专题6 高分进阶5 函数中的创新融合问题-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

高分进阶5　函数中的创新融合问题 1 　　函数是高中数学中起联结和支撑作用的主干知识， 函数与方程， 函数与不等式， 函数与数列、三角函数、概率等知识的相互交汇与融合一直是高考的热点， 可以说是常考常新. 随着新课程改革的不断发展， 高考函数命题在理论和实践上发生了深刻的变化， 尤其是导数和向量引入教材之后， 给函数命题注入了生机和活力， 开辟了许多新的解题途径． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)记数列{an}的前n项和为Sn.已知函数g(x)＝3x－1＋ln(f(x))，若an＋1＝g(an)，a1＝3，an＞1，证明：Sn≤3n＋n－1. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 此类问题一般先运用导数得到函数的性质或结论， 再把结论或性质应用到数列求解问题， 体现了由一般到特殊的思想转化． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 【解】　f′(x)＝－5sin x＋5sin 5x ＝5(sin 5x－sin x) ＝5[sin (3x＋2x)－sin (3x－2x)] ＝5×2cos 3x sin 2x ＝10sin 2x cos 3x. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)给定θ∈(0，π)和a∈R，证明：存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cos y≤cos θ； 【解】　证明：∀a∈R，∃k∈Z，使得a＝2kπ＋a′，其中a′∈[－π，π]. 当a′＝0时，[a′－θ，a′＋θ]＝[－θ，θ]，取y＝2kπ＋θ， 则y∈[a－θ，a＋θ]，且cos y＝cos θ. 当a′∈(0，π]时，a′－θ∈(－θ，π－θ]，a′＋θ∈(θ，π＋θ]， 设y1＝min{π，a′＋θ}，则y1∈(θ，π]， 返回首页 二轮专题复习 因为g(x)＝cos x在[θ，y1]上单调递减，所以cos y1＜cos θ， 取y＝2kπ＋y1，则y∈[a－θ，a＋θ]，且 cos y＝cos y1＜cos θ. 当a′∈[－π，0)时，a′－θ∈[－π－θ，－θ)，a′＋θ∈[－π＋θ，θ)， 记y2＝max{－π，a′－θ}，则y2∈[－π，－θ)， 因为g(x)＝cos x在[y2，－θ]上单调递增， 所以cos y2＜cos (－θ)＝cos θ， 取y＝2kπ＋y2，则y∈[a－θ，a＋θ]， 且cos y＝cos y2＜cos θ. 综上，存在y∈[a－θ，a＋θ]使得cos y≤cos θ. 返回首页 二轮专题复习 (3)设b∈R，若存在φ∈R使得5cos x－cos (5x＋φ)≤b对x∈R恒成立，求b的最小值． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 本题是函数与三角函数融合交汇问题， 考查了利用导函数得到函数单调性， 由函数单调性解决不等式恒成立问题．但三角函数求导后， 还是三角函数， 且三角函数具有周期性与有界性， 所以处理这类问题时， 一般需要对参数进行分类讨论． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 B 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 C 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 解析：设f(x)＝x3－x2，则 f′(x)＝3x2－2x，f′′(x)＝6x－2，所以 f′(0)＝0，f′′(0)＝－2， 则曲线在点(0，0)处的曲率 K＝＝2， 曲率半径 ρ＝， 故曲线 y＝x3－x2 在点(0，0)处的向心加速度的大小为 ＝2v. $