角等于 _____． 12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，若，则△BDE与四边形ADEC的面积比是______． 13．若代数式有意义，则m的取值范围是________． 14．如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于为半径面弧，交于，两点，作直线，在上取点（点不在线段上），连接，，已知，，则的长为_________． 15．二次函数的图像的顶点坐标是___________. 16．如图，是的内接三角形，过外一点作的两条切线和，点，为切点．点在上，点在上，点在上，且，．若，则_______度． 三、解答题（本大题共9题，满分72分） 17．（本小题满分6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 18．（本小题满分6分）如图，D是边上一点，交于点E，，．求证：． 19．（本小题满分6分）先化简，再求值：，其中． 20．（本小题满分6分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如下表． 学历 经验 能力 态度 甲 8 6 8 7 乙 7 9 9 5 (1)若将四项得分的平均数作为最终得分，谁将被录用？ (2)该公司的管理层经过讨论，有以下两种赋分方式： A：“态度”重要，四项得分的比例为1：1：1：2． B：“能力”重要，四项得分的比例为1：1：2：1． 你会选择A还是B？根据你选择的这种赋分方式，通过计算确定录用者． 21．（本小题满分8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点． (1)求一次函数的解析式，并画出一次函数的图象； (2)结合图象，请直接写出关于x的不等式的解集：___________； (3)点P是x轴上的一个动点，若，求点的坐标． 22．（本小题满分8分）某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． (1)原计划每天铺设路面多少米？ (2)若承包商原来每天支付工人工资为1200元，提高工作效率后每天支付给工人的工资为1500元，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 23．（本小题满分10分）综合与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． (1)【初步思考】 若点落在矩形的边上（如图）． ①当点与点重合时，___________； ②当点与点重合时，___________． (2)【深入探究】 当点在上，点在上时（如图）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求的长． (3)【拓展延伸】 若点为动点，点为的中点，直接写出的最小值． 24．（本小题满分10分）综合与实践 驱动任务： 跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动．不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力．单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈．学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/m 1.50 1.61 1.77 1.53 1.68 1.75 1.70 1.68 1.78 (1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． (2)当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高的小明，从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能否通过跳绳． (3)现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 25．（本小题满分12分）如图1，在矩形中，点E是边上一点，连接交于点O． (1)设．若点E是边的中点，且．求的值； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交于点N，交于点M． ①当点E是边的中点时，___________，___________（填比值），从而得出猜想：点M是的中点（无需证明）； ②当点E是边上任意一点时，求证：点M是的中点； (3)如图3，矩形的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市黄埔区2026年中考数学二模模拟试卷 九年级数学 （满分150分，完卷时间100分钟） 一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列数是负无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查无理数及算术平方根，立方根，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．根据无理数的概念：无限不循环小数，由此问题可求解． 【详解】解：A、是有理数，故不符合题意； B、是正无理数，故不符合题意； C、是有理数，故不符合题意； D、是负有理数，故符合题意； 故选D． 2．如图，下面的几何体，可以由下列选项中的哪个图形绕虚线旋转一周后得到（    ） A．   B．    C．    D．    【答案】C 【分析】根据“面动成体”得出答案． 【详解】解：该几何体上半部分是圆锥，下半部分是圆柱， 由“面动成体”可得，选项C中的图形旋转一周可形成如图所示的几何体， 故选：C． 【点睛】本题考查点、线、面、体，掌握“点动成线，线动成面，面动成体”是解决问题的关键． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减法、合并同类项、同底数幂的除法、单项式乘以单项式，根据相关法则分别判断即可． 【详解】A、，故A错误； B、和不是同类项，不能合并，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误， 故选：C． 4．关于的一元二次方程的根的情况，以下说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与的取值有关 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5．下列说法不正确的是（    ） A．为了表明空气中各组成部分所占百分比宜采用扇形统计图 B．了解某班同学的视力情况采用全面调查 C．为了表示中国在历届冬奥会获得的金牌数量的变化趋势采用折线图 D．