专题6 高考提能1 抽象函数-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

高考提能1　抽象函数 1 题型一　抽象函数的求值 D 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)(2025·上海模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且对任意的x∈R，满足f(x＋1)－f(x－1)≥x，f(x＋3)－f(x－3)≤3x，且f(1)＝1，则f(51)＝________． 【解析】　因为f(x＋1)－f(x－1)≥x， 用x－2替换x，得f(x－1)－f(x－3)≥x－2， 用x＋2替换x，得f(x＋3)－f(x＋1)≥x＋2， 又f(x＋3)－f(x－3)≤3x，即f(x－3)－f(x＋3)≥－3x， 上述三式相加得，f(x－1)－f(x＋1)≥－x， 所以f(x＋1)－f(x－1)≤x， 651 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (1)抽象函数求值问题常用赋值法，依据已知条件，对自变量合理赋值解决问题． (2)抽象函数涉及不等关系时，如本例(2)，可将不等式转化为等式，即由已知条件推得f(x＋1)－f(x－1)≤x，又已知f(x＋1)－f(x－1)≥x，所以f(x＋1)－f(x－1)＝x. 返回首页 二轮专题复习 D 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 0 －2 返回首页 二轮专题复习 解析：令x＝1，y＝0，得g(1)－g(1)＝g(1)g(0)＝0，因为g(1)＝－1，所以g(0)＝0. 令y＝1，得g(x＋1)－g(x)＝g(x－1)g(1)＝－g(x－1)， 所以g(x＋1)＝g(x)－g(x－1)，① g(x＋2)＝g(x＋1)－g(x)＝－g(x－1)， 所以g(x＋3)＝－g(x)， 所以g(x＋6)＝－g(x＋3)＝g(x)， 所以g(x)是周期为6的周期函数． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 题型二　抽象函数的单调性与奇偶性 1 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (1)抽象函数单调性、奇偶性的证明，必须严格按照定义来证明．证明函数单调性的关键是利用x1与x2的大小关系构造出符合已知条件的不等关系；证明函数奇偶性的关键是寻求f(－x)与f(x)的关系． (2)在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行．若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值． 返回首页 二轮专题复习 [对点训练]　1.(多选)已知定义域为R的函数f(x)不是常数函数，当x＞1时，f(x)＞0，而且对任意的x，y∈R有f(xy)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，则下列说法正确的有(　　) A．f(1)＝0 B．若x∈(0，1)，则f(x)∈(－1，0) C．f(x)在(0，＋∞)上单调递减 D．若f(－1)＝0，f(3)＝2，则不等式f(x－1)＜8的解集为{x|－3＜x＜5} AB 返回首页 二轮专题复习 解析：对于A，令x＝y＝1，则f(1)＝[f(1)]2＋2f(1)，解得f(1)＝0或f(1)＝－1. 若f(1)＝－1，则f(x·1)＝f(x)f(1)＋f(x)＋f(1)， f(x)＝f(1)＝－1， 与f(x)不是常数函数矛盾，故f(1)＝0，A正确； 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 c＜b＜a 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 [例3]　(多选)(2025·石家庄三模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)是定义在R上的奇函数，则(　　) A．f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B．f(x)是周期为2的函数 C．f(2 027)＝0 题型三　抽象函数的周期性与对称性 AC 返回首页 二轮专题复习 【解析】　对于A，因为f(x＋1)是定义在R上的奇函数，其图象关于原点对称， 又f(x＋1)的图象可看成是函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得到，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故A正确； 对于B，由f(x＋1)是定义在R上的奇函数，可得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＝－f(x＋2)，又f(－x)＝f(x)，则f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期为4的函数，故B错误； 返回首页 二轮专题复习 对于C，由f(－x)＝－f(x＋2)，令x＝－1，得f(1)＝－f(1)，则f(1)＝0， 所以f(2 027)＝f(506×4＋3)＝f(3)＝f(－1)＝f(1)＝0，故C正确； 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 [对点训练]　1.