6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减法运算的坐标表示 （第二课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减法运算的坐标表示 第二课时 复习回顾 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个_________的向量，叫做把向量作正交分解． 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，设与x轴、y轴方向相同的两个_________分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有________一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．显然，i＝________，j＝_______，0＝(0，0)． 互相垂直 单位向量 且只有 (1，0) (0，1) 复习回顾 (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (x2－x1，y2－y1) 终点 起点 问题引领，深入思考 1．点的坐标与向量坐标有何区别？ 答：(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．因为向量坐标是a＝xi＋yj的简写． (2)点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向． (3)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同． (4)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y)． 问题引领，深入思考 2．将向量平移到另一个位置，向量的坐标不变，对吗？ 答：正确，向量平移后，向量不变，坐标也不变． 题型一——平面向量的坐标表示 例 1　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 题型一——平面向量的坐标表示 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 总结 求向量坐标的方法： (1)定义法：根据平面向量坐标的定义得a＝xi＋yj＝(x，y)，其中i，j分别为与x轴、y轴方向相同的两个单位向量． (2)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标． (3)求差法：先求出这个向量的起点、终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标． 巩固练习 题型二——平面向量加、减运算的坐标表示 √ 例 2　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 总结 平面向量坐标运算的技巧： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 巩固练习 (－3，－5) 题型三 例 3　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 13 题型三 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 题型三 (2)点B的坐标． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 巩固练习 √ 巩固练习 (2)已知平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次为(3，－1)，(1，2)，(m，1)，(3，n)．求msin α＋ncos α的最大值．   当堂检测 1．【多选题】下列说法中正确的有(　　) A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为起点、该点为终点的向量一一对应 √ √ √ 解析　由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误． 当堂检测 √ 当堂检测 √ 当堂检测 4．【多选题】已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任意一向量a，下列结论中正确的是(　　) A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y) B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2且y1≠y2 C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O D．若x，y∈R，a的起点坐标是(1，1)，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x－1，y－1) √ √ 解析　B中，x1≠x2或y1≠y2；C中起点可以是任意位置． 当堂检测 (0，－1) 当堂检测 用数学的眼光看世界 平面向量加、减运算的坐标表示 (1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，a－b＝___________________． (2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝_________________，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_______的坐标减去________的坐标． 已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝4eq \r(3)，∠xOA＝60°， (1)求向量eq \o(OA,\s\up16(→))的坐标； 【解析】　(1)设点A(x，y)，则x＝|eq \o(OA,\s\up16(→))|cos 60°＝4eq \r(3)cos 60°＝2eq \r(3)，y＝|eq \o(OA,\s\up16(→))|sin 60°＝4eq \r(3)sin 60°＝6，即A(2eq \r(3)，6)，所以eq \o(OA,\s\up16(→))＝(2eq \r(3)，6)． (2)若B(eq \r(3)，－1)，求eq \o(BA,\s\up16(→))的坐标． 【解析】　(2)eq \o(BA,\s\up16(→))＝(2eq \r(3)，6)－(eq \r(3)，－1)＝(eq \r(3)，7)． 如图，取与x轴，y轴正方向同向的两个单位向量i，j，将{i，j}作为基底表示eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))，并求出它们的坐标． 【解析】　由题图可知，eq \o(OA,\s\up16(→))＝6i＋2j，eq \o(OB,\s\up16(→))＝2i＋4j，eq \o(AB,\s\up16(→))＝－4i＋2j，它们的坐标表示分别为eq \o(OA,\s\up16(→))＝(6，2)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝(2，4)，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－4，2)． 已知四边形ABCD为平行四边形，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，3)，eq \o(AD,\s\up16(→))＝(－1，2)，则eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝(　　) A．(－2，4)　　　　　　 B．(4，6) C．(－6，－2) D．(－1，9) 【解析】　因为eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝(1，5)，eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－3，－1)，所以eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＝(－2，4)．故选A. 在平行四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2，4)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(1，3)，则eq \o(BD,\s\up16(→))的坐标为_____________． 【解析】　∵eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))， ∴eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，3)－(2，4)＝(－1，－1)， ∴eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－1，－1)－(2，4)＝(－3，－5)． 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(AB,\s\up16(→))＝b，四边形OABC为平行四边形，求： (1)向量a，b的坐标； 【解析】　(1)如图，作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)， AM＝OA·sin 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2). ∴A(2eq \r(2)，2eq \r(2))，故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°， ∴∠COx＝75°＋45°＝120°， 又∵OC＝AB＝3， ∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，∴eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))). 【解析】　(2)连接OB，eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2))). 即点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2))). (1) 如图，分别取与x轴，y轴正方向同向的两个单位向量i，j，将{i，j}作为基底，若|a|＝eq \r(2)，θ＝45°，则向量a的坐标为(　　) A．(1，1)　　　　　　　 B．(－1，－1) C．(eq \r(2)，eq \r(2)) D．(－eq \r(2)，－eq \r(2)) 【解析】　由题意，得a＝eq \r(2)cos 45°i＋eq \r(2)sin 45°j＝i＋j＝(1，1)． 【解析】　因为四边形ABCD为平行四边形，则eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))， 即(3－3，n＋1)＝(m－1，1－2)， 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1＝0，,n＋1＝－1，))得m＝1，n＝－2， 得msin α＋ncos α＝sin α－2cos α＝eq \r(5)sin(α＋φ)，其中tan φ＝－2，故msin α＋ncos α的最大值为eq \r(5). 2．已知点A(1，0)，B(3，2)，向量eq \o(AC,\s\up16(→))＝(2，1)，则向量eq \o(BC,\s\up16(→))＝(　　) A．(0，－1)　　　　　　 B．(1，－1) C．(1，0) D．(－1，0) 解析　eq \o(BA,\s\up16(→))＝(1，0)－(3，2)＝(－2，－2)，∴eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－2，－2)＋(2，1)＝(0，－1)．故选A. 3．设点A(1，2)，B(3，5)，将向量eq \o(AB,\s\up16(→))按向量a＝(－1，－1)的方向平移后得到eq \o(A′B′,\s\up16(→))为(　　) A．(1，2)　　　　　　　 B．(2，3) C．(3，4) D．(4，7) 解析　eq \o(AB,\s\up16(→))＝(3，5)－(1，2)＝(2，3)，向量平移前后坐标不变．故选B. 5．已知对任意平面向量eq \o(AB,\s\up16(→))＝(x，y)，把eq \o(AB,\s\up16(→))绕其起点沿逆时针方向旋转θ得到向量eq \o(AP,\s\up16(→))＝(xcos θ－ysin θ，xsin θ＋ycos θ)，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ得到点P.已知平面内点A(1，2)，点B(1＋eq \r(2)，2－2eq \r(2))，把点B绕点A沿顺时针方向旋转eq \f(π,4)后得到点P，则点P的坐标为________． 解析　由题意可知eq \o(AB,\s\up16(→))＝(eq \r(2)，－2eq \r(2))，点B绕点A沿顺时针方向旋转eq \f(π,4)即点B绕点A沿逆时针方向旋转eq \f(7π,4)， 设P(x，y)，则eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)cos\f(7π,4)＋2\r(2)sin\f(7π,4)，\r(2)sin\f(7π,4)－2\r(2)cos\f(7π,4)))＝(－1，－3)， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝－1，,y－2＝－3，))解得x＝0，y＝－1，所以点P的坐标为(0，－1)． $