专题4 大题专攻1 概率模型及应用-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

大题专攻1　概率模型及应用 1 题型一　离散型随机变量的期望与方差 [例1]　(2025·唐山一模)已知某类考试中，有一种题型为多项选择题，每道题中有四个选项，其中有两个或三个选项正确．每道题所赋分值为6分，若有两个正确选项，则这两个正确选项中每个选项所赋分值为3分；若有三个正确选项，则这三个正确选项中每个选项所赋分值为2分．另外，有错误选项得0分．已知每道题有两个正确选项的概率为m(m＞0). (1)设每道题所得分数为X，写出X的所有可能取值； 【解】　X的所有可能取值为0，2，3，4，6. 返回首页 二轮专题复习 (2)对于一道多项选择题，已知选项A正确，考生甲选择了A，又在其余的三个选项中随机选择了一个选项．请写出考生甲此题得分Y的分布列和均值． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 解决离散型随机变量分布列问题的两个关键点 (1)正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率； (2)正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从特殊分布，则可直接使用公式求解． 返回首页 二轮专题复习 [对点训练]　(2025·江西一模)甲、乙、丙三人计划参加某项800米跑步比赛，规定比赛成绩不超过2′30′′为优秀．为了预测三人中比赛成绩优秀的人数，收集了这三人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 2′28′′ 2′29′′ 2′30′′ 2′30′′ 2′32′′ 2′35′′ 2′37′′ 2′40′′ 乙 2′25′′ 2′27′′ 2′30′′ 2′30′′ 2′35′′ 2′35′′ 2′42′′ 2′45′′ 丙 2′27′′ 2′30′′ 2′32′′ 2′35′′ 2′35′′ 2′40′′ 2′42′′ 2′45′′ 返回首页 二轮专题复习 用频率估计概率，且甲、乙、丙三人的比赛成绩相互独立． (1)分别求甲、乙、丙三人比赛成绩优秀的概率； 返回首页 二轮专题复习 (2)记X为甲、乙、丙三人中比赛成绩优秀的总人数，求X的分布列和方差． 返回首页 二轮专题复习 故X的分布列为 返回首页 二轮专题复习 [例2]　(2025·安康模拟)某农场收获的苹果按A，B，C三个等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1. (1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率； 题型二　常见概率模型的应用 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与均值． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 所以X的分布列为 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)在某次测试中输入了3个问题(3个问题相互独立)，设X表示智能客服的回答被采纳的次数．求X的分布列、均值及方差． 返回首页 二轮专题复习 所以X的分布列为 返回首页 二轮专题复习 题型三　现实生活情境中的决策问题 [例3]　(2025·莆田一模)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响． (1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6.某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7. ①求测试结果为语音识别成功的概率； ②已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率； 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)已知当前每次测试成功的概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案：方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2次，则再测试2次，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的均值大小为决策依据，应选择哪种方案？ 返回首页 二轮专题复习 【解】　设方案一和方案二测试次数分别为X，Y， 方案一：测试4次，则X的均值E(X)＝4； 方案二：Y可取3，5，P(Y＝3)＝0.8×0.8×0.8＝0.512， P(Y＝5)＝1－0.8×0.8×0.8＝0.488， 则随机变量Y的分布列为 Y 3 5 P 0.512 0.488 所以E(Y)＝3×0.512＋5×0.488＝3.976. 所以E(X)＞E(Y)，即方案一测试次数的均值大于方案二测试次数的均值，所以应选择方案二． 返回首页 二轮专题复习 利用均值与方差进行决策的思路方法 利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量X的均值的意义在于描述随机变量取值的平均水平，而方差则描述了随机变量取值的稳定与波动或集中与分散的状况．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)现允许开箱，从一箱中随机任取2盏进行检验． ①若已知此箱中有2盏为废品，记抽到的废品数为X，求X的分布列和均值； ②若已发现在抽取检验的2盏台灯中，恰有1盏是废品，判断此箱是否可以购买． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 Y 0 4 6 P ＋m －m m X 0 1 2 3 P X 0 1 2 3 P X 0 1 2 3 P X 0 1 2 P $