调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量采用抽样调查 【答案】D 【分析】根据统计图的特点，可判断A、C；根据调查方式，可判断B、D． 【详解】A. 为了表明空气中各组成部分所占百分比宜采用扇形统计图，选项正确； B. 了解某班同学的视力情况采用全面调查，选项正确； C. 为了表示中国在历届冬奥会获得的金牌数量的变化趋势采用折线图，选项正确； D.调查神舟十四号载人飞船各零部件的质量采用全面调查，选项错误， 故选：D. 【点睛】本题考查了统计图的选择、全面调查和抽样调查．扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；本题主要考查了解决的关键是理解概率的意义．用到的知识点为：不太容易做到的事要采用抽样调查． 6．把直线向下平移n个单位长度后，与直线的交点在第四象限，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线y＝﹣x+4向下平移n个单位长度后可得：y＝﹣x+4﹣n，求出直线y＝﹣x+4﹣n与直线y＝2x﹣4的交点，再由此点在第四象限可得出n的取值范围． 【详解】解：直线y＝﹣x+4向下平移n个单位后可得：y＝﹣x+4﹣n， 与直线联立得： 解得：， 即交点坐标为（，）， ∵交点在第四象限， ∴ 解得：2＜n＜8． 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标、一元一次不等式组的解法，注意第四象限的点的横坐标大于0、纵坐标小于0．联立解析式求出交点坐标是解题的关键． 7．定义运算：，例如：，．则关于函数的下列说法中错误的是（    ） A．图象经过点 B．当时，随的增大而减小 C．图象位于第二、四象限 D．当时，函数值满足 【答案】C 【分析】先根据定义计算出的值，从而得到，再根据反比例函数图像的性质进行逐一判断即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ A、把点（1，3）代入函数解析式中，可以知道此点在函数图像上，故此说法正确； B、因为函数，即，所以在当时，随的增大而减小，故此说法正确； C、因为函数，即，所以此函数图像经过第一、三象限，故此说法错误； D、因为函数，即，所以在当时，随的增大而减小，即当，，当，，故当时，函数值满足，故此说法正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解判断. 8．如图，在四边形中，分别是的中点．下列结论： ①四边形是平行四边形； ②当时，四边形是菱形； ③当时，四边形是矩形． 其中所有正确结论的序号是（   ）． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形、菱形的判定定理是解题的关键．①根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形的判定定理证明结论；②根据邻边相等的平行四边形是菱形解答；③根据矩形的判定定理解答． 【详解】解：①，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理，，， ，， 四边形是平行四边形； 故①正确，符合题意； ②，分别是，的中点， 是的中位线， ，， 当时，， 四边形是菱形； 当与满足条件时，四边形是菱形， 故②正确，符合题意； ③， ， ， ， 当时， ， ， ， 平行四边形是矩形， 当时，四边形不一定是矩形， 故③错误，不符合题意； 故选：A． 9．如图，在扇形中，，点是的中点，点、分别为半径，上的动点．若，则周长的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，分别作点关于、的对称点、，连接、，，交于，交于，交于，如图，利用，得到的周长，根据两点之间线段最短可判断此时的周长最小，接着证明，，然后计算出即可． 【详解】解：连接，分别作点关于、的对称点、，连接、，，交于，交于，交于， 如图， ，， 的周长， 此时的周长最小， 点是的中点， ， 点与点关于对称， ，， 同理得，， ，， 而， ，， ， 在中，， ， ， 周长的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和最短路径问题． 10．已知抛物线上有点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，总有 B．若，总有 C．若，总有 D．若，总有 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为，抛物线与轴的两个交点之间的距离小于，根据四点的横坐标之间的距离判断它们所对应的值的大小即可． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，， 抛物线与轴的一个交点的横坐标在到之间， 抛物线与轴的两个交点之间的距离小于， 如下图所示， ， 当点在对称轴右侧时，如下图所示， 点，之间的距离是， 则有，， 故A选项错误； 当点在对称轴的左侧，点在对称轴右侧时，如下图所示， 、之间的距离是， 则有，， 故B选项错误； ， 如下图所示， 当、时， 由点与点的坐标可知， 抛物线与轴的两个交点之间的距离小于， 点一定在轴的上方， ， 如下图所示， 当、时， 由点与点的坐标可知， 抛物线与轴的两个交点之间的距离小于， 点一定在轴的上方， ， 故C选项正确； ， 如下图所示， 当，时， 由点和点的坐标可知， 点在轴的下方， ， 故D选项错误． 故选：D． 二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．如果，那么的邻补角等于 _____． 【答案】/120度 【分析】根据邻补角的定义直接解答即可． 【详解】解：如果，那么的邻补角等于； 故答案为：． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，熟知相邻且互补的两个角是邻补角是解题关键． 12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，若，则△BDE与四边形ADEC的面积比是______． 【答案】 【分析】证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 13．若代数式有意义，则m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出关于的不等式，进而得出答案． 【详解】解：要使式子有意义， 则且， 解得：且． 故选：且 14．如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于为半径面弧，交于，两点，作直线，在上取点（点不在线段上），连接，，已知，，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是尺规作图作垂直平分线、垂直平分线的性质、解直角三角形的相关计算，解题关键是熟练掌握尺规作图作垂直平分线． 