6.3.1 平面向量基本定理（第二课时） 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理 第二课时 复习回顾 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有_______一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 基底 若e1，e2不共线，我们把__________叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 不共线 且只有 {e1，e2} 问题引领，深入思考 1．平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底，对吗？ 答：不对，只有不共线的两个向量才可以作为基底． 注意：零向量不能作为基底中的向量． 问题引领，深入思考 2．基底有哪两个特性？ 答：①不共线；②不唯一．不共线的两个向量都可作为基底． 3．若λ1e1＋λ2e2＝0，则实数λ1，λ2一定都为0吗？ 答：不一定，只有当e1与e2不共线时，才有λ1＝λ2＝0. 问题引领，深入思考 4．当基底{e1，e2}给定时，向量a＝λ1e1＋λ2e2的分解形式是唯一的吗？ 答：是，λ1，λ2是唯一确定的． 5．平面向量基本定理的实质是什么？ 答：平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示. 题型一——基底的判定与理解 √ 例 1　 √ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 题型一——基底的判定与理解 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 7 总结 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 巩固练习 设a，b不共线，c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底． 题型二——用基底表示向量 √ 例 2　 √ √ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 题型二——用基底表示向量 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 题型二——用基底表示向量 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 12 题型二——用基底表示向量 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 13 总结 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算适当选择向量所在的三角形或平行四边形，对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． 巩固练习 a＋b 2a＋c 巩固练习 题型三——用已知向量表示未知向量 例 3 设{e1，e2}是平面内一个基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2， 则向量e1＋e2可以用另一个基底{a，b}线性表示，即e1＋e2＝________． 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 17 总结 用已知不共线的向量表示未知向量主要是找到已知向量与未知向量的关系，结合平面向量基本定理用方程的思想求出未知向量． 巩固练习 向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，λ，μ为实数， 则λ＝________，μ＝________． 当堂检测 1．【多选题】下列有关平面向量基本定理的四个命题中，正确命题是(　　) A．一个平面内有且只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B．一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 C．平面的基底中的两个向量可能互相垂直 D．一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个不共线向量的线性组合 √ √ √ 当堂检测 解析　根据平面向量基本定理知一个平面内任何一对不共线的向量均可作为表示该平面内所有向量的基底，故A错误； 一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底，故B正确； 平面的基底中的两个向量只要不共线即可，可能互相垂直，故C正确； 一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个不共线向量的线性组合，故D正确． 当堂检测 √ 当堂检测 √ 当堂检测 当堂检测 √ 当堂检测 当堂检测 用数学的眼光看世界 【多选题】如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基底的一对向量是(　　) A.eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))　　　　 B.eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(CD,\s\up16(→)) C.eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(CF,\s\up16(→)) D.eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(DE,\s\up16(→)) 【解析】　由题图可知，eq \o(OA,\s\up16(→))与eq \o(BC,\s\up16(→))共线，eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(CF,\s\up16(→))共线，不能作为基底向量，eq \o(OA,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))不共线，eq \o(BC,\s\up16(→))与eq \o(DE,\s\up16(→))不共线，可作为基底向量． 【解析】　设存在λ使得c＝λd(λ∈R)， 则2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0. ∵a，b不共线，由平面向量基本定理，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－3λ＝0，,2λ－1＝0，)) 这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，所以c，d能作为基底． (1)【多选题】在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于M.设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，则下列结论正确的是(　　) A.eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a＋b　　　　 B.eq \o(BC,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a＋b C.eq \o(BM,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b D.eq \o(EF,\s\up16(→))＝－eq \f(1,4)a＋b 【解析】　由题意可得，eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DC,\s\up16(→))＝b＋eq \f(1,2)a，故A正确；eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)a＝b－eq \f(1,2)a，故B正确；eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \o(BA,\s\up16(→))＋eq \o(AM,\s\up16(→))＝－a＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→))＝－a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)a＝eq \f(2,3)b－eq \f(2,3)a，故C错误；eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(EA,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DF,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(1,4)a＝b－eq \f(1,4)a，故D正确．