(2025·沈阳二模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，若g(－1)＝3，则f(3)＝(　　) A．－3 B．－1 C．0 D．1 B 返回首页 二轮专题复习 解析：由函数g(x)＝(x－2)f(x)的图象关于点(2，0)中心对称可知，g(2－x)＝－g(2＋x)， 即(2－x－2)f(2－x)＝－(2＋x－2)f(2＋x)，可得f(2－x)＝f(2＋x)，因此函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2， 由g(－1)＝(－1－2)f(－1)＝3，可得f(－1)＝－1， 由f(x)为R上的偶函数且f(x)图象的对称轴为直线x＝2，可得f(3)＝f(1)＝f(－1)＝－1. 返回首页 二轮专题复习 2．已知f(x)是定义在R上的函数，若对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且函数f(x－2)的图象关于直线x＝2对称，f(1)＝3，则f(2 025)＝________． 解析：因为函数f(x－2)的图象关于直线x＝2对称， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，则有f(x)＝f(－x). 因为对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)， 令x＝－4，得f(－4＋8)＝f(－4)＋f(4)⇒f(－4)＝f(4)＝0， 所以对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)＝f(x)， 即函数f(x)的周期为8，则f(2 025)＝f(253×8＋1)＝f(1)＝3. 3 返回首页 二轮专题复习 [例4]　(多选)(2025·咸阳模拟)设函数f(x)，g(x)及其导函数f′(x)，g′(x)的定义域均为R，已知f(2－x)＋g(x)＝4，f′(x＋2)＋g′(x－2)＝2，且g(3x)＝－g(－3x)，则(　　) A．g(x)是奇函数 B．f(2)＝2 C．点(－1，1)为曲线y＝g′(x)的对称中心 D．f′(2 025)＝1 题型四　抽象函数的导函数性质 ACD 返回首页 二轮专题复习 【解析】　对于A，在g(3x)＝－g(－3x)中，令t＝3x， 得g(t)＝－g(－t)，所以g(－t)＝－g(t)， 故g(x)是奇函数，A正确； 对于B，由g(x)的定义域为R，且g(x)为奇函数，知g(0)＝0， 在f(2－x)＋g(x)＝4中，令x＝0，得f(2)＝4，B错误； 返回首页 二轮专题复习 对于C，因为f(2－x)＋g(x)＝4，所以g′(x)－f′(2－x)＝0，故g′(－x)－f′(2＋x)＝0， 又因为f′(x＋2)＋g′(x－2)＝2，所以g′(－x)＋g′(x－2)＝2，即g′(－1－x)＋g′(－1＋x)＝2， 所以点(－1，1)为曲线y＝g′(x)的对称中心，C正确； 返回首页 二轮专题复习 对于D，因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，故g′(－x)＝g′(x)，即g′(x)是偶函数， 由g′(－x)＋g′(x－2)＝2得g′(x)＋g′(x－2)＝2，g′(x－2)＋g′(x－4)＝2，故g′(x)＝g′(x－4)，即g′(x)的周期为4， 因为g′(－x)－f′(2＋x)＝0，所以g′(x)＝g′(－x)＝f′(2＋x)，即f′(x)＝g′(x－2)，在g′(－1－x)＋g′(－1＋x)＝2中，令x＝0，得g′(－1)＝1，所以f′(2 025)＝g′(2 023)＝g′(506×4－1)＝g′(－1)＝1，D正确． 返回首页 二轮专题复习 设函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，则f(x)与f′(x)有如下关系： (1)f(x)的图象关于直线x＝a对称⇒f′(x)的图象关于点(a，0)中心对称； (2)f(x)的图象关于点(b，f(b))中心对称⇒f′(x)的图象关于直线x＝b对称； (3)f(x)是周期为T的周期函数⇒f′(x)是周期为T的周期函数． 返回首页 二轮专题复习 [对点训练]　1.(2025·安康三模)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，若f′(x)为奇函数，f(x＋1)＋x为偶函数，则f′(101)＝(　　) A．－101 B．101 C．0 D．