专题6 小题考法2 导数及其简单应用-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

小题考法2　导数及其简单应用 1 命题点一　导数的几何意义 C 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)(2025·芜湖模拟)若过点(2，t)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则实数t的取值范围是____________． (ln 2，＋∞) 返回首页 二轮专题复习 不妨设g(x)＝(t＋1)x－x ln x－2(x＞0)，则g′(x)＝t－ln x， 当0＜x＜et时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞et时，g′(x)＜0，g(x)单调递减． 故g(x)max＝g(et)＝et－2，则et－2＞0，即t＞ln 2，所以实数t的取值范围是(ln 2，＋∞). 返回首页 二轮专题复习 求曲线y＝f(x)的切线方程的2种类型及方法 (1)“在”某点P(x0，y0)处的切线方程 求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出切线方程． (2)“过”某点M(a，b)的切线方程 设切点为P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出切线方程． 返回首页 二轮专题复习 C 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 对于两条曲线的公切线问题，设公切线l与曲线y＝f(x)相切于点(m，f(m))，与曲线y＝g(x)相切于点(n，g(n))，利用导数求出切线l在两切点处的方程，利用斜率相等且截距相等列方程(组)求解． 返回首页 二轮专题复习 A 返回首页 二轮专题复习 解析：当x∈(0，2]时，f(1)＝1－3＝－2， f′(x)＝2x－3，所以f′(1)＝－1， 当x∈(6，8]时，f(x)＝2f(x－2)＝8f(x－6)，则f′(x)＝8f′(x－6)， 所以f(7)＝8f(1)＝－16，f′(7)＝8f′(1)＝－8， 则所求切线方程为y－(－16)＝－8(x－7)，即8x＋y－40＝0. 返回首页 二轮专题复习 C 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 命题点二　利用导数研究函数的单调性 B 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 [3，＋∞) 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域． (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认． (3)已知函数单调性求参数取值范围，要注意导数等于零的情况． 提醒　注意“函数的单调区间”与“函数在区间上单调”的区别． 返回首页 二轮专题复习 A 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 命题点三　利用导数研究函数的极值、最值 C 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 AC 返回首页 二轮专题复习 【解析】　函数f(x)＝x3＋ax2－x＋b的定义域为R，求导得f′(x)＝3x2＋2ax－1，对于A，Δ＝4a2＋12＞0，所以函数f′(x)恒有两个变号零点，所以函数f(x)恒有两个极值点，A正确； 返回首页 二轮专题复习 对于D，f(x)＋f(2－x)＝x3＋ax2－x＋b＋(2－x)3＋a(2－x)2－(2－x)＋b＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋(4a＋2b＋6)＝2b－6，则a＝－3，D错误． 返回首页 二轮专题复习 利用导数研究函数极值、最值的方法 (1)若求极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号． (2)若探究极值点个数，则先探求方程f′(x)＝0在所给范围内实根的个数，再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号． (3)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解． (4)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较，从而得到函数的最值． 返回首页 二轮专题复习 B 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 [问题背景]　三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)是高考的重点素材，而其图象的对称中心是高考的热点，其优美的对称性是命题专家的命题点之一．当b2>3ac时，有一个极大值点xA与一个极小值点xB，且AB的中点即为图象的对称中心(如图). 三次函数的对称中心 返回首页 二轮专题复习 [真题展示]　(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则(　　) A．当a>1时，f(x)有三个零点 B．当a<0时，x＝0是f(x)的极大值点 C．存在a，b，使得x＝b为曲线y＝f(x)的对称轴　 D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心 AD 返回首页 二轮专题复习 解析：由题可知，f′(x)＝6x(x－a). 对于A，当a>1时，由f′(x)<0得0<x<a，由f′(x)>0得x<0或x>a，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，且当x→－∞时，f(x)→－∞，f(0)＝1，f(a)＝－a3＋1<0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故f(x)有三个零点，A正确； 对于B，当a<0时，由f′(x)<0得a<x<0，由f′(x)>0得x>0或x<a，则f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故x＝0是f(x)的极小值点，B错误； 返回首页 二轮专题复习 对于C，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→－∞时，f(x)→－∞，故曲线y＝f(x)必不存在对称轴，C错误； 返回首页 二轮专题复习 [美题闯关]　(多选)已知函数f(x)＝x3－3x2＋2x，则(　　) A．f(x)有两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＝0 B．f(x)有三个零点t1<t2<t3，且存在常数c，使t1＋c，t2＋c，t3＋c为一直角三角形三边 C．若方程x3－3x2＋(λ＋2)x－λ＝0有三个根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝3 D．在y轴的负半轴上存在点P，过点P可作曲线y＝f(x)的两条切线 ABC 返回首页 二轮专题复习 解析：因为f(x)＝x3－3x2＋2x，f′(x)＝3x2－6x＋2＝0有两个实数根x1，x2，且f(x)图象的对称中心为(1，0).对于A，由于对称中心(1，0)是其两个极值点的中点， 故f(x1)＋f(x2)＝0，A正确； 对于B，由f(x)＝x3－3x2＋2x＝x(x－1)(x－2)， 故t1＝0，t2＝1，t3＝2，由(0＋c)2＋(1＋c)2＝(2＋c)2， 解得c＝－1或c＝3，当c＝－1时，－1，0，1不能构成三角形； 当c＝3时，3，4，5构成一直角三角形三边，B正确； 返回首页 二轮专题复习 对于C，由x3－3x2＋(λ＋2)x－λ＝0得x3－3x2＋2x＝－λ(x－1)， 若此方程有三个根x1，x2，x3，则这三个根即为曲线y＝f(x)与直线l：y＝－λ(x－1)的交点的横坐标，由于曲线y＝f(x)与直线l：y＝－λ(x－1)均关于点(1，0)对称(如图)，故x1＋x2＋x3＝2×1＋1＝3，C正确； 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 当x>1时，g′(x)<0，所以g(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增． 故g(x)极小值＝g(0)＝0，g(x)极大值＝g(1)＝1. 故y＝g(x)的图象与直线y＝n(n<0)仅有一个交点，故过y轴的负半轴上的点P只能作曲线y＝f(x)的一条切线，D错误． 返回首页 二轮专题复习 解析：设A(x1，ex1－2)，x1＞1，B(x2，ln x2)，x2>0，因为f′(x)＝ex-2，g′(x)＝，所以f′(x1)＝ex1－2，g′(x2)＝， 所以函数f(x)＝ex-2的图象在点A处的切线方程为y－ex1－2＝ex1－2 (x－x1)，即y＝ex1－2x＋(1－x1)ex1－2， 函数g(x)＝ln x的图象在点B处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x＋ln x2－1. 因为直线l是两函数图象的公切线， 所以 由①可得2－x1＝ln x2，代入②得(1－x1)ex1－2＝1－x1， 因为x1＞1，所以ex1－2＝1，即x1＝2，则x2＝1，所以A(2，1)，B(1，0)，所以|AB|＝＝. (2)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R)在上单调递减，则实数a的取值范围是______________；若函数f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R)在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是______________． $