6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减法运算的坐标表示课件（第一课时）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减法运算的坐标表示 第一课时 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示。 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来. 温故知新 如果， 是同一平面内的两个________ 向量，那么对于这一平面内的_______向量_______________实数，，使得 =___________ 1. 平面向量的基本定理 有且只有一对　 若_________，我们把{， }叫做表示这一平面内_______向量的一个基底. 不共线　 所有　 2. 基底 不共线　 任一　 M N O 思考：若基底满足更特殊的条件（互相垂直），这种分解会有什么特点？ 预学导读 阅读课本27-29页，思考并完成以下问题 1. 怎样分解一个向量才为正交分解？ 2. 平面向量怎样用坐标表示？ 新知导入 如图，在该物理模型中，重力G被分解为两个互相垂直的分力：学中非常常见，我们给它一个专门的名称： 1.平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1 2.垂直于斜面的压力F2 正交分解 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便. 正交分解的意义 新知探究——向量的坐标表示 想一想：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 取作为基底. 由平面向量基本定理可知，对于平面内的任意一个向量，有且只有一对实数,，使得. 设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为 x y O 这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对()叫作向量的坐标，记作. 其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，叫做向量的坐标表示. 新知探究——向量的坐标表示 x y o 显然 向量 的坐标(x，y)就是终点A的坐标 重要结论：当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量坐标 牛刀小试 下列说法正确的是（ ） A. 正交分解的基底必须是单位向量 正交分解只要求基底两个向量互相垂直，不要求是单位向量. B. 任意平面向量都可以唯一进行正交分解 给定正交基底，分解唯一 C. 正交分解的两个分向量方向相同 正交分解的两个分向量分别沿正交基底的方向，是互相垂直的 D. 只有非零向量才能进行正交分解 零向量也可以进行正交分解，其两个分向量都是零向量。 B 知识小结——平面向量的坐标表示 （3）向量的坐标表示： (有序数对) （1）正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量 （2）单位正交基底： ① (x轴同向单位向量)、 (y轴同向单位向量) ②, , 牛刀小试 已知单位正交基底，向量,则的坐标为( ) A. (0,-3) B. (-3,0) C. (3,0) D. (0,3) A 联系：以原点 O 为起点的向量，其坐标与终点的坐标一一对应，即： 且 A () 注：前提必须是以原点O为起点 典例分析 观察图中四个向量的位置关系 例3 如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，你能求出它们的坐标吗？ -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 A B 1 2 -2 -1 x y 4 5 3 牛刀小试 新知探究——平面向量加、减运算的坐标表示 试一试：已知，你能得出的坐标吗？ 与坐标间的加减类似！ 同理可得 结论：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的（差）． 典例讲解 例4：已知求的坐标. 解： 检 知识小结 相等向量对应坐标相等。 相反向量对应坐标互为相反数。 新知探究 如图，作向量，，则 想一想：如图，已知，，你能得出的坐标吗？ 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标． 牛刀小试 1.已知则的坐标是（ ）. A. B. C. D. 2.已知向量，，则向量的坐标是（ ）. A. B. C. D. B C 结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标． 典例分析 例5 如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，，求顶点的坐标. 解法1：如图，设顶点的坐标为 因为 又 所以 即解得 所以顶点的坐标为 典例分析 例5 如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，，求顶点的坐标. 解法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可知 而 所以顶点的坐标为 典例分析 两种解法在思想方法上有何异同？ (2)解答2利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D的坐标，解答过程中应用了数形结合的思想方法. (1) 解答1利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解答过程中应用了方程思想． 当堂检测 1. 已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4, －3)，则向量＝(　　) A．(－7,－4) B．(7, 4) C．(－1, 4) D．(1, 4) 从而＝(－4, －2)－(3, 2)＝(－7, －4)． 设C(x，y), 则＝(x, y－1)＝(－4, －3)， 所以 , A 当堂检测 当堂检测 A 3. 若|a|＝ ，θ＝45°，则向量a的坐标为（ ） ＝i＋j＝(1，1). 当堂检测 当堂检测 当堂检测 5. 在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(－2，0)， ＝(2，－3)，求点D的坐标. 故点D的坐标为(6，1). 课堂小结 求向量坐标的三个步骤 平移 求角 求坐标 将向量的始点移至坐标原点 找出以x轴正向为始边，向量所在射线为终边的角 根据x=rcos, y=rcos(r为向量的模)求终点坐标，即为向量坐标 补充题目 (1)求向量，的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标． 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°， ∠OAB＝105°，＝，＝.四边形OABC为平行四边形． 补充题目 补充题目 根据平面直角坐标系，可知 ， 故选：C. 如图所示, 为单位正交基,则向量 , 的坐标分别是（     ）   A． , B． , C． , D． , 　A 2．若向量eq \o(AB,\s\up15(→))＝(1，2)，eq \o(BC,\s\up15(→))＝(3，4)，则eq \o(AC,\s\up15(→))等于(　　) A．(4，6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2，2) 【解析】　由eq \o(AC,\s\up15(→))＝eq \o(AB,\s\up15(→))＋eq \o(BC,\s\up15(→))＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6)．故选A． 解析　由题意，得a＝( )i＋( )j cos 45° sin 45° A.(1， 1) B.(－1，－1) C.(，) D.(－，－) 4.如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求点B和点D的坐标和eq \o(AB,\s\up15(→))与eq \o(AD,\s\up15(→))的坐标． 4.【解析】由题意知B, D分别是30°，120°角的终边与以点O为圆心的单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义， 得x1＝cos30°＝eq \f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq \f(1,2)，所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))). x2＝cos120°＝－eq \f(1,2)，y2＝sin120°＝eq \f(\r(3),2)， 所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))). 所以eq \o(AB,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \o(AD,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))). 解析　因为A(1，2)，B(－2，0)， 所以＝(－3，－2)， 设点D的坐标为(x，y)，则 ＝(x，y)－(1，2)＝(x－1，y－2)， 又因为＋＝，且＝(2，－3)， 所以(x－1，y－2)＝(5，－1)， 即解得 已知向量 ， 在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 （    ）   A．5 B．6 C．7 D．8 建立平面直角坐标系可得，，， 所以，所以. 故选：A. 向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则 （   ）   A． B． C．5 D． 如图，以的起点为原点建立直角坐标系，  则，， ，． 故选：B． $