－1 A 返回首页 二轮专题复习 解析：因为f′(x)为奇函数，所以f′(－x)＝－f′(x)，又函数f(x＋1)＋x为偶函数，所以f(－x＋1)－x＝f(x＋1)＋x，对两边求导，得－f′(－x＋1)－1＝f′(x＋1)＋1，所以－f′(－x＋1)－f′(x＋1)＝2， 又f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x＋1)＝－f′(x－1)， 所以f′(x－1)－f′(x＋1)＝2，即f′(x＋1)－f′(x－1)＝－2，所以f′(x)－f′(x－2)＝－2，所以f′(101)－f′(99)＝－2，f′(99)－f′(97)＝－2，…，f′(3)－f′(1)＝－2， 所以f′(101)－f′(1)＝－2×50＝－100，又f′(1)－f′(－1)＝－2，所以f′(1)＋f′(1)＝－2，所以f′(1)＝－1，所以f′(101)＝－101. 返回首页 二轮专题复习 2 026 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 [问题背景]　众所周知，数列可以看成定义域为N*的函数，同时数列与函数存在很多美妙的关系，例如证明数列的单调性或求数列中的最大项等均引用到函数的相关思想，反过来，研究函数问题，也可用数列的特点与方法.2024年新课标Ⅰ卷T8呈现了优美的斐波那契数列形式，用斐波那契数列的特点可快速解答． 斐波那契数列在函数中的应用 返回首页 二轮专题复习 [真题展示]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A．f(10)>100 B．f(20)>1 000 C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000 B 返回首页 二轮专题复习 解析：f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，当x<3时，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2，则当x∈[3，4)时，f(x)>x－1＋x－2＝2x－3，所以f(3)>3； 当x∈[4，5)时，f(x)>2(x－1)－3＋x－2＝3x－7，所以f(4)>5； 当x∈[5，6)时，f(x)>3(x－1)－7＋2(x－2)－3＝5x－17，所以f(5)>8； ……； 发现1，2及当x≥3且x∈N*时，f(x)大于的数字构成斐波那契数列(去掉前两项)1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597，…，所以f(10)>89，A错误；f(20)>f(16)>1 597>1 000，B正确；f(x)没有上界，所以C，D错误． 返回首页 二轮专题复习 [美题闯关]　(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f(2)＝2，f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，则(　　) A．f(100)＝1 B．f(200)＝2 C．∃x∈Z，使f(x)＝0 D． f(i)≥0(n∈N*) BD 返回首页 二轮专题复习 解析：因为f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)， 所以f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝f(x＋1)－f(x)－f(x＋1)＝－f(x)，故f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)， 因此f(x)是周期为6的周期函数． 对于A，f(100)＝f(6×16＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－1，A错误； 对于B，f(200)＝f(6×33＋2)＝f(2)＝2，B正确； 返回首页 二轮专题复习 对于C，由f(1)＝1，f(2)＝2知，f(0)＝f(1)－f(2)＝－1， f(3)＝f(2)－f(1)＝1，f(4)＝f(3)－f(2)＝－1， f(5)＝f(4)－f(3)＝－2，故当x0∈{0，1，2，3，4，5}时，f(x0)≠0. 又f(x)的周期为6，故f(x0＋6k)≠0，k∈Z，即不存在x∈Z，使f(x)＝0，C错误； 返回首页 二轮专题复习 对于B，C，令a＝，b＝－，则f(0)＋ff＝9××＝－1. 由f(0)＝－1，f≠0，可得f＝0. 令b＝，则f＝3a，所以f(a)＝3a－1，即an＝f(n)＝3n－1，f(1)＝3－1＝2，故B，C正确； 对于D，由an＝3n－1，可得ai＝×20＝610，故D错误． [例2]　已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m，n，都有f(m＋n)＝f(m)f(n)，且当x＞0时，0＜f(x)＜1.则f(0)＝__________；当f＞1时，实数a的取值范围为____________________________． 2．已知定义在R上的函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在(－∞，0)上单调递减． 设a＝f(log23)，b＝f(ln 3)，c＝f，则a，b，c按从小到大的排列顺序是____________________． $