由题意得出直线是线段的垂直平分线，即可推出，由解直角三角形的相关计算即可得解． 【详解】解：依题得：直线是线段的垂直平分线， ， ． 故答案为：． 15．二次函数的图像的顶点坐标是___________. 【答案】 【分析】将二次函数一般式变形为顶点式即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数的顶点，熟练掌握将二次函数一般式变形为顶点式是解题的关键． 16．如图，是的内接三角形，过外一点作的两条切线和，点，为切点．点在上，点在上，点在上，且，．若，则_______度． 【答案】 【分析】先根据圆周角定理切线的性质及切线长定理得求出 ，再证明得到，即可求出答案 【详解】解：连接，， ∵，是的两条切线， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ∴（） ∴， ∴----， 故答案为：． 【点睛】此题考查切线长定理，切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定及性质，此题中证明是解题的关键 三、解答题（本大题共9题，满分72分） 17．（本小题满分6分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解不等式①得，，， 解不等式②得，，， 故不等式组的解集为：． 数轴表示如下： 18．（本小题满分6分）如图，D是边上一点，交于点E，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 利用证明即可． 【详解】解：∵，， ∴． 19．（本小题满分6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先把分子、分母分解因式计算分式的乘法，然后运算加法化简，再把a的值代入计算解题即可 【详解】解： ， 当时，原式． 20．（本小题满分6分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如下表． 学历 经验 能力 态度 甲 8 6 8 7 乙 7 9 9 5 (1)若将四项得分的平均数作为最终得分，谁将被录用？ (2)该公司的管理层经过讨论，有以下两种赋分方式： A：“态度”重要，四项得分的比例为1：1：1：2． B：“能力”重要，四项得分的比例为1：1：2：1． 你会选择A还是B？根据你选择的这种赋分方式，通过计算确定录用者． 【答案】(1)乙，理由见解析 (2)若选择A赋分方式，甲将被录用；若选择B赋分方式，乙将被录用 【分析】（1）根据平均数的概念求解即可； （2）选择A赋分方式，然后利用加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】（1）甲的平均数为， 乙的平均数为， ∵， ∴乙将被录用； （2）若选择A赋分方式， ， ， ∵， ∴甲将被录用； 若选择B赋分方式， ， ， ∵， ∴乙将被录用． 【点睛】此题考查了平均数和加权平均数，解题的关键是熟练掌握平均数和加权平均数的计算方法． 21．（本小题满分8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点． (1)求一次函数的解析式，并画出一次函数的图象； (2)结合图象，请直接写出关于x的不等式的解集：___________； (3)点P是x轴上的一个动点，若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，图象见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）先将点代入反比例函数解析式求得，然后将 代入反比例函数解析式求得的值，即可求得点的值，待定系数法求得一次函数解析式，根据的坐标，画出一次函数的图象即可求解； （2）根据直线在双曲线下方时的取值范围，即可求得不等式的解集； （3）设，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， ∴反比例函数解析式为， 将点代入，得， ∴， 将，,代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为， 画出一次函数图象如图， （2）解：∵，， 根据函数图象可得：当或时，， ∴关于x的不等式的解集为：或， 故答案为：或； （3）解：如图， 设直线交轴于点， 由，令，解得， ∴, ∴， ∵， 设， ∴， 解得， ∴或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数交点问题，直线围成的三角形的面积，数形结合是解题的关键． 22．（本小题满分8分）某县积极响应国家优先发展教育事业的重大部署，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面，铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高，结果共用13天完成道路改造任务． (1)原计划每天铺设路面多少米？ (2)若承包商原来每天支付工人工资为1200元，提高工作效率后每天支付给工人的工资为1500元，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？ 【答案】(1)80米 (2)18000元 【分析】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解． （1）设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面米，根据工作时间工作总量工作效率结合共用天完成道路改造任务．即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据总工资每天支付的工资工作天数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米，则提高工作效率后每天铺设路面米． 依题意，得， 解得．             经检验，是原方程的解，且符合题意．                 答：原计划每天铺设路面80米． （2）解：（元）．                 答：完成整个工程后承包商共支付工人工资18000元． 23．（本小题满分10分）综合与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． (1)【初步思考】 若点落在矩形的边上（如图）． ①当点与点重合时，___________； ②当点与点重合时，___________． (2)【深入探究】 当点在上，点在上时（如图）， ①求证：四边形为菱形； ②当时，求的长． (3)【拓展延伸】 若点为动点，点为的中点，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；② (2)①证明见解析；② (3) 【分析】（）①根据折叠的性质解答即可；②画出图形，再根据折叠的性质解答即可； （）①证明，得到，即可得四边形是平行四边形，再根据即可求证；②设菱形的边长为，则，在中，利用勾股定理可得，即得，又由勾股定理可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解； （）连接，利用勾股定理可得，由折叠得，又由三角形的三边关系可得，即可求解． 