故选ABD. (2) 如图，平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知eq \o(AM,\s\up16(→))＝c，eq \o(AN,\s\up16(→))＝d，试用c，d表示eq \o(AB,\s\up16(→))和eq \o(AD,\s\up16(→)). 【解析】　设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，则由M，N分别为DC，BC的中点可得eq \o(BN,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)b，eq \o(DM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a. 从△ABN和△ADM中可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b＝d①，,b＋\f(1,2)a＝c②，)) ①×2－②，得a＝eq \f(2,3)(2d－c)． ②×2－①，得b＝eq \f(2,3)(2c－d)． 即eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \f(4,3)d－eq \f(2,3)c，eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(4,3)c－eq \f(2,3)d. 如图，在正方形ABCD中，设eq \o(AB,\s\up16(→))＝a，eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，eq \o(BD,\s\up16(→))＝c，则以{a，b}为基底时，eq \o(AC,\s\up16(→))可表示为eq \o(AC,\s\up16(→))＝________，以{a，c}为基底时，eq \o(AC,\s\up16(→))可表示为eq \o(AC,\s\up16(→))＝________． 【解析】　以{a，b}为基底时，eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))＝a＋b； 以{a，c}为基底时，将eq \o(BD,\s\up16(→))平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得eq \o(AC,\s\up16(→))＝2a＋c. 【解析】　因为a＝e1＋2e2①， b＝－e1＋e2②， 显然a与b不共线，①＋②得a＋b＝3e2， 所以e2＝eq \f(a＋b,3)，代入②得e1＝e2－b＝eq \f(a＋b,3)－b＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b，故有e1＋e2＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＝eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b. eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b －eq \f(1,2) eq \f(5,2) 【解析】　由条件得2e1＋3e2＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝2，,λ－μ＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(5,2)，,μ＝－\f(1,2).)) 2．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，可作为该平面内所有向量的一个基底的是(　　) A.eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))　　　　　 B.eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→)) C.eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(CB,\s\up16(→)) D.eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(DA,\s\up16(→)) 解析　由于eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(DA,\s\up16(→))不共线，所以可作为一个基底． 3．(高考真题·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，eq \o(BC,\s\up16(→))＝3eq \o(CD,\s\up16(→))，则(　　) A.eq \o(AD,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(4,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) B.eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(4,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) C.eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(4,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) D.eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(4,3) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→)) 解析　方法一：由题意得eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＝－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(4,3) eq \o(AC,\s\up16(→)). 方法二：根据题意作图如图， ∵B，C，D三点共线， ∴排除B、C(系数之和不是1)，又由图知eq \o(AB,\s\up16(→))系数应为负数．故选A. 4．△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是(　　) A.eq \o(BG,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BE,\s\up16(→)) 　　　　　 B.eq \o(CG,\s\up16(→))＝2eq \o(GF,\s\up16(→)) C.eq \o(DG,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AG,\s\up16(→)) D.eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→)) 解析　A中，∵G是△ABC的重心，∴BG＝eq \f(2,3)BE，∴eq \o(BG,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(BE,\s\up16(→))；B中，CG＝2GF，∴eq \o(CG,\s\up16(→))＝2eq \o(GF,\s\up16(→))；C中，DG＝eq \f(1,2)AG，∴eq \o(DG,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AG,\s\up16(→))，∴C不正确；D中，eq \f(1,3) eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(FC,\s\up16(→))＝eq \o(DG,\s\up16(→))＋eq \o(GC,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→)). 5．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq \f(1,2)AB，BE＝eq \f(2,3)BC，若eq \o(DE,\s\up16(→))＝λ1eq \o(AB,\s\up16(→))＋λ2eq \o(AC,\s\up16(→))(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． eq \f(1,2) 解析　eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \o(DB,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝－eq \f(1,6) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up16(→))， 又∵eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))不共线，∴λ1＝－eq \f(1,6)，λ2＝eq \f(2,3)，λ1＋λ2＝－eq \f(1,6)＋eq \f(2,3)＝eq \f(1,2). $