专题6 高分进阶3 切线放缩-【备考最优解】2026版高考二轮专题复习·数学创新版（教用课件）

高分进阶3　切线放缩 1 1.切线放缩 对于含有指数、对数或三角函数等超越式的函数或不等式问题， 有时我们可以利用导数的几何意义进行以直代曲，即考虑函数 f(x) 图象上某点 x＝x0 处的切线 y＝kx＋b，结合函数的凹凸性进行切线放缩， 使问题便于解决． 返回首页 二轮专题复习 特别地，当f(x)为下凸函数时，则f(x)≥kx＋b；当f(x)为上凸函数时，则f(x)≤kx＋b.两个不等式中等号成立的条件刚好是x＝x0.,将f(x)放大或缩小为kx＋b，得到f(x)≥kx＋b或f(x)≤kx＋b（其中k＝f′(x0)，y＝kx＋b为f(x)在x＝x0处的切线y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)）叫做切线放缩．,对某些求函数的最小值或证明不等式的问题，巧用切线放缩，会有意想不到的效果． 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 类型一　指数放缩 [例1]　已知函数 f(x)＝ex－ax－2(a∈R). (1)若关于 x 的方程 f(x)＋2＝0 有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围； 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 (2)若 a＝1，设 g(x)＝xf(x)＋x2＋x－ln x，求 g(x) 的最小值． 【解】　当a＝1时，g(x)＝x(ex－x－2)＋x2＋x－ln x＝xex－x－ln x＝eln x＋x－(x＋ln x)， 易知ex≥x＋1，故eln x＋x≥ln x＋x＋1， 所以g(x)≥ln x＋x＋1－(x＋ln x)＝1，所以g(x)min＝1. 返回首页 二轮专题复习 本例利用 ex≥x＋1 把含ex 的代数式转化为关于 x 的多项式，为判断函数的符号带来极大的方便，并由 ex≥x＋1 联想到 e2x≥2x＋1 进行放缩，是本题的解题关键． 返回首页 二轮专题复习 类型二　对数放缩 [例2]　设 f(x)＝x－1－ln x. (1)求证： 当 x＞0 时， f(x)≥0； 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 【解】　当x＞0时，f(x)＜a，等价于ax－sinx＞0. 令F(x)＝ax－sinx(x>0)，则F′(x)＝a－cosx. 若a≤－1，则F′(x)≤0，F(x)单调递减，F(x)＜F(0)＝0，不符合题意． 若－1＜a＜1，则F′(0)＝a－1＜0，F′(π)＝a＋1＞0. 因为函数F′(x)＝a－cosx在(0，π)上单调递增， 所以∃x0∈(0，π)，F′(x0)＝0. 当x∈(0，x0)时，F′(x)＜0，F(x)单调递减，存在F(x)＜F(0)＝0，不符合题意． 若a≥1，则F′(x)≥1－cosx≥0，F(x)单调递增，F(x)＞F(0)＝0，符合题意． 综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞). 返回首页 二轮专题复习 (2)证明： x3ex＞x ln x＋sin x. 返回首页 二轮专题复习 返回首页 二轮专题复习 本例(2)中不等式含有指数、对数、三角函数， 证明需要利用合理的放缩化为简单的函数， 而根据第一问的结论将三角函数转化放缩为一次函数大大减轻了计算量． 返回首页 二轮专题复习 1．(2025·南阳模拟) 已知函数 f(x)＝ex－ex＋1. (1)求曲线 y＝f(x) 在点 (1，f(1)) 处的切线方程； 解：函数 f(x)＝ex－ex＋1，f′(x)＝ex－e，则 f′(1)＝0，又 f(1)＝1， 所以曲线 y＝f(x) 在点 (1，f(1)) 处的切线方程为 y－1＝0. 返回首页 二轮专题复习 (2)证明：∀x≥1，f(x)≥x－ln x. 返回首页 二轮专题复习 2．(2025·承德模拟) 已知函数f(x)＝ln (mx)，m＞0. (1)当m＝1 时，求证：f(x)≤x－1； 返回首页 二轮专题复习 (2)当x∈(0，＋∞), m∈(0，1]时，求证： f(x)≤(x－1)ex－m. 证明：令h(x)＝(x－1)ex－m，x＞0，则只需证明f(x)≤h(x). ①当x＞1时，h(x)＝(x－1)ex－m≥(x－1)ex-1＞x－1＞lnx≥ln(mx)＝f(x)； ②当m≤x≤1时，h′(x)＝xex－m＞0， 所以h(x)在[m，1]上单调递增， 所以h(x)≥h(m)＝m－1≥lnm≥lnm＋lnx＝ln(mx)＝f(x)； ③当0＜x＜m时，h(x)＝(x－1)ex－m＞x－1＞lnx≥ln(mx)＝f(x). 综上可知，当x∈(0，＋∞)，m∈(0，1]时，f(x)≤(x－1)ex－m恒成立． 返回首页 二轮专题复习 2.常用的切线不等式 (1)ex≥x＋1；(2) ln x≤x－1；(3)ex≥ex；(4) ln x≤)x； (5)sin x≤x(x≥0). 【解】　证明：由题意得 f′(x)＝1－＝，x＞0， 令f′(x)＞0 得 x＞1；令f′(x)＜0 得 0＜x＜1， 所以 f(x) 在(0，1)上单调递减，在 (1，＋∞) 上单调递增， 所以f(x)在(0，＋∞)上有极小值即最小值， 所以 f(x)≥f(1)＝0. 【解】　由(1)可知当 x＞1 时， x－1－ln x＞0，即 ln x＜x－1， 令 x＝1＋，可得 ln ＜， $