6.2.4 向量的数量积 (第五课时)课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的数量积 第五课时 复习回顾 平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 复习回顾   平面向量数量积的运算性质 类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量形式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝______________ (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝_________ (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a a2－b2 a2＋2a·b＋b2 问题引领，深入思考 1．向量的数量积满足消去律吗？ 答：不满足．即由a·b＝a·c，不一定能得到b＝c. 2．向量的数量积满足乘法结合律吗？ 答：不满足．一般地，(a·b)c≠a(b·c)，这是由于a·b，b·c都是实数，(a·b)c表示与c方向相同或相反的向量，a(b·c)表示与a方向相同或相反的向量，而a与c不一定共线． 题型一——求数量积 例 1 已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)． 　 【解析】　(2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2 ＝6|a|2＋5a·b－6|b|2 ＝6×42＋5×4×7×cos 120°－6×72 ＝－268. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 5 总结 计算(λa＋μb)·(λa＋μb)，可以类比多项式乘法的运算，注意实数的乘法、数乘向量和向量的数量积在表示和意义上的异同． 巩固练习 －6 题型二——向量的模 例 2 (1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________． 　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 8 题型二——向量的模 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 题型二——向量的模 √ 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 巩固练习 巩固练习 2 题型三——向量的夹角 例 3　 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 13 题型三——向量的夹角 (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值． 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 14 总结 巩固练习 √ 当堂检测 1．已知向量a，b，c，实数λ，下列命题中，真命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c √ 解析　若a·b＝0，表明a，b垂直，或者是a＝0或b＝0；若a2＝b2，表明|a|2＝|b|2，并不是a＝b或a＝－b；若a·b＝a·c，则有|a||b|cos α＝|a||c|cos β，α，β分别是向量a，b和c，a的夹角，不一定会是b＝c.故选B. 当堂检测 2．已知|a|＝3，|b|＝2，则(a＋b)·(a－b)＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．5 D．－5 √ 解析　因为|a|＝3，|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－4＝5. 当堂检测 3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° √ 当堂检测 解析　|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×2×1×cos 60°＋12＝3. √ 当堂检测 45° 能力提升——用数量积求解垂直问题 例 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？ 　 能力提升——用数量积求解垂直问题 涉及两向量垂直问题，常转化为两向量的数量积为0求解． √ 能力提升——用数量积求解垂直问题 用数学的眼光看世界 已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________． 【解析】　由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝eq \f(1,2)，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3eeq \o\al(2,1)－2e1·e2－8eeq \o\al(2,2)＝3－2×eq \f(1,2)－8＝－6. 【解析】　方法一(公式法)：|a＋2b|＝eq \r(（a＋2b）2) ＝eq \r(a2＋4a·b＋4b2) ＝eq \r(22＋4×2×1×cos 60°＋4×12) ＝eq \r(12)＝2eq \r(3). 2eq \r(3) 方法二(数形结合法)：由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，连接OC， 则|a＋2b|＝|eq \o(OC,\s\up16(→))|. 又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2eq \r(3). (2)若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(　　) A．2 　　　　　　　　　 B.eq \r(2) C．1 D.eq \f(\r(2),2) 【解析】　依题意eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a＋b）·a＝0，,（2a＋b）·b＝0，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·b＝－a2，,2a·b＋b2＝0，))解得b2＝2，所以|b|＝eq \r(2). 　(1)(2020·课标全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________． eq \r(3) 【解析】　∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－eq \f(1,2)，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3，∴|a－b|＝eq \r(3). (2)已知平面向量a，b满足|a－2b|＝eq \r(19)，|a|＝3，若cos〈a，b〉＝eq \f(1,4)，则|b|＝________． 【解析】　由题知，|a－2b|＝eq \r(19)，|a|＝3，cos〈a，b〉＝eq \f(1,4)， 则|a－2b|＝eq \r(（a－2b）2)＝eq \r(a2＋4b2－4a·b)＝eq \r(|a|2＋4|b|2－4|a|·|b|·cos〈a，b〉)＝eq \r(19)， 整理可得4|b|2－3|b|－10＝0，解得|b|＝2或－eq \f(5,4)(舍去)，故|b|＝2. 已知|a|＝1，a·b＝eq \f(1,2)，(a－b)·(a＋b)＝eq \f(1,2)，求： (1)a与b的夹角； 【解析】　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝eq \f(1,2)，且|a|＝1， ∴|b|＝eq \f(\r(2),2).设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(\f(1,2),1×\f(\r(2),2))＝eq \f(\r(2),2).∴θ＝45°. 【解析】　(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，∴|a－b|＝eq \f(\r(2),2).∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2)，∴|a＋b|＝eq \f(\r(10),2). 设a－b与a＋b的夹角为φ， 则cos φ＝eq \f(（a－b）·（a＋b）,|a－b||a＋b|)＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×\f(\r(10),2))＝eq \f(\r(5),5). 求两向量夹角的方法： (1)一般是利用夹角公式：cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|). (2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时，两向量的夹角为钝角． 【解析】　设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7， ∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，∴cos θ＝eq \f(1,2).又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为eq \f(π,3). 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝eq \r(7)，则a，b的夹角为(　　) A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(2π,3) 解析　(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|2cos〈a，b〉＋a2＝0⇒cos〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，所以a，b的夹角为120°.故选C. 4．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，那么|a－b|2＝(　　) A．2 B．2eq \r(3) C．3 D．6 5．若|a|＝1，|b|＝eq \r(2)，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为________． 解析　设a与b的夹角为θ， ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0， 即a2－b·a＝0， ∴a·b＝a2＝|a|2＝1， ∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2). ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，∴a与b的夹角为45°. 【解析】　(ka－b)·(a＋2b)＝ka2－a·b＋2ka·b－2b2 ＝k|a|2－2|b|2－(1－2k)a·b ＝25k－32－(1－2k)×5×4×cos 60° ＝45k－42， 当k＝eq \f(14,15)时，45k－42＝0，即(ka－b)·(a＋2b)＝0. ∴当k＝eq \f(14,15)时，(ka－b)⊥(a＋2b)． 已知平面向量a，b满足|a|＝2eq \r(3)，|b|＝4，且a，b的夹角为30°，则(　　) A．a⊥(a＋b)　　　　 B．b⊥(a＋b) C．b⊥(a－b) D．a⊥(a－b) 【解析】　∵平面向量a，b满足|a|＝2eq \r(3)，|b|＝4，且a，b的夹角为30°， ∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝(2eq \r(3))2＋2eq \r(3)×4×cos 30°＝24≠0； b·(a＋b)＝b2＋a·b＝42＋4×2eq \r(3)×cos 30°＝28≠0； b·(a－b)＝a·b－b2＝4×2eq \r(3)×cos 30°－42＝－4≠0； a·(a－b)＝a2－a·b＝(2eq \r(3))2－2eq \r(3)×4×cos 30°＝0，∴a⊥(a－b)．故选D. $