【详解】（1）解：①当点与点重合时，为的中点，为的中点， ， 故答案为：； ②当点与点重合时，如图， 由折叠可得，， ∵， ， 故答案为：； （2）①证明：∵点的对应点记为点，折痕为， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 为菱形； ②解：当时，设菱形的边长为，则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ， ， ∴， 当时， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， ∵点为的中点， ∴， 在中，∵， ， ， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24．（本小题满分10分）综合与实践 驱动任务： 跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动．不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力．单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈．学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且两人相距； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/m 1.50 1.61 1.77 1.53 1.68 1.75 1.70 1.68 1.78 (1)求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． (2)当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高的小明，从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能否通过跳绳． (3)现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)绳子所对应的抛物线解析式为：；顶点坐标为 (2)从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能通过跳绳 (3)此时绳子能顺利的甩过所有队员的头顶，队列安排方案见解析 【分析】（1）绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可； （2）由时求出其相应的函数值，便可确定结论； （3）由自变量的值求出函数值，再比较便可． 【详解】（1）解：绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为， 根据题意，抛物线经过点，且过点即，把三个点代入表达式， ，解得， 绳子所对应的抛物线解析式为：， ， 则抛物线顶点坐标为． （2）解：从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能通过跳绳． 理由如下： 将代入得， ， 从甲持绳手的右侧距离甲处进入游戏能通过跳绳． （3）解：有9位同学采取一路纵队并排的方式同时起跳，人与人之间距离至少0.5米，则首尾两位同学的距离是（米）， 最理想状态是最中间的同学站在对称轴的位置，此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是2米， 当时， 将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 将代入得，， 此时绳子能顺利的甩过所有队员的头顶； 队列安排方案可以为：距离两侧持绳手处分别为①④号；距离两侧持绳手处分别为②⑤号；距离两侧持绳手处分别为⑦⑧号；距离两侧持绳手处分别为③⑥号；最中间的是⑨号（方案不唯一）． 【点睛】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应用二次函数解析式解决实际问题． 25．（本小题满分12分）如图1，在矩形中，点E是边上一点，连接交于点O． (1)设．若点E是边的中点，且．求的值； (2)如图2，连接并延长交的延长线于点F，连接并延长交于点N，交于点M． ①当点E是边的中点时，___________，___________（填比值），从而得出猜想：点M是的中点（无需证明）； ②当点E是边上任意一点时，求证：点M是的中点； (3)如图3，矩形的顶点都在圆上，仅用无刻度直尺作出图3中垂直于的一条直径（不用写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)①，，②见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质得到，利用直角三角形的相似的判定定理与性质得到，代入a，b值并化简即可得出结论； （2）①利用线段的中点的定义，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论； ②利用①中的方法类比解答即可； （3）利用矩形的对角线即可得到该圆的圆心，再利用（2）中的方法找到的中点M，过O，M画直线即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①解：∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴． ∴， ∴点M是的中点； ②证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点M是的中点； （3）解：①．连接，与交于点O．则点O为圆心， ②．在边上任意取一点E，连接并延长交的延长线于点F，连接交于点G，连接并延长交于点N，交于点M， ③．过点O，M作直线，交圆于点Q，H，则线段为垂直于的一条直径．如图， 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的性质，线段的中点的定义，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，基本作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质，准确理解题干中的结论并熟